祖沖之與祖暅之是中國歷史上最杰出的數(shù)學家父子。祖沖之所撰《綴術》是唐以前最艱深的數(shù)學經(jīng)典，后因深奧而未得傳；祖沖之把圓周率精確到8位有效數(shù)字，在當時世界上最為先進，這一紀錄保持了近千年；祖暅之運用祖暅之原理求出了“牟合方蓋”的體積，巧妙證得球的體積公式，這一成就比意大利數(shù)學家卡瓦列利至少要早1100年。此外，祖沖之與祖暅之還熱衷于天文學，祖沖之創(chuàng)制的《大明歷》最早將歲差引進歷法，祖暅之修訂了《大明歷》，并先后三次上書，建議朝廷頒布實施《大明歷》，最終使父親的遺愿得以實現(xiàn)。

一、祖沖之與祖暅之的生平

祖沖之（429－500），字文遠，祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水），生于南朝宋都建康（今江蘇南京）。曾祖父臺之適晉亂，舉家南遷，曾祖父、祖父、父親都先后仕晉和劉宋。祖父祖昌官至主管土木工程的大匠卿。祖家家學深厚，長于歷算，沖之幼年聰慧，有機思，受到良好的傳統(tǒng)文化教育，尤其是歷算方面的教育，青年時代就成為有影響的學者。宋孝武帝“使直華林學省”，協(xié)助主持科研機關。后來他又任南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）迎從事，公府參軍。宋大明六年（462），他經(jīng)多年努力，完成《大明歷》。孝武帝令“善歷者難之，不能屈”。恰遇孝武帝駕崩去世，未能頒行。祖沖之出為婁縣（今江蘇昆山）縣令，后又為謁者仆射。祖沖之在數(shù)學領域取得開拓性成就，注《九章》，造《綴術》數(shù)十篇，將圓周率的計算精確到8位有效數(shù)字。祖沖之又是機械制造專家。宋武帝在關中得到姚興的指南車，只有外殼，內(nèi)部機械已損壞，每當行走時，需人在內(nèi)轉之。宋升明二年（478），祖沖之改造銅機，圓轉不窮，指南的方向始終如一，時人譽為“馬均以來未有也”。入齊，任長水校尉，作《安邊論》，主張開荒屯田，以廣農(nóng)殖。祖沖之還造過千里船，日行百余里，造過水碓磨，及木牛流馬等運載工具。他解音律，善博戲，當世鮮有對手。他還著《易》《老》《莊》義，釋《論語》《孝經(jīng)》，撰《述異記》。

祖暅之（456—536），一作祖暅，字景爍，祖沖之之子。少傳家業(yè)，究極精微，善于思考。當其詣微之時，雷霆不能入。有一次，他走路思考問題，一頭撞到仆射徐勉身上。徐勉喚他，才恍然大悟，傳為佳話。梁天監(jiān)初，修訂乃父《大明歷》，九年（510）正式頒行，后一直施行至陳亡（589）。南朝梁普通六年（525），祖暅之被北魏俘獲，由于數(shù)學家信都芳的推薦，受到安豐王元延明的禮遇。三人經(jīng)常在一起研討數(shù)學問題。后祖暅之南返，“留法授芳”，信都芳之數(shù)學水平大為提高。祖暅之提出祖暅之原理，從而求出了劉徽設計的“牟合方蓋”的體積，徹底解決了球體體積計算問題。

二、《綴述》與《綴術》

關于《綴術》的書名、卷數(shù)、作者，史籍記載互異?！赌淆R書》《南史》稱祖沖之“造《綴述》數(shù)十篇”?！端鍟ぢ蓺v志》云祖沖之“所著之書名為《綴術》”，未云卷數(shù)?！端鍟そ?jīng)籍志》《日本國見在書目》均作《綴術》六卷，而無著者姓名?！锻ㄖ尽纷鳌毒Y術》六卷，祖沖之撰。宋李籍《周髀算經(jīng)音義》與《舊唐書·經(jīng)籍志》《新唐書·藝文志》稱《綴術》五卷，祖沖之撰。唐王孝通《上緝古算經(jīng)表》稱祖暅之《綴術》，未云卷數(shù)。宋沈括《夢溪筆談》卷一稱“北齊祖亙有《綴術》二卷”。上面這些資料表明，南北朝時期只有祖沖之造《綴述》的記載，而無《綴術》及祖暅之作《綴術》的說法。到隋、唐時期，出現(xiàn)《綴術》之名，為五卷或六卷，大多數(shù)仍說祖沖之著；同時，也有個別記載祖暅之作《綴術》。因此，一般認為《綴述》與《綴術》是同一部著作。在流傳過程中，著作名稱改變是時有發(fā)生的?！毒Y術》中有祖暅之的增補，故后人又有祖暅之《綴術》之說。

《綴術》與祖沖之《九章注》的關系，也是人們爭論不休的問題?！赌淆R書》《南史》云祖沖之“注《九章》，造《綴述》數(shù)十篇”，令人理解上存在歧義。祖沖之注過《九章算術》是無疑的?！度毡緡娫跁俊芳扔小毒耪隆肪啪恚ㄗ嬷凶ⅲ毒耪滦g義》九卷（祖中注），又有《綴術》。“祖中”自然是祖沖之之誤。但是，也可能其《綴術》就是《九章注》。錢寶琮主編的《中國數(shù)學史》持后一種看法：祖沖之寫成了數(shù)十篇專題論文，附綴于劉徽注的后面，叫它“綴述”，也就是《九章注》。目前難以對這兩種說法作出中肯的評判。

《綴術》的內(nèi)容已不可詳考。王孝通《上緝古算經(jīng)表》指責“祖暅之之《綴術》曾不覺方邑進行之術，全錯不通；芻甍、方亭之問，于理未盡”，可見方邑測望問題及體積問題是其中重要內(nèi)容?！端鍟ぢ蓺v志》引祖沖之圓周率的成就和開差冪、開差立的內(nèi)容，李淳風等《九章算術注釋》引祖暅之開立圓術，都應該是《綴術》的內(nèi)容。

《綴術》失傳的時間已不可考?！端问贰こ軅鳌份d楚衍通《綴術》。這常被人們作為《綴術》在宋初仍存世的證據(jù)?？墒潜彼卧S七年（1084），秘書省刊刻十部算經(jīng)時，已找不到《綴術》。博學多才的沈括將“南齊”誤為“北齊”，將“祖暅之”誤為“祖亙”，可見他亦未見到過此書。如果楚衍精通《綴術》，那么《綴術》是在楚衍之后不到半個世紀內(nèi)亡佚的。一般說來，一部書亡佚，或因為戰(zhàn)亂，或因為水火等天災，或因為艱深而無人問津。但是，楚衍和他的弟子賈憲、朱吉都是數(shù)學大家，當時數(shù)學在度過了唐朝的衰敗后已經(jīng)復興，而當時北宋沒有大的動亂，11世紀上半葉還存在的重要著作，不會在下半葉便無蹤影。故我們認為，《隋書·律歷志》提供了《綴術》失傳的原因，這就是“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”。唐初數(shù)學盡管有王孝通的三次方程解法，李淳風等整理十部算經(jīng)，國子監(jiān)設算學館等創(chuàng)設，但數(shù)學水平遠遠低于魏晉南北朝。李淳風等《九章算術注釋》，不僅沒有什么創(chuàng)造，反而幾次指責劉徽，而所有這些，錯誤的不是劉徽，而恰恰是李淳風等，其數(shù)學水平之差躍然紙上；[1]甚至連圓內(nèi)接正六邊形的周長與圓徑之比為三比一都說“難曉”，需舉實物為喻。《綴術》在算學館需修四年，可見相當艱深。因此，“學官莫能究其深奧”是可信的。王孝通對《綴術》的指責為此提供了旁證。王孝通在歷法上是守舊派。他著《緝古算經(jīng)》，自詡千金不能易一字，缺乏一個科學工作者應有的謙虛和實事求是作風。他對《綴術》的指責說明他與算學館的學官一樣，不能理解《綴術》艱深的內(nèi)容。這很像明朝數(shù)學大家顧應祥對李冶《測圓海鏡》的指責?？傊毒Y術》是唐朝學官看不懂被廢而不理，完全湮沒大約在安史之亂之后。[2]

三、《大明歷》與《駁議》

劉宋何承天制定的《元嘉歷》“比古十一家為密”，是一部優(yōu)秀歷法。但祖沖之經(jīng)過長期觀測、研究與計算，以為尚疏。于是在《大明歷》中提出許多革新，所謂“改易之意有二，設法之情有三”。改易之意，其一是改革閏周，將傳統(tǒng)的19年7閏改為391年144閏。直到唐初歷法不再討論閏周為止，這是最準確的數(shù)值。其二是首次將歲差引入歷法。歲差是東晉虞喜發(fā)現(xiàn)的，何承天也推算了歲差值，但未用于歷法。祖沖之在《大明歷》中使用的歲差數(shù)值為45年11月退行1度。此外，《大明歷》的回歸年長度為365.24281481日，朔望月日數(shù)為29.5305915，后者的誤差每月僅長了0.5秒。直到宋代歷法的精度才超過這兩個數(shù)值。

《大明歷》的三項新設法都與上元積年的計算有關。中國古代制定歷法時，大都要先推算出若干年前的一個理想的歷元，使各種天象周期都處于初始狀態(tài)。這個理想的歷元被稱作“上元”。從上元到編定歷法那年的年數(shù)被稱作“上元積年”。祖沖之在《大明歷》中提出：“上元之歲，歲在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星，聚于虛度之初，陰陽遲疾，并自此始?！边@就要求“上元”之年必須是甲子年，該年十一月初一必須是甲子日，其夜半又恰好是合朔和冬至節(jié)氣，并且此時日月五星恰好都聚集于虛宿初度。要推算出這個理想的上元，需要解一次同余方程組問題?！秾O子算經(jīng)》已有這種解法，可以認為，祖沖之在解一次同余方程組方面的造詣是相當高的，可惜我們無法深究其具體成就。祖沖之還創(chuàng)造了測算與計算冬至時刻的方法。他給出交點月為27.2122304日，這是中國歷史上第一個交點月日數(shù)，比現(xiàn)代的理論數(shù)值僅多0.0000152日。此外，他給出的五星周期的數(shù)據(jù)也比較精確。[3]

祖沖之將《大明歷》呈上朝廷，宋世祖劉駿“下之有司，使內(nèi)外博議”。朝廷官員中通歷算者極少，“竟無異同之辯”。唯世祖寵臣戴法興竭力反對，指責祖沖之“誣天背經(jīng)”。祖沖之毫不畏懼，據(jù)理駁斥，寫出著名的《駁議》，即《大明歷議》。他針對戴法興所說天象“非凡夫所測”，指出：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推。劉賈能述，則可累功以求密矣?！贬槍Υ鞣ㄅd說的“古人制章”“萬世不易”，指出：“曲辯碎說，類多浮詭，甘石之書，互為矛楯。今以一句之經(jīng)，誣一字之謬，堅執(zhí)偏論，以罔正理，此愚情之所未厭也。”又如“至若立圓舊誤，張衡述而弗改；漢時斛銘，劉歆詭謬其數(shù)；此則算氏之劇疵也?！币虼?，不應“虛推古人”。前代的歷法當時或許是準確的，但日久則疏。祖沖之以元嘉、大明四次月蝕為例說：“凡此四蝕，皆與臣法符同，纖豪不爽。而法興所據(jù)，頓差十度，違沖移宿，顯然易睹。故知天數(shù)漸差，則當式遵以為典，事驗昭晰，豈得信古而疑今?！彼麍远ǖ乇硎荆骸霸嘎勶@據(jù)，以核理實”“浮辭虛貶，竊非所懼”?！恶g議》是科學史上一篇重要文獻，既反映了祖沖之實事求是的科學學風，又顯示了他不畏權貴，敢于堅持真理，敢于斗爭的大無畏精神。

《宋書·律歷志》說，在祖沖之與戴法興的辯論中，朝臣們畏懼戴法興的權勢，皆附和戴法興，“唯中書舍人巢尚之是沖之之術，執(zhí)據(jù)宜用”[4]。大明八年（464），世祖決定采用沖之新歷，明年改元。未及頒行，世祖去世，改歷之事被擱置下來。直到梁武帝天監(jiān)九年（510），在祖暅之的再三請求下，經(jīng)過與實際天象校驗后，《大明歷》才被予以正式頒行，這時距祖沖之去世已10年，距《大明歷》編成已近50年。

四、祖率

《隋書·律歷志》在回顧了人們求圓周率值的過程之后，談到了祖沖之的貢獻：

宋末，南徐州從事史祖沖之更開圓率密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈、朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，周二十二。

此相當于3.1415926＜π＜3.1415927，約率：π=，密率：π=。

祖沖之將圓周率精確到8位有效數(shù)字，這個精確度直到1247年才被中亞數(shù)學家阿爾·卡西所超過。而密率則是分母小于16604的接近真值的最佳分數(shù)，它于1573年才被德國數(shù)學家奧托重新發(fā)現(xiàn)。后來，荷蘭工程師安托尼茲也得到同樣的結果。后者是用阿基米德的方法求出＜π＜，然后取二者分子、分母的平均值得出的。[5]西方將稱為安托尼茲率。日本學者三上義夫建議將稱為祖率，是有道理的。

祖沖之是怎樣求出上述值的，史書沒有記載。一般認為，他是利用劉徽的計算圓周率的程序求得π的8位有效數(shù)字的。錢寶琮《中國數(shù)學史》的推測是：直徑為1丈的圓的內(nèi)接正6×210邊形的面積S10=3.14159251丈2，正6×211邊形的面積S11=3.14159261丈2，于是S11-S10=3.14159261丈2-3.14159251丈2=0.0000001丈2。由于S11＜S＜S10+2（S11-S10），那么得到圓面積的盈、朒二限：3.14159261丈2＜S＜3.14159271丈2。

利用《九章算術》的圓面積公式S=Lr，便可求出圓周長的盈朒二限：3.14159261丈＜L＜3.14159271丈 。這正是祖沖之的結果。

約率實際上是何承天求出的。據(jù)《隋書·天文志上》，何承天說，周天365度，南北二極相去116度強，即天徑。天徑與天周之比與非常接近。

至于密率是怎么求得的，數(shù)學史界有各種猜測。有的學者認為是通過繁分數(shù)或漸近分數(shù)求得的。但是，它不符合中國古代的數(shù)學傳統(tǒng)。我們知道，《九章筭術》與劉徽時代很不愿意使用繁分數(shù)（即重有分），這種傳統(tǒng)到祖沖之時代看不出有改變的跡象。錢寶琮《中國數(shù)學史》認為祖沖之是用何承天的調(diào)日法求得密率的。已知＜π＜，以作為圓周的強率，作為弱率。將強、弱二率的分子、分母分別相加，得到=＜π。由此類推，便得到=。祖沖之將其作為圓周密率。

祖沖之與何承天都是南朝歷算大家，祖沖之繼承何承天的方法頗多。我們認為，錢寶琮的推測是可信的。

五、祖暅之原理

中國古代處理圓柱、圓錐、圓亭以及球等圓體體積，主要借助于截面積原理，亦即祖暅之原理。截面積原理在《九章算術》時代就有其雛形，劉徽實際上已認識到其實質(zhì)，祖暅之以簡潔的語言概括了這一原理。

（一）《九章算術》的底面積原理

《九章算術》和秦漢數(shù)學簡牘給出了若干圓體的體積公式，除了使用“周三徑一”外，都是正確的。實際上這些圓體體積公式是通過比較圓體與相應的方體的底面積得到的。很明顯，在《九章算術》中，方堢壔與圓堢壔，方錐與圓錐，方亭與圓亭都是成對的出現(xiàn)，而且在術文的形式上，后者都是前者加一個系數(shù)，也就是以后者的底面周長構造前者形狀的一個方體，比較其底面積，由前者推導后者。

（二）《九章算術》中錯誤的球體積公式

《九章算術》開立圓術給出了已知球體積V，求球直徑的公式d=。也就是球體積公式：

V=d3 （1）

劉徽指出《九章算術》開立圓術所使用的球體積公式是錯誤的。他說：

為術者蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。

圓囷就是圓堢壔，即今之圓柱。設圓與其外切正方形的面積分別為S圓，S方，圓柱與其外切正方體的體積分別為V圓柱和V正方體。劉徽記錄的《九章算術》的推導過程是：因為S圓∶S方=3∶4，故V圓柱∶V正方體=3∶4，而

V球∶V圓柱=3∶4" " （2）

由于以d為邊長的正方體體積是V正方體=d3，故有（1）式。

劉徽指出：“然此意非也?！痹斐慑e誤的關鍵在于推導中使用了錯誤的（2）式。而（2）式錯誤的原因是只考慮了球與圓柱的一個截面，即大圓和大方的面積之比，如圖1（1），而沒有考慮兩者任意截面的面積之比。實際上，只要不是球與圓柱的大圓和大方，其他任意截面上，（2）式都不成立，如圖1（2）所示。

（三）劉徽的截面積原理

劉徽在求由羨除分割出來的大鼈腝的體積時，提出：“推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實?！?“成”，層也?！吨芏Y·秋官司寇》：“將合諸侯，則令為壇三成?！编嵭⒃唬骸叭桑匾?。”劉徽在這里使用了一個重要原理：同底等高的方錐與陽馬沒有一層不是相等的方形，所以它們的體積才相等，如圖2。這是十分明確的截面積原理，并且把立體看成無數(shù)層平面一層層疊積而成的，類似于卡瓦列利的不可分量。

因此，劉徽常把立體體積稱作積分，如圓亭術注說“三方亭之積分”，委粟術注說“三方錐之積分”。這里的積分當然不是積分學中的積分，但其本質(zhì)是一致的。實際上，點與線，線與面，都有類似于平面與立體的關系。劉徽認為，從正六邊形開始割圓，終究會達到“不可割”的地步，實際上與圓周合體的正多邊形的每邊長已退化成點。也就是說，圓周的這條線是由無數(shù)個點積累而成的。所以，劉徽也稱線為“積分”，如委粟注中說“徑之積分”。

正因為有這種認識，劉徽才能指出《九章算術》使用的球體積公式是錯誤的，才能設計出牟合方蓋，指出解決球體積問題的正確途徑。

總之，劉徽的大量論述表明，他已經(jīng)完全把握了截面積原理的本質(zhì)，并且，劉徽不僅討論兩者相等的情形，而且也討論了兩者呈率關系的情形。只是劉徽的這些論述分散在不同術文的注中，沒有以簡潔的語言將其概括出來。

（四）祖暅之原理

祖暅之繼承了劉徽關于截面積原理的深刻認識，以相當簡潔的文字概括了這一原理?！毒耪滤阈g》開立圓術李淳風等注釋所引祖暅之的開立圓術中說：“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異?！本褪钦f，兩立體，若它們?nèi)我獾雀咛幍慕孛娣e相等，則它們的體積不能不相等。這就是祖暅之原理，它與卡瓦列利原理是等價的。

在劉徽設計的牟合方蓋中，祖暅之不僅考慮兩個立體，而且考慮兩組立體，就是說，兩組立體，若它們分別在任意等高處的截面積之和相等，則它們的體積相等。

六、牟合方蓋與球體積

（一）劉徽設計的牟合方蓋

劉徽為解決球體積，設計了牟合方蓋。他說：

取立方棊八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣。八棊皆似陽馬，圓然也。按：合蓋者，方率也；丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉？

劉徽取兩個相等的圓柱體使之正交，其公共部分稱作牟合方蓋，如圖3。設牟合方蓋的體積為V方蓋，劉徽指出：

V球∶V方蓋=π∶4" "（3）

由于V方蓋＜V圓柱是不言而喻的，因而證明了V球∶V圓柱=π∶4是錯誤的。劉徽認為，只要求出牟合方蓋的體積，便可求出球的體積公式。

劉徽經(jīng)過努力未能求出牟合方蓋的體積，不強為之說，坦誠地記下了自己的困惑：

觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。

顯示了一位真正科學家實事求是的高風亮節(jié)。200年后的祖沖之父子就是劉徽期待的“能言者”，他們徹底解決了這個問題。

（二）祖暅之關于牟合方蓋的求積方法

祖暅之利用祖暅之原理求出了牟合方蓋的體積，解決了球體積問題，完成了劉徽的遺志。錢寶琮根據(jù)祖沖之《駁議》說“立圓舊誤，張衡述而弗改”，在《中國數(shù)學史》中說“《綴述》中很可能有一篇討論牟合方蓋和立圓體積的計算方法”，換言之，球體積的解決是祖沖之、祖暅之父子的共同貢獻。李淳風等注釋引祖暅之開立圓術說：

祖暅之之開立圓術曰：以二乘積，開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞于左后之下隅，從規(guī)去其右上之廉；又合而橫規(guī)之，去其前上之廉。于是立方之棊分而為四：規(guī)內(nèi)棊一，謂之內(nèi)棊；規(guī)外棊三，謂之外棊。規(guī)更合四棊，復橫斷之。以勾股言之，令余高為勾，內(nèi)棊斷上方為股，本方之數(shù)，其弦也。勾股之法：以勾冪減弦冪，則余為股冪。若令余高自乘，減本方之冪，余即內(nèi)棊斷上方之冪也。本方之冪即內(nèi)外四棊之斷上冪。然則余高自乘，即外三棊之斷上冪矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸同而涂殊者爾。而乃控遠以演類，借況以析微。按：陽馬方高數(shù)參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數(shù)亦等焉。夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異。由此觀之，規(guī)之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內(nèi)棊居二可知矣。合八小方成一大方，合八內(nèi)棊成一合蓋。內(nèi)棊居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗矣。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為丸率。故曰丸居立方二分之一也。

祖暅之考慮立方的八分之一。他著言于正方體中在切割出牟合方蓋之后剩余的部分。記正方體的為ABCDEFGO，如圖4（1）所示。其內(nèi)切牟合方蓋的為AEFGO，稱為內(nèi)棊，如圖4（2）所示。正方體與牟合方蓋之間的部分在切割出牟合方蓋時被切割成三部分：ADEF，ABGF，ABCDF，稱為外三棊，如圖4（3）（4）（5）所示。用一平面在高OA上任一點N處橫截ABCDEFGO，得截面IJKN。設ON=a，稱為余高，則其截面IJKN的面積為球半徑之平方r2。內(nèi)棊的截面為正方形NMHL，設其面積為b2，那么，顯然，外三棊的截面，即長方形LHQK，MIPH，和正方形HPJQ的面積之和應為r2-b2。而由勾股形ONM，r2-b2=a2，即余高自乘。而a2恰恰等于一個長、寬、高相等的陽馬距頂點為a處的橫截面積，如圖4（6）所示。由祖暅之原理，外三棊的體積之和與其長、寬、高為球半徑的陽馬的體積相等，即等于小立方的。因此，內(nèi)棊的體積是小立方的。這就證明了牟合方蓋的體積是其外切正方體體積的。若取π=3，則球體積為：V球=×D3=D3。從而最終解決了球體積問題。

祖暅之的高明之處在于，他將祖暅之原理應用于幾塊立體的截面積之和與另一立體的截面積的比較上；而且，這幾塊立體的截面積也沒有保持同一形狀，而是逐漸變化的；更重要的，各截面積的變化率也不是如《九章算術》和劉徽所論者都是線性，而是非線性的。這種應用的拓展表明祖暅之對此原理的認識比劉徽進了一大步。

《隋書》還記載祖沖之開差冪、開差立，兼以正負參之，很可能是含有負數(shù)的2次、3次方程解法。

（作者簡介：郭書春，中國科學院自然科學史研究所研究員，國際科學史研究院通訊院士，曾任中國科學院自然科學史研究所黨委委員、工會主席、學術委員會副主任兼數(shù)學史天文學史研究室主任、全國數(shù)學史學會理事長。）

欄目編輯：王魁詩

參考文獻

[1]郭書春主編.中國科學技術史·數(shù)學卷[M].北京：科學出版社，2010.

[2]郭書春.是《綴術》“全錯不通”，還是王孝通“莫能究其深奧”？[M]//郭書春數(shù)學史自選集：下冊.濟南：山東科學技術出版社，2018.

[3]杜石然.中國古代科學家傳記（上冊）：祖沖之[M].北京：科學出版社，1992.

[4]沈約.宋書[M].北京：中華書局，1974.

[5]梁宗巨.數(shù)學歷史典故[M].沈陽：遼寧教育出版社，1992.