摘要： 利用Hopf分支理論， 研究一類具有時滯的Leslie-Gower捕食-食餌模型. 首先， 以時滯為分支參數(shù)， 討論該模型正平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性; 其次， 根據(jù)偏泛函微分方程的規(guī)范型理論和中心流形定理， 確定Hopf分支的分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性; 最后， 利用MATLAB進行數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞： 時滯; Leslie-Gower模型; Hopf分支; 穩(wěn)定性

中圖分類號： O175.12" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0821-10

Hopf Bifurcation of a Class of Leslie-GowerPredator-Prey Models with Time Delay

YUAN Hailong， FAN Yu， LI Yiduo

（School of Mathematics amp; Data Science， Shaanxi University of Science amp; Technology， Xi’an 710021， China）

Abstract： Using the Hopf bifurcation theory， we studied a class of Leslie-Gower predator-prey models with time delay.

Firstly， taking time delay as the bifurcation parameter， we discussed the stability of the positive equilibrium point of the model and the existence of Hopf bifurcation.

Secondly， according to the normal form theory and center manifold theorem for partial differential equation， we derived the direction of Hopf bifurcation and the stability of

bifurcation periodic solutions. Finally， we used MATLAB for numerical simulations.

Keywords： time delay; Leslie-Gower model; Hopf bifurcation; stability

0 引 言

捕食-食餌關(guān)系是自然界種群之間最重要和最廣泛的基本關(guān)系之一， 種群模型在研究外來物種入侵、 流行疾病傳播以及自催化化學(xué)反應(yīng)等方面都具有重要作用. 目前， 對捕食-食餌關(guān)系模型的研究已取得了豐富的成果［1-5］.

考慮到Leslie-Gower捕食-食餌模型中食餌的生長速率可能具有Allee效應(yīng)， Ni等［6］研究了如下捕食-食餌模型：

dudt=u（1-u）ub-1-βuv，tgt;0，

dvdt=μv1-vu，tgt;0，u（0）=u0gt;0， v（0）=v0gt;0，（1）

其中u和v分別表示食餌和捕食者的種群密度， b∈（0，1）為Allee效應(yīng)的閾值， 初始值u0和v0為非負的連續(xù)函數(shù)， 參數(shù)β和μ均為正常數(shù). 對于系統(tǒng)（1）， Ni等［6］主要討論了當系統(tǒng)只有一個正平衡點時， 正平衡點的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形.

由于種群具有成熟期， 當前的種群數(shù)量會依賴于過去某一時刻的種群狀態(tài). 因此考慮時滯影響可更準確地描述系統(tǒng)的動力學(xué)特性. 時滯效應(yīng)在自然界中普遍存在， 時滯微分方程的穩(wěn)定性及其分支問題也備受關(guān)注. 例如： Yang等［7］考慮一類具有恒定獵物避難所和時滯的捕食-食餌系統(tǒng)， 研究了其正平衡點的局部穩(wěn)定性和圖靈不穩(wěn)定性， 證明了時滯對系統(tǒng)的影響， 得到了Hopf分支的存在性并確定了Hopf分支的性質(zhì)， 同時做出了數(shù)值模擬； Chen等［8］考慮一個具有齊次Neumann邊界條件的時滯擴散Leslie-Gower捕食-食餌系統(tǒng)， 通過分析特征方程， 研究了其共存平衡點的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性以及相關(guān)的Hopf分支， 利用上下解方法， 給出了其共存平衡點全局漸近穩(wěn)定的參數(shù)充分條件； Du等［9］考慮具有雙時滯和擴散的修正Leslie-Gower捕食-食餌模型， 研究了其正平衡點的穩(wěn)定性以及Hopf、 雙Hopf分支的存在性， 并給出了雙Hopf分支點附近中心流形上的正規(guī)形式及臨界點附近的展開， 還得到了雙Hopf分支點附近的復(fù)雜動力學(xué)行為.

常笑源等［10］在系統(tǒng)（1）的基礎(chǔ)上， 考慮如下捕食-食餌系統(tǒng)：

dudt=ru1-uK（u-m）-quv，tgt;0，

dvdt=sv1-v（t-τ）u（t-τ），tgt;0，

u（θ）=1（θ）， v（θ）=2（θ），θ∈［-τ，0］，（2）

其中時滯τ表示捕食者的成熟期， K為食餌的最大環(huán)境容納量， r和s分別為食餌和捕食者的自然增長率， q表示食餌人均減少率的最大值， m∈（0，1）為

Allee效應(yīng)的閾值. 對于系統(tǒng)（2）， 文獻［10］給出了其非負平衡點的存在性和穩(wěn)定性， 并以時滯τ作為分支參數(shù)證明了在正平衡點附近產(chǎn)生Hopf分支.

基于以上研究， 本文考慮食餌的成熟期對捕食者種群密度的影響， 在系統(tǒng)（1）中對捕食者方程引入時滯， 同時考慮其包含齊次Neumann邊界條件的反應(yīng)擴散系統(tǒng)：

ut-d1Δu=u（1-u）ub-1-βuv，x∈Ω， tgt;0，

vt-d2Δv=μv1-vu（t-τ），x∈Ω， tgt;0，

νu=νv=0，x∈Ω， tgt;0，

u（x，0）=u0（x）gt;0， v（x，0）=v0（x）≥0（不恒為0），x∈，（3）

其中d1和d2分別對應(yīng)食餌和捕食者的擴散系數(shù)， Δ為Laplace算子， Ω∈瘙綆N為具有光滑邊界Ω的有界開集， ν為邊界Ω上的單位外法向量.

為書寫方便， 做無量綱變換， 令

t=tb， m=b， q=bβ， s=μ，

仍用t表示t， 在空間域Ω∈［0，lπ］考慮系統(tǒng)（3）， 且Δ=2x2， l∈瘙綆+， 從而系統(tǒng)（3）可化為

ut-d12ux2=u（1-u）（u-m）-quv，x∈（0，lπ）， tgt;0，

vt-d22vx2=sv1-vu（t-τ），x∈（0，lπ）， tgt;0，

u（x，t）x=v（x，t）x=0，x=0，lπ， tgt;0，

u（x，t）=u0（x，t）gt;0， v（x，t）=v0（x，t）≥0（不恒為0），x∈［0，lπ］， t∈［-τ，0］.（4）

本文研究時滯效應(yīng)在偏微分系統(tǒng)中對正平衡點產(chǎn)生的影響， 并分析正平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性， 給出判斷Hopf分支的分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的表達式. 結(jié)果表明：

當時滯參數(shù)小于某一臨界值時， 正平衡點的穩(wěn)定性不發(fā)生改變; 當時滯參數(shù)增大且經(jīng)過某一臨界值時， 會改變正平衡點的穩(wěn)定性， 系統(tǒng)在正平衡點附近會發(fā)生振蕩并產(chǎn)生Hopf分支.

用瘙綃和瘙綆+分別表示非負整數(shù)集和正實數(shù)集.

1 平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

考慮具有時滯參數(shù)的偏微分系統(tǒng)（4）， 根據(jù)計算及文獻［10］可知：

1） 系統(tǒng)（4）存在兩個邊界平衡點E0（1，0）和Em（m，0）;

2） 當0lt;qlt;（1-m）2時， 系統(tǒng)（4）存在兩個正平衡點E1（u*，v*）和E2（u，v）， 其中

u*=v*=（1+m-q）+（1+m-q）2-4m2，u=v=（1+m-q）-（1+m-q）2-4m2;

3） 當q=（1-m）2時， 系統(tǒng)（4）存在唯一一個正平衡點E3（m，m）;

4） 當qgt;（1-m）2時， 系統(tǒng)（4）不存在正平衡點.

由于當0lt;qlt;（1-m）2時， 正平衡點E2（u，v）是不穩(wěn)定的， 因此本文首先討論當0lt;qlt;（1-m）2時系統(tǒng)（4）正平衡點E1（u*

，v*）的穩(wěn)定性及Hopf分支. 當τ=0時， 滿足條件0lt;qlt;（1-m）2， sgt;s*=-2u*2+（m+1）u*， 且u*∈m+12，1， 其中0

lt;mlt;1， 則E1（u*，v*）是局部漸近穩(wěn)定的. 然后分析當τ≠0時， 對系統(tǒng)（4）的正平衡點E1（u*，v*）的影響， 若τ∈［0，τ00）， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點E1（u*，v*）

是局部漸近穩(wěn)定的; 若τ=τjn， j∈瘙綃， 則存在n使系統(tǒng)（4）在正平衡點E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支; 若τgt;τ00， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點E1（u*，v*）是不穩(wěn)定的.

定義X=C（［0，lπ］，瘙綆2）， 在系統(tǒng)（4）中令=u-u*， =v-v*， 仍用u，v表示，， 則其在抽象空間C（［-τ，0］，X）中具有如下形式的抽象泛函微分方程：

dU（t）dt=dΔU

（t）+L（Ut）+F（Ut），（5）

其中dΔ=（d1Δ，d2Δ）， dom（dΔ）={（u，v）T： u，v∈C2（［0，lπ］，瘙綆）， ux，vx=0， x=0，lπ}.

已知L： C（［-τ，0］，X）→X， F： C（［-τ，0］，

X）→X， 對于Ut=φ， U（t

）=φ（0）， φ=（φ1，φ2 ）T∈C（［-τ，0］）， 有

L（φ）=［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）-qu*φ2（0）

sφ1（-τ）-sφ2（0），" F（φ）=F1（φ）

F2（φ），

其中

F1（φ）= "（φ1（0）+u*）［1-（φ1（0）+u*）］（φ1（0）+u*-m）- "q（φ1（0）+u*）（φ2（0）+v*）-［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）+qu*φ2（0），

F2（φ）= "s（φ2（0）+v*）1-φ2（0）+v*（φ1（-τ）+u*）-sφ1（-τ）+sφ2（0）.

系統(tǒng)（4）在（0，0）附近的線性化系統(tǒng)為

dU（t）dt=dΔU

（t）+L（Ut）.（6）

根據(jù)文獻［11］， 可得線性系統(tǒng)的特征方程為

λy-dΔy-L（eλ·y）=0， y∈

dom（dΔ）， y≠0.（7）

由特征值問題-ψ″=μψ， x∈（0，lπ）， ψ′（0）=ψ′（lπ）=0， 可得特征值μn=n2l2（n∈瘙綃）， 相應(yīng)的特

征函數(shù)為ψn（x）=cosnlx， 將

y=∑∞n=0cosnlxy1ny2n

代入特征方程（7）得

-2u*2+（m+1）u*-d1n2l2-qu*

se-λτ-s-d2n2l2y1n

y2n=λy1ny2n，" n∈瘙綃.

因此， 特征方程（7）的所有特征根由以下特征方程給出：

Δn（λ，τ）=λ2+Anλ+Be-λτ+Cn=0，" n∈瘙綃，（8）

其中

An=（d1+d2）n2l2+2u*2-（m+1）u*+s，" B=qu*s，

Cn=d1n2l2+2u*2-（m+1）u*d2n2 l2+s.

若λ=±iσ（σgt;0）為方程（8）的一對純虛根， 則有

σ2-Cn=Bcos（στ），σAn=Bsin（στ），" n∈瘙綃，（9）

將式（9）中兩式平方后再相加， 可得

σ4+（A2n-2Cn）σ2+C2n-B2=0，" n∈瘙綃，（10）

其中

A2n-2Cn=d1n2l2+2u*2-（m+1）u*2+d2n2l2+s2，

C2n-B2=d1n2l2+2u*2-（m+1）u*2d2n2l2+s2-q2u*2s2.（11）

當m+qlt;1時， 有C20-B2lt;0成立， 由于 limn→∞（C2n-B2）=+∞， 故存在一個最小的N0， 使得當0≤n≤N0時， 方程（10）至多有一個正根，

當ngt;N0時， 方程（10）沒有正根. 當0≤n≤N0時， 方程（10）有一個正根σn， 滿足

σn=-（A2n-2Cn）+（A2n-2Cn）2-4（C2n-B2）2，（12）

則τ的表達式可確定為

τ=τjn=τ0n+2jπσn，" j∈瘙綃，（13）

其中

τ0n=1σnarccosσ2n-CnB，An≥0，

1σn2π-arccosσ2n-CnB，Anlt;0.（14）

此時方程（8）有一對純虛根±iσn.

令λn（τ）=αn（τ）+iβn（τ）是方程（8）的根， 且當τ→τjn時， 滿足αn（τjn）=0和βn（τjn）=σn， 下面給出橫截條件.

引理1 對于0≤n≤N0， j∈瘙綃， 且sgt;s*， 有α′n（τjn）gt;0.

證明： 將λn（τ）代入方程（8）并關(guān)于τ求導(dǎo)， 得

dαn dττ=τjn-1=Re

2λneλnτ+Aneλnτ-BτBλnτ=τjn，

由于σn和τjn滿足方程（9）， 并且根據(jù)方程（12）中σn的表達式， 可得

dαndττ=τjn-1= "Re（2λn+An）（cos（λnτ）+isin （λnτ））-BτBλn=

（A2n-2Cn）2-4（C2n-B2）B2gt;0.

因此橫截條件成立， 證畢.

根據(jù)式（13）， 顯然τj+1ngt;τjn， 下面給出τjn關(guān)于n的單調(diào)性.

性質(zhì)1 若0≤n≤N0， j∈瘙綃， 且sgt;s*， 則有τjn+1gt;τjn成立.

證明： 將式（12）變形可得

σ2n=-（A2n-2Cn）+（A2n-2Cn）2-4（C2n-B2）2=2（A2n-2Cn）2（B2-C

2n）2+4B2-C2n+A2n-2CnB2-C2n，

其中A2n-2Cn和C2n-B2都在式（11）中給出. 又由于sgt;s*， 當0≤n≤N0時， A2n-2Cn關(guān)于n嚴格遞增， 同時B2-C2n關(guān)于n嚴格遞減， 所以可得

σ2n+1lt;σ2n. 由于sgt;s*時， An≥0， 根據(jù)式（14）， τ0n=1σnarccosσ2n-CnB. 因此， 當0≤n≤N0 時， 有τ0n+1gt;τ0n.

因為σn+1lt;σn， 結(jié)合式（13）， 所以當j≥1， 0≤n≤N0時， τjn+1gt;τjn.

綜合上述分析， 可得如下定理：

定理1 設(shè)0lt;qlt;（1-m）2， sgt;s*， u*∈m+12，1成立， 則有：

1） 若τ∈［0，τ00）， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點E1（u*，v*）是局部漸近穩(wěn)定的;

2） 若τ=τjn， j∈瘙綃， 0≤n≤N0， 則系統(tǒng)（4）在正平衡點E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支;

3） 若τgt;τ00， 則系統(tǒng)（4）的正平衡點E1（u*，v*）是不穩(wěn)定的.

2 Hopf分支的方向和穩(wěn)定性

當τ=τjn時， 系統(tǒng)（4）在E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支. 下面利用時滯偏微分方程的中心流形定

理［12］和規(guī)范型理論［11，13］研究τ=τ0=τ00時Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性.

令τ=τ0+μ， 則μ=0為系統(tǒng)（5）的Hopf分支值. 令t=tτ并代入方程（5）， 且仍用t表示t

， 同理， Ut=φ， U（t）=φ（0）， 則可將系統(tǒng)（5）轉(zhuǎn)化為

dU（t）dt=τ0dΔ

U（t）+τ0L0（Ut）+G（Ut，μ），（15）

其中，

L0（φ）=［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）-qu*φ2（0）sφ1（-1）-sφ2（0），

G（φ，μ）=μdΔφ（0）+μL0（φ）+（μ+τ

0）F0（φ），F(xiàn)0（φ）=（φ1（0）+u*）（［1-（φ1（0）+u*）］（φ1（0）+u*-m）-q（φ2（0）+v*））

-［-2u*2+（m+1）u*］φ1（0）+qu*φ2（0）s（φ2（0）+v*）1-φ2（0）+v*（φ1（-τ）+u*）-sφ1（-1）+sφ2（0），

且φ∈C（［-1，0］，X）.

系統(tǒng)（5）在（0，0）處的線性化系統(tǒng)為

dU（t）dt=τ0dΔU（t）+τ0L0（Ut）.（16）

由式（10）可知， ±iσ0τ0為系統(tǒng)（16）的一對純虛根， 其線性泛函微分方程為

dz（t）dt=τ0L0（zt）.（17）

根據(jù)Riesz表示定理可知， 存在η（θ，μ）（θ∈［-1，0］）為2×2階的有界變差函數(shù)矩陣， 且滿足

（τ0+μ）L0（φ）=∫0-1d

η（θ，μ）φ（θ），" φ（θ）∈C（［-1，0］，瘙綆2），

其中η（θ，μ）=（τ0+μ）Eδ（θ）-（τ0+μ）Fδ（θ+1），

E=-2u*2+（m+1）u*-qu*0-s，" F=00s0，

且對于δ（θ）： ［-1，0］→（X，X）， 有δ（θ）=0，θ∈［-1，0），1，θ=0.

若φ（θ）∈C1（［-1，0］，瘙綆2）， 則A（0）定義為

A（0）（φ（θ））=dφ（θ）dθ，θ∈［-1，0），

∫0-1dη（θ，0）φ（θ），θ=0.

若ψ=（ψ1，ψ2）∈C1（［-1，0］，（瘙綆2）*）， 則A*定義為

A*（ψ（s））=-dψ（s）ds，s∈（0，1］，

∫0-1ψ（-s）dη（θ，0），s=0.

若φ（θ）∈C1（［-1，0］，瘙綆2）， ψ（s）∈C1（［-1，0］，（瘙綆2）*）， 引入如下雙線性形式：

〈ψ（s），φ（θ）〉0=ψ（0）φ（0）-∫0-1∫θ0

ψ（ξ-θ）dη（θ，0）φ（ξ）dξ，

則A（0）和A*是雙線性形式〈ψ（s），φ（θ）〉0下的伴隨算子.

經(jīng)驗證可知， ±iσ0τ0是A（0）和A*的特征值， 設(shè)q（θ）=（q1，q2）Teiσ0τ0

θ（θ∈［-1，0］）和q*（s）=1（q*1，q*2）eiσ0τ0s（s∈［0，1］）分

別為A（0）和A*關(guān)于特征值iσ0τ0和-iσ0τ0對應(yīng)的特征向量， 其中

（q1，q2）=1，-2u*+m+1q-iσ0qu

*，" （q*1，q*2）=1，-qu*（s+iσ0）s2+σ20，

D=1-qu*（s+iσ0）s2+σ20-2u*+m+1q-iσ0qu*+τ0se-iσ0τ0.

根據(jù)文獻［11］可知， AU是線性系統(tǒng)（16）的無窮小生成元， 滿足AUψ=（θ

）. 同時， 令f0=（f10，f20）T

， 其中f10=（1，0）T， f20=（0，1）T， c=（c1，c2）T∈瘙綇

2， 定義c·f0=c1f10+c2f20， 當ψ（θ）∈［-1，0］時， 定義（ψ·f0）（θ）=ψ（θ）·f0，

且對u=（u1，u2）， v=（u1，u2）∈X=C（［0，lπ］，瘙綆2）， 有

〈u，v〉=1lπ∫lπ0u1v1dx+1lπ

∫lπ0u2v2dx.

因此， 〈φ，f0〉=（〈φ

，f10〉，〈φ，f20〉）T， 其中φ∈C（［-1，0］，X）.

令Φ=（q（θ），q（θ））， Ψ=（q*（s），q

*（s））T， 則（Ψ，Φ）0=I， 其中I=10

01. 設(shè)系統(tǒng)（17）的中心子空間為P=span{q（θ），q（θ）}，

伴隨子空間為P*=span{q*（s），q*（s）}.

下面再由PCNC給出系統(tǒng)（17）的中心子空間， 其中

PCNφ=Φ（Ψ，〈φ，f0〉）0·f0， φ

∈C， PCNC={（q（θ）z，q（θ）z）·f0： z∈瘙綇}，

C=PCNCPSC， PSC為穩(wěn)定的子空間.

由于Hopf分支的方向和穩(wěn)定性都與μ=0有關(guān)， 因此在系統(tǒng)（15）中令μ=0， 可確定中心流形

W（z，z）=W20（θ）z22+W11（θ）z

z+W02（θ）z22+…，

系統(tǒng)（15）在中心流形中的流可寫為

ut=Φ（z（t），z（t））T+W（z（t），z（t））=q（θ）z（t）+

q（θ）z（t）+W（z（t），z（t）），

其中

（t）=iω0τ0z（t）+q*（0）〈G（ut，0），f0〉=iω0τ

0z（t）+g（z，z），

且

g（z，z）=q*（0）〈G（ut，0），f0〉

=g20z22+g11zz+g02z22+g21z2z2+….（18）

再根據(jù)G（φ，μ）的表達式， 有

G（φ，0）=τ0F0（φ）=τ0G1G2，

其中，G1= "（-6u*+2m-2）φ21（0）-6φ31（0）-qφ1（0）φ2（0）+O（4），

G2=-2sv*2u*3φ21（-1）+6sv*2u*4φ31（-1）+12sv*u*4φ

21（-1）φ2（0）+2sv*u*2φ1（-1）φ2（0）+2su*2φ1（-1）φ22（0）-2su*φ

22（0）+O（4），（19）

式中O（4）=O（‖（u，v）‖4）.

由式（18），（19）可得

g20= "2q*1τ0D［（-6u*+2m-2）q21-qq1q2］+2q*2τ0D

-2sv*2u*3q21e-2iσ0τ0+2sv*u*2q1q2e-iσ0τ0-2su*q22，

g11= "q*1τ0D［2（-6u*+2m-2）q1q1-q（q1q2+q1q2）］

+ "q*2τ0D-4sv * 2 u*3q1q1+2sv*u*2（q1q

2eiσ0τ0+q1q2e-iσ0τ0）-4su*q2q2，

g02= "2q*1τ0D［（-6u*+2m-2）q21-qq1q2］+2q*2τ0D

-2sv*2u*3q21e2iσ0τ0+2sv*u*2q

1q2eiσ0τ0-2su*q22，

g21= "2q*1τ0D［（-6u*+2m-2）（2q1W111（0）+q1W120（0））-2q21q21］-

q*1τ0βD［2qq21W211（0）+qq21W220（0）+qq2W120（0）+2qq2W111（0）］-

2q*2τ0D2sv*2u*3（2q1e-iσ0τ0W111（-1）+q1

eiσ0τ0W120（-1））+2q*2τ0D

6sv*2u*4（2q1q21e2iσ0τ0）+12sv*u*4（2q21q2e-2iσ0τ0）

+ "q*2τ0D2sv*u*2（2q2W111（-1）+2q2W120（-1）+q1e

iσ0τ0W220（0）+2q1e-iσ0τ0W211（0））- "2q*2τ0D

2su*（2q2W211（0）+q2W220（0））

+2q*2τ0D2su*2（q1q22e-iσ0τ0），

因此， 要得到g21， 需要先計算出W20（θ）和W11（θ）.

由于W（z（t），z（t））滿足

= "AUW+X0G

（Φ（z，z）T·f0+w（z，z），0）

- "Φ（Ψ，〈X0G（

Φ（z，z）T·f0+w（z，z），0），f0〉）0·f0

= "A（0）W+H20 z22+H11zz+H

02z22+…，（20）

因此根據(jù)鏈式法則

=W（z，z）z·+W（z，z）z

·z·，

可得

［2iσ0τ0-AU］W20=H20，

-AUW11=H11，

［-2iσ0τ0-AU］W02=H02.（21）

當-1≤θlt;0時， 有

-Φ（Ψ，〈X0G

（Φ（z，z）T·f0+w（z，z），0），f0〉）0·f0=H20z

22+H11zz+H02z22+…，（22）

H20（θ）=-［g20q（θ）+g02q（θ）］·f0，

H11（θ）=-［g11q（θ）+g11q（θ）］·f0.

根據(jù)式（21），（22）可得

W20（θ）=ig20σ0τ0q（θ）·f0+ig023σ0

τ0q（θ）·f0+E1e2iσ0τ0θ，

W11（θ）=-ig11σ0τ0q（θ）·f0+ig11σ

0τ0q（θ）·f0+E2.

在式（21）中令θ=0， 再結(jié)合無窮小生成元的定義以及

H20（0）=-g20［q（0）+g02q（0）］·f0+τ0

（-6u*+2m-2）q21-qq1q2-2sv*2u*3q21e-2iσ0τ0+2sv*u*2q1q2e-iσ0τ0-2s

u*q22，H11（0）=-g11［q（0）+g11 q

（0）］·f0+τ02（-6u*+2m-2）q1q1-q（q1q2+q1q2）

-4sv*2u*3q1q1+2sv*u*2

（q1q2eiσ0τ0+q1q2e-iσ0τ0）-4su*q2q2，

得E1=E11·E12，

E2=E21·E22，（23）

其中

E11=2iσ0+2u*2-（m+1）u*qu*-se-2iσ0τ02iσ0+s-1，

E12=（-6u*+2m-2）q21-qq1q2-2sv*2u*3q21e-2iσ0τ0

+2sv*u*2q1q2e-iσ0τ0-2su*q22，

E21=2u*2-（m+1）u*qu*-ss-1，" E22=

2（-6u*+2m-2）q1q1-q（q1q2+q1q2）-4sv*2u*3q1q1+2sv*u*

2（q1q2eiσ0τ0+q1q2e-iσ0 τ0）-4su*q2q2.

因此， g21表達式由此可確定.

基于上述分析， 根據(jù)參數(shù)可計算出每個gij的值， 判斷分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的表達式也可由計算得到：

C1（0）=i2σ0τ00g11g20-2g112-g0223

+g212，" μ2=-Re（C1（0））Re（λ′（τ00）），β2=2Re（C1（0）），

T2=-Im（C1（0））+μ2Im（λ′（τ00））σ0τ00.

因此可得如下定理.

定理2 對于系統(tǒng)（4）， 有以下結(jié)論：

1） μ2確定Hopf分支的分支方向， 當μ2gt;0時， 分支方向是超臨界的， 當μ2lt;0時， 分支方向是次臨界的;

2） β2確定分支周期解的穩(wěn)定性， 當β2lt;0時， 分支周期解是漸近穩(wěn)定的， 當β2gt;0時， 分支周期解是不穩(wěn)定的;

3） T2確定分支周期解的周期， 當T2gt;0時， 周期增大， 當T2lt;0時， 周期減少.

3 數(shù)值模擬

下面利用MATLAB工具給出具體的實例， 以驗證上述理論分析結(jié)果.

對于系統(tǒng)（4）， 取參數(shù)m=0.29， q=0.2， s=0.185， l=2.25， d1=0.01， d2=1， 計算得到正平衡點為E1（u*，v*）=（0.628 8，0.628 8）， 同時滿足條件

0lt;qlt;（1-m）2， sgt;s*=-2u*2+（m+1）u*，

且u*∈m+12，1， 其中0lt;mlt;1， 根據(jù)計算可得τ00=8.027 0.

取τ=4.54lt;τ00， 由定理1和定理2可知， 當τ經(jīng)過τ00， 正平衡點E1（u*，v*）由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分支， 如圖1～圖3所示. 取初值

u（x，t）=u*+0.01sin（4x）， v（x，t）=v*+0.01sin（4x）， τ=4.54lt;8.027 0，

由定理1和定理2可知， 系統(tǒng)（4）在正平衡點E1（u*，v*）處是局部漸近穩(wěn)定的， 如圖1所示.

取τ=8.03gt;τ00時， 由定理1和定理2可知， 系統(tǒng)（4）在正平衡點E1（u*，v*）處產(chǎn)生Hopf分支， 如圖2和圖3所示. 當初值為

u（x，t）=u*+0.15sin（0.01x）， v（x，t）=v*+0.15sin（0.01x）

時， 系統(tǒng)（4）產(chǎn)生空間齊次周期解， 如圖2所示; 當初值為

u（x，t）=u*+0.014sin（0.5x），" v（x，t）=v*+0.014sin（0.5x）

時， 系統(tǒng)（4）產(chǎn)生空間非齊次周期解， 如圖3所示.

圖1 當τ=4.54lt;τ00時系統(tǒng)（4）在正平衡點處穩(wěn)定

Fig.1 System （4） is stable at" positive equilibrium point when parameter τ=4.54lt;τ00

圖2 當τ=8.03gt;τ00時系統(tǒng)（4）產(chǎn)生齊次周期解

Fig.2 System （4） generates homogeneous periodic solutions when parameter τ=8.03gt;τ00

圖3 當τ=8.03gt;τ00時系統(tǒng)（4）

產(chǎn)生非齊次周期解Fig.3 System （4） generates inhomogeneous periodic solutions when parameter τ=8.03gt;τ00

此外， 計算得到μ2=1.348 1×105gt;0， 產(chǎn)生的Hopf分支方向為超臨界， β2=-1.385 7×103lt;0， 分支周期解是漸近穩(wěn)定的， T2=-6.594 1×103lt;0， 分支周期解的周期減少.

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（責任編輯： 趙立芹）