摘要： 通過圖變換， 給出當單圈圖的圈長為偶數時其Mostar指標和加權Mostar指標的下界， 并刻畫達到下界的極值圖.

關鍵詞： Mostar指標; 加權Mostar指標; 單圈圖; 極值圖

中圖分類號： O157.5" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0765-09

Lower Bounds for" （Weighted） Mostar Index of Unicyclic Graphs with" Even Cycle Lengths

ZHEN Qianqian， LIU Mengmeng

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using graph transformation， we give the lower bounds for the Mostar index and the weighted Mostar index of unicyclic graphs" when the cycle length

of unicyclic graphs is even， and characterize the extremal graphs that achieve the lower bounds.

Keywords：" Mostar index; weighted Mostar index; unicyclic graph; extremal graph

圖的拓撲指標常用于描述有機化合物的藥理特征、 物理特征和化學特征， 研究最廣泛的拓撲指標是Wiener指標［1］. 此后，" Gutman［2］在Wien

er指標的基礎上進行推廣， 得到了Szeged指標; Ilic＇等［3］提出了加權Szeged指標; Dolic＇

等［4］引入了Mostar指標， 它量化了特定邊及整個圖周邊性的程度. 目前， 對Mostar指標的研究， 特別是關于一些簡單連通圖界值問題的研究已得到很多結果［4-11］. 例

如： 文獻［4］給出了單圈圖Mostar指標的上界和下界； 文獻［5］計算了固定直徑時單圈圖Mostar指標的上界；" 文獻［12］提出了邊Mostar指標； 文獻［13］定義

了加權Mostar指標， 并計算了石墨烯、 α型石墨炔和石墨炔的加權Mostar指標； 文獻［14］計算了單圈圖加權Mostar指標的上界和下界； Kandan等［15］計算了錐齒輪圖和廣義齒輪圖的加權Mosta

r指標； Imran等［16］研究了酞菁、 三嗪和納米分子圖的加權Mostar指標. 此外， 文獻［17］總結了Mostar指標近年的研究成果.

本文在單圈圖的圈長為偶數時， 討論其Mostar指標和加權Mostar指標的下界.

1 預備知識

本文所有圖均為無向有限的簡單連通圖. 給定一個圖G， 用V（G）表示其頂點集， E（G）表示其邊集， 令n=V（G）是圖G的頂點數， 又稱階數. Tn和Pn分別指階數為n的樹和路［18］.

設e=uv是G中的一條邊， 定義集合：

Nu（e）={x∈V（G）： d（x，u）lt;d（x，v）}，Nv（e）={x∈V（G）： d（x，u）gt;d（x，v）}.

令nu=Nu（e）， nv=Nv（e）. Mostar指標定義為

M（G）=∑e=uv∈E（G）nu-nv.

加權Mostar指標定義為

w+M（G）=∑e=uv∈E（G）（du+dv）nu-nv.

令Cn（T1，T2，…，Tk）是含有圈Ck=v1v2…vkv1的單圈圖， 其中T1，T2，…，Tk是懸掛在圈Ck各頂點上的樹， 樹Ti（i=1，2，…，k）稱為圈Ck上的懸掛分支. 給定正整數a和b， P（s，m，a，b）

是指在單圈圖的頂點vs和vm處懸掛路Pa和路Pb， 其中a和b均為路長.

引理1［4］ 設Tn是一個n階樹， 則M（Pn）≤M（Tn）， 等號成立當且僅當PnTn.

引理2［14］ 設Tn是一個n階樹， 則w+M（Pn）≤w+M（Tn）， 等號成立當且僅當PnTn.

2 偶長單圈圖Mostar指標的下界

設G是n個頂點的單圈圖， k為單圈圖的圈長， 當n=k時， M（G）=0； 當n=k+1時， M（G）=2k-1. 下面考慮當n≥k+2時單圈圖Mostar指標的下界， 從n的奇偶性兩種情形討論.

引理3 設G=Cn（P1，P2，…，Pk）， 則圈Ck上的懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對Mostar指標的貢獻越小.

證明： 設Pm和Pl是圈Ck上任意兩點v和v′上的兩條懸掛路分支， 設Pm=u1u2…um， Pl=v1v2…vl， 其中1≤

m≤l. 令G′=G-um-1um+vlum， 如圖1所示， 當m=1時， um-1=v.

下證G中懸掛路分支Pm和Pl上的邊對Mostar指標的貢獻和大于G′中懸掛路分支Pm-1和Pl+1上的邊對Mostar指標的貢獻和. G中懸掛路分支P

m和Pl上的邊對Mostar指標的貢獻為

n-2+n-4+…+n-2（m-1）+n-2m+n-2+n-4+…+n-2l;

G′中懸掛路分支Pm-1和Pl+1上的邊對Mostar指標的貢獻為

n-2+n-4+…+n-2（m-1）+n-2+n-4+…+n-2l+n-2（l+1）.

二者做差得n-2m-n-2（l+1）. 因為n≥l+m+k≥l+m+4， 所以ngt;2m， ngt;l+m+2， 從而

當n≥2l+2時， n-2m-n-2（l+1）=2l-2m+2gt;0； 當nlt;2l+2時， n-2m-n-2（l+1）=2n-2m-2l-2gt;0.

顯然， 除懸掛路分支Pm和Pl， 其余懸掛路上的邊對Mostar指標的貢獻不變， 根據上述變換的結果知， 懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對Mostar指標的貢獻越小.

引理4 設G0Pi，i+k2，n-k2，n-k2， 則

M（G0）=n2-k2-2n+2k2，n為偶數，n2-k2-2n+4k-12，n為奇數.（1）

證明： 當n為偶數時， 有

M（G0）=2×（n-2+n-4+…+k）=2×n-2+k2×n-k2=n2-k2-2n+2k2.

當n為奇數時， 有

M（G0）= "1×k+n-2+n-4+…+k-1+n-2+…+k+1= "k+n-2+k-12×n-k+12+n-2+k+12×n-k-12= "n2-k2-2n+4k-12.

定理1 設GCn（T1，T2，…，Tk）， G0Pi，i+k2，n-k2，n-k2， 則

M（G）≥M（G0），（2）

等號成立當且僅當GG0， 如圖2所示.

證明： 根據引理1知， M（Cn（T1，T2，…，Tk））≥M（Cn（P1， P2，…，Pk））. 下面分析懸掛路分支的條數.

當懸掛路分支不少于3條時， 根據引理4的證明知， 圖G0圈上的邊對Mostar指標的貢獻為0（n為偶數）或1（n為奇數）， 而圖Cn（P1，P2，…，Pk

）圈上的邊對Mostar指標的貢獻不可能比0（n為偶數）或1（n為奇數）更小. 再根據引理3知， 懸掛路分支減少， 其上的邊對Mostar指標的貢獻和減小， 則圖G0的Mostar指標小.

當懸掛路分支為2條時， 若2條路不在圈Ck的2個對稱點分布， 則圈上至少存在一條邊e=vivj， 使得邊e對Mostar指標的貢獻nvi-nvj≥n-k≥2. 下面考慮懸掛路分布在圈Ck的2個對稱點上的情形.

設圖G′Pi，i+k2，n-k2-x，

n-k2+x， 其中0lt;x≤n-k2. 當x=n-k2時， 圈Ck上懸掛一條路. 下面證明M（G0）lt;M（G′）.

當n為偶數時， 考慮下列兩種情形.

情形1） n≤2k. 計算可得

M（G′）= "2xk+n-2+n-4+…+k-2x+n-2+n-4+…+k+2x= "2xk+n-2+k-2x2×n-k+2x2+n-2+k+2

x2×n-k-2x2= "n2-2n-k2+2k-4x2+4xk2.

因為x≤n-k2， n≤2k， 所以x≤k2， 從而

M（G′）-M（G0）=n2-2n-k2+2k-4x2+4xk2-n2-k2-2n+2k2=2x（k-x）gt;0.

情形2） ngt;2k.

① 當0lt;x≤k2時， 計算和情形1）同理.

② 當k2lt;x≤n-k2時， 有

M（G′）= "2kx+2+4+…+n-2+2+4+…+2x-k+n-2+n-4+…+k+2x= "n2-2n+4x2.

因此

M（G′）-M（G0）=4x+k2-2k2gt;0.

當n為奇數時， 分如下兩種情形討論.

情形1） nlt;2k. 計算可得

M（G′）= "（2x+1）k+n-2+n-4+…+k-1-2x+n-2+n-4+…+k+1+2x= "2kx+k+n-2+k-1-2x2×n-k+1+2x2

+n-2+k+1+2x2×n-k-1-2x2= "n2-2n-k2+4k-4x2+4kx-4x-12.

因為x≤n-k-12， n≤2k-1， 所以x≤k-22， 從而

M（G′）-M（G0）= "n2-2n-k2+4k-4x2+4kx-4x-12-n2-k2-2n+4k-12= "2kx-2x-2x2=2x（k-x-1）gt;0.

情形2） ngt;2k.

① 當0lt;xlt;k2時， 計算和情形1）同理.

②" 當k2≤x≤n-k-12時， 有

M（G′）= "（2x+1）k+n-2+n-4+…+1+1+3+…+1+2x-k+ "n-2+n-4+…+k+1+2x=n2+4x-2n+32.

因此M（G′）-M（G0）=4x-4k+k2+42gt;0.

3 偶長單圈圖加權Mostar指標的下界

設G是n個頂點的單圈圖， k為單圈圖的圈長， 當n=k時， w+M（G）=0; 當n=k+1時， w+M（G）=8k-2. 下面考慮當n≥k+2時單圈圖加權Mostar指標的下界， 從n的奇偶性兩種情形討論.

引理5 設G=Cn（P1，P2，…，Pk）， 則圈Ck上的懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對加權Mostar指標的貢獻越小.

證明： 設Pm和Pl是圈Ck上任意兩點v和v′上的2條懸掛路分支， 設Pm=u1u2…um， Pl=v1v2…vl， 其中1≤m≤l. 令G′=G-um-1um+vlum， 當m=1時， um-1=v.

下證G中懸掛路Pm和Pl上的邊對加權Mostar指標的貢獻和大于G′中懸掛路Pm-1和Pl+1上的邊對加權Mostar指標的貢獻和.

情形1） m=1， l=1. 此時， G中Pm和Pl上的邊對加權Mostar指標的貢獻和為4n-2+4n-2=8n-16; G′中Pm-1和Pl+1上的邊對加權Mostar指標的貢獻和為3n-2+5n-4=8n-26.

情形2） m=1， lgt;1. 此時， G中Pm和Pl上的邊對加權Mostar指標的貢獻和為

4n-2+3n-2+4n-4+…+4n-2（l-1）+5n-2l;

G′中Pm-1和Pl+1上的邊對加權Mostar指標的貢獻和為

3n-2+4n-4+…+4n-2l+5n-2（l+1）.

二者做差得4n-2+n-2l-5n-2l-2.

當n≥2l+2時， 4n-2+n-2l-5n-2l-2=8l+2gt;0； 當n≤2l時， 因為n≥l+m+k≥l+5， 所以4n-2+n-2l-5n-2l-2=8n-8l-18gt;0； 當n=2l+1時， 4n-2+n-2l-5n-2l-2=8l-8gt;0.

情形3） m≥2. 此時， G中Pm和Pl上的邊對加權Mostar指標的貢獻和為

3n-2+ "4n-4+…+4n-2（m-1）+5n-2m+3n-2+ "4n-4+…+4n-2（l-1）+5n-2l;

G′中Pm-1和Pl+1上的邊對加權Mostar指標的貢獻和為

3n-2+ "4n-4+…+4n-2（m-2）+5n-2（m-1）+3n-2+ "4n-4+…+4n-2l+5n-2（l+1）.

二者做差得-n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2.

當n≥2l+2時， -n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2=8l-8m+8gt;0；" 當n≤2l時， 因為n≥l+m+k≥l+m+4， 所以n-l-m≥4， 從而

-n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2=8n-8m-8l-12gt;0；

當n=2l+1時， 因為n≥l+m+k≥l+m+4， 所以lgt;m+3， 從而

-n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2=8l-8m-2gt;0.

顯然， 除懸掛路分支Pm和Pl， 其余懸掛路上的邊對加權Mostar指標的貢獻不變， 根據上述變換的結果可知， 懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對加權Mostar指標的貢獻越小.

引理6 設G0Pi，i+k2，n-k

2，n-k2， 則

w+M（G0）=2n2-2k2-6n+6k+4，n為偶數，2n2-2k2-6n+10k+6，n為奇數.（3）

證明： 1） n是偶數.

① 當n=k+2時， w+M（G0）=4×（k+2-2）×2=8k.

② 當ngt;k+2時， 有

w+M（G0）= "2×［3（n-2）+4（n-4）+…+4（k-2）+5k］= "2×4×n-2+k2×n-k2-（n-2）+k

=2n2-2k2-6n+6k+4.（4）

將n=k+2代入式（4）可得w+M（G0）=8k.

2） n是奇數.

① 當n=k+3時，有w+M（G0）=4（k-4）+20+7（k+3-2）+5（k+3-4）=16k+6.

② 當ngt;k+3時， 有

w+M（G0）= "20+4×（k-4）+3（n-2）+4（n-4）+…+4（k-3）+5（k-1）+ "［3（n-2）+4（n-4）+…+4（k-1）+5（k+1）］= "4k+4+4×n+k-32×n-k+12-（n-2）+k-1+ "4×n+k-12×n-k-12-（n-2）+k+1= "2n2-2k2-6n+10k+6.（5）

將n=k+3代入式（5）可得w+M（G0）=16k+6.

定理2 設G=Cn（T1，T2，…，Tk）， G0Pi，i+k2，n-k2，n-k2， 則

w+M（G）≥w+M（G0），（6）

等號成立當且僅當GG0.

證明： 根據引理2知， w+M（Cn（T1， T2，…，Tk））≥w+M（Cn（P1，P2，…，Pk））， 下面分析懸掛路分支的條數.

當懸掛路分支不少于3條時， 根據引理6的證明知， n為偶數時， 圖G0圈上的邊對加權Mostar指標的貢獻為0， 而圖Cn（P1，P2，…，Pk）圈上的邊

對加權Mostar指標的貢獻不可能小于0. 同理， 當n為奇數時， 圖G0圈上不與路相關聯的邊對加權Mostar指標的貢獻為4， 與路關聯的邊對加權Mostar指標的貢獻為5

， 而圖Cn（P1，P2，…，Pk）圈上不與路相關聯的邊對加權Mostar指標的貢獻不可能小于4， 與路關聯的邊對加權Mostar指標的貢獻不可能小于5. 再根據引理5知，

懸掛路分支減少， 其上的邊對加權Mostar指標的貢獻和減小， 則圖G0的加權Mostar指標小.

當懸掛路分支為2條時， 若2條路不在圈Ck的2個對稱點分布， 則圈上至少存在一條邊e=vivj， 使得邊e對加權Mostar指標的貢獻nvi-nvj≥4（n-k）≥8. 下面考慮懸掛路分布在圈Ck的2個對稱點上的情況.

設圖G′Pi，i+k2，n-k2-x，

n-k2+x， 其中0lt;x≤n-k2. 當

x=n-k2時， 圈Ck上懸掛1條路. 下面證明w+M（G0）lt;w+M（G′）.

當n是偶數時， 分3種情形討論.

情形1） k+2≤n≤2k.

① 當0lt;x≤n-k-42時， 有

w+M（G′）= "40x+8x（k-4）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k-2x）+ "3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+2x）= "8kx+8x+4×n-2+k-2x2×n-k+2x2

+ "4×n-2+k+2x2×n-k-2x2-2n+2k+4= "2n2-6n-2k2+6k+4-8x2+8kx+8x.

因為x≤n-k-42， n≤2k， 所以x≤k-42， 從而

w+M（G′）-w+M（G0）= "2n2-6n-2k2+6k+4-8x2+8kx+8x- "（2n2-2k2-6n+6k+4）=8x（k+1-x）gt;0.

② 當x=n-k-22時， 有

w+M（G′）= "（n-k-2）（4k+4）+4（n-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+ 5（2k+2-n）= 8nk-8k2+6n-14k-12，

從而w+M（G′）-w+M（G0）= "8nk-6k2+12n-20k-2n2-16= "（3k-n）（2n-2k-4）+8n-8k-16gt;0.

③ 當x=n-k2時， 有

w+M（G′）= "2×5×（n-k）+（k-2）×4×（n-k）+3（n-2）+4（n-4）+…+ 5（2k-n）= 8nk-8k2-4n+4k+2，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=8nk-6k2+2n-2k-2-2n2=（3k-n）（2n-2k）+2n-2k-2gt;0.

情形2） n≥2k+4.

① 當0lt;x≤k2時， 計算和情形1）中①同理.

② 當k2lt;x≤n-k-42時， 有

w+M（G′）= "8kx+8x+3（n-2）+4（n-4）+…+4×2+0+4×2+4×4+…+ "5（2x-k）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+2x）= "2n2-6n+20x+4，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=20x+2k2-6kgt;0.

③ 當x=n-k-22時， 有

w+M（G′）= "（n-k-2）（4k+4）+4（n-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+2×4+0+ "2×4+4×4+…+5（n-2k-2）=2n2+4n-10k-16，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2+10n-16k-20gt;0.

④ 當x=n-k2時， 有

w+M（G′）= "10（n-k）+4（n-k）（k-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+4×2+0+ "4×2+4×4+…+5（n-2k）=2n2-8k+2n+2，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2-14k+8n-2gt;0.

情形3） n=2k+2.

① 當0lt;x≤n-k-42時， 計算和情形1）中①同理.

② 當x=n-k-22=k2時， 計算和情形1）中②同理.

③ 當x=k+22時， 計算和情形2）中④同理.

當n是奇數時， 考慮如下情形.

情形1） k+3≤nlt;2k.

① 當0lt;x≤n-k-52時， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（2x+1）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k-1-2x）+ "3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+1+2x）= "（4k+4）（2x+1）+（n-2x+k-3）（n+2x-k+1）+k-1-2x-（n-2）

+ "（n+2x+k-1）（n-2x-k-1）-（n-2）+k+1+2x= "2n2-2k2-6n+10k+8kx-8x2+6.

因為x≤n-k-52， n≤2k-1， 所以x≤k-62， 從而

w+M（G′）-w+M（G0）=8x（k-x）gt;0.

② 當x=n-k-32時， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（n-k-2）+4（n-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（2k-n+2）= "8nk+6n-8k2-14k-12，

從而w+M（G′）-w+M（G0）= "8nk+12n-6k2-2n2-24k-18= "（3k-n）（2n-2k-6）+6（n-k-3）gt;0.

③ 當x=n-k-12時， 有

w+M（G′）= "10（n-k）+4×（n-k）（k-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（2k-n）= "8nk-8k2-4n+4k+2，

從而w+M（G′）-w+M（G0）= "8nk-6k2-2n2+2n-6k-4= "（2k-n）（2n-2k）+（2k+2）（n-k-2）gt;0.

情形2） n≥2k+3.

① 當0lt;x≤k-22時， 計算和情形1）中①同理.

② 當k-22lt;x≤n-k-52時， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（2x+1）+3（n-2）+4（n-4）+…+4×1+4×1+4×3+…+ "5（1+2x-k）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+1+2x）= "2n2-6n+20x+16，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2-10k+20x+10gt;0.

③ 當x=n-k-32時， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（n-k-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+4×1+ "4×1+…+5（n-2k-2）+4（n-2）=2n2+4n-10k-14，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2-20k+10n-20gt;0.

④ 當x=n-k-12時， 有

w+M（G′）= "2×5×（n-k）+4×（n-k）×（k-2）+4×1+4×3+…+ "3×（n-2）+4×1+4×3+…+5×（n-2k）= "2n2-8k+2n+4，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2+8n-18k-2gt;0.

情形3） n=2k+1.

① 當0lt;x≤n-k-52時， 計算和情形1）中①同理.

② 當x=n-k-32=k-22時， 計算和情形1）中②同理.

③ 當x=n-k-12時， 計算和情形2）中④同理.

綜上， 本文得到了當單圈圖的圈長為偶數時， 其Mostar指標和加權Mostar指標的下界， 并給出了相應的極值圖.

參考文獻

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（責任編輯： 李 琦）