關鍵詞： 建筑力學 疊加法 矩圖 探討

中圖分類號： G64 文獻標識碼： A 文章編號： 1672-3791（2023）16-0150-04

力學的概念起源于古人對自然現(xiàn)象的觀察、在自然界生產活動過程中總結的經驗。16—17 世紀，力學開始發(fā)展成為一門相對獨立、系統(tǒng)的自然科學門類。建筑力學是建筑行業(yè)的基礎課程，它旨在幫助學生們更好地理解建筑結構的客觀特征，并掌握結構構件的受力特性，從而為建筑設計和施工提供堅實的基礎。通過應用疊加原理，我們可以使用一種全面的、多維度的分析和綜合方法。通過疊加原理，當結構構件處于彈性范圍內，受到多種荷載的共同影響，其反應將會以線性方式發(fā)展，也就是說，每種荷載的影響都會相當于它們單獨施加的力的總和。在分析問題和解決問題上，是把復雜的研究問題，分解為若干個簡單問題，在分析的基礎上分別解決各個簡單問題，然后將各個簡單問題統(tǒng)一到復雜的研究問題上來，使復雜問題得到解決。疊加法是一種將建筑物的力學和結構緊密聯(lián)系起來的方法。

1 相關概念概述

彎矩圖描繪了桿件在不同截面上的彎曲變形情況。曲線可以被廣泛理解，從簡單的直線到復雜的曲線，甚至可以被稱為普遍的曲線。彎矩圖可以用來描述結構物的彎曲力，它們通常出現(xiàn)在受力部位，不需要標注正負值。

1.1 彎矩圖的特征

繪制彎矩圖時，有兩個關鍵步驟：首先，要準確描繪出曲線的形狀，即確定彎矩圖的特征；其次，要確定曲線的位置，即在已知曲線的形狀和大小的基礎上，確定平面曲線的位置，這就要求先確定曲線上任意兩點的位置，這兩點的位置就是指某兩個截面處的彎矩值[1]。

可見，彎矩曲線的繪制過程主要是進行如下兩個步驟：（1）確定圖形特征和特征值；（2）可以得出某兩個截面上的彎矩值。

1.2 繪制方式

首先，根據(jù)單跨梁的特性和規(guī)律，繪制出附屬部分的彎矩圖，然后再將其延伸至基本部分，以獲得更準確的結果。由于多跨靜定梁的結構特性，其連接處的集中力僅限于支撐其主體結構的一端，而不會影響其他支撐結構的穩(wěn)定性?？梢哉f，這種情況不會給其他部件帶來任何負面影響。這個集中精力主要來自于基礎組成部分。

通過應用疊加原理，可以更加輕松地繪制出靜定結構的彎矩圖，從而更好地滿足實際需求。當遇到三鉸剛架時，可以將其中的某一部分替換為虛擬的單跨梁，以此來模擬真實結構的受力特性和變形特性，從而可以迅速繪制出結構的彎矩圖，以便更好地理解結構的力學性能。

2 疊加法適用條件

前文中提到的疊加原則，它僅在規(guī)定變形材料必須均勻分布連續(xù)和各向同性分布時才會出現(xiàn)。而疊加方法的最大彎矩圖相等曲線，正是依據(jù)疊加原則。它認為當多個荷載同時作用于同一構件上時，所構造的最大彎曲矩圖就相當于各構件在同一個荷載的下彎，矩圖的大小重疊。這里的疊加法并沒有將單一工況下的所有等力矩曲線拼湊起來，而只是對在相應橫向直徑位置上的所有彎矩值加以代數(shù)求和。對于任何直線桿，無論其內能是靜態(tài)的還是超靜態(tài)的，是等線的棒還是對線的棒，無論是桿段中相鄰段的連接或指向連接，還是多個環(huán)節(jié)，都適用彎矩疊加法[2]。

2.1 疊加法在靜定結構彎矩圖中的運用

在構造流體力學中，靜定結構一般有靜定多跨柱和靜定平面剛架等，但往往出現(xiàn)了把空間結構簡單化為由很多個簡支柱和懸臂柱所構成，那么柱子上的相互作用有一個簡單的情況，即不同的均布荷載和集中力的相互作用。根據(jù)材料力學中的方法，首先要計算出所有的支座反作用力，然后利用支座反作用力與柱子上總荷載力的關系，制作柱子的最大剪力圖，最后根據(jù)剪力圖的總面積制作最大彎矩圖[3]。

而利用疊加法，就能夠少求支反或不求支反便能夠做出大彎矩圖，首先確定了梁上的幾個限制截面位置，這個限制截面位置一般是在結點處、集中力或力偶相互作用處，分布在負荷的起點末端處的散射截面；其次再根據(jù)這個限制截面位置確定出和這個散射截面相關的，這段梁上的負荷力比較簡單的支座，接著利用平衡關系求取其支反力，再取分離體計算出控制斷面的最大彎矩值，把不同控制斷面處的最大彎矩值在力矩相等圖形上繪制起來[4]，接著利用虛網聯(lián)系起來，把不同控制斷面之間的梁上負荷力相互作用所產生的最大彎矩圖形在虛網的基礎上重疊起來。將彎矩畫起來以后，再按照其斜率與剪力強度疊加的平衡關系給出剪力圖，再通過觀察在剪力圖上的剪力突變現(xiàn)象，計算出其他未得到的支反力值，這就把整個構件的內部內力都畫起來了，而且還能夠再根據(jù)平衡關系校核所求的內部力和支反準確與否，從而增加了求解的準確性。

2.2 疊加法在超靜定結構彎矩圖上的運用

在解決靜定結構問題上，疊加方法的優(yōu)勢并沒有十分明顯，不過在處理超靜定結構的問題時，將疊加方法和常規(guī)的方法比較就更加方便了。超靜定系統(tǒng)的代表特征是連續(xù)跨梁和超靜定鋼框架，而就土木工程而言，超靜定系統(tǒng)的數(shù)量往往非常多。在這種情況下，要一一求解支撐力，然后再利用剪力圖求出最大彎曲時間框架，將是非常困難和耗時的。疊加法的應用很方便解決這個問題，但它必須先找到控制點，得到等于它的彎矩的真實值[5]。為疊加法的實質上是平衡，它可以利用疊加各種荷載所產生的平衡效果，來得到不同斷面的彎矩值，從而確定結構斷面的彎矩值和實際數(shù)值相符合，并以此確定結論的準確性。如果要確定在斷面上的實際彎矩值并求得正確，那么便能夠把梁面分割成若干個區(qū)段，而這些每個區(qū)段都能夠由一段在兩端承載著外力偶的簡支梁所疊加起來，而由于簡支梁的兩端都作為內鉸支座而沒有受到實際彎矩，于是可以把所控制斷面的實際彎矩值變換成附著在兩端上的外力偶的疊加，這也就確定了不能更改支梁內斷面的實際彎矩值這一基礎要求。然后利用區(qū)段疊加方法和力法及位移方法，就可以迅速做出彎矩曲線。

3 疊加法繪制彎矩圖具體步驟

整體疊加法、區(qū)段疊加這兩種轉臺，具體敘述如下。

3.1 整體疊加

描繪了簡支梁AB，以及在全跨均布荷載的應力偶極情況下產生的極限彎矩的形狀。根據(jù)疊加原理，我們可以計算出原荷載是在力偶的均布作用的情況下的疊加，如圖1 所示。

所以，根據(jù)圖1 可知，（a）圖的彎矩圖等于（b）圖與（c）圖彎矩圖的疊加，也就是只需繪制出單跨靜定梁AB 在每個負荷分別影響下的力矩圖，而后再將對應截面上的彎矩值進行代數(shù)求和后，得出（a）圖形的力矩相等圖。將（b）圖彎矩圖記為M₁，（c）圖最大彎矩相等圖記為M2。M₁圖如M₂圖如圖2 所示。

則（a）圖中控制截面的彎矩值：M_A=M_1A+M_2A=ql²，M_B=M_1B+M_2B=0（下側受拉為正）；跨中截面M _中=（ql²）/2+（ql²）/8=（5ql²）/8（下側受拉為正）。由于M 圖是一個直線，是一次函數(shù)；M 圖則是一個拋物線，是二次函數(shù)。所以，一次函數(shù)和二次函數(shù)相加后，最后還是二次函數(shù)。

通過這個案例可以發(fā)現(xiàn)，對于設計中的荷載比較簡單的情況，在采用疊加方法繪制力矩等圖時，應該首先繪出其中一個負載獨立工作時的力矩等圖，而后再在該力矩等圖的基礎上，堆疊另一個負載的力矩等圖。但這時，需要注意的是，在重復過程中，每個獨立載荷產生的矩等值線和對應的縱坐標值是代數(shù)相加的。兩幅矩等時圖像的疊加并不是簡單的兩幅圖像的組合，而是兩幅圖像的縱坐標值疊加后，在同一邊加上縱坐標值，在縱坐標的另一邊加上縱坐標值。如果控件的符號不一樣，標簽和背景圖片重疊的兩個控件值相互抵消，不重疊的是可取的時序圖。為了描述方便，將建筑結構上的荷載分為兩種。第一種稱為“優(yōu)先載荷”：

繪制的彎矩圖的某個部分是直形載荷，因為最好先制作直形力矩。再以直邊為基線疊加曲線或折線矩圖；另一種稱為“疊加載荷”：在一定區(qū)間內均勻分布載荷的最大集中力。因此，使用疊加法繪制最大彎矩圖的繪制過程敘述如下。

（1）荷載劃分，確定“優(yōu)先荷載”“疊加荷載”。

（2）在“優(yōu)先荷載”的意義下的彎矩圖。

（3）疊點：如果“疊加荷載”為集力作用，則將集力作用點沿集中力向疊加，通過Fab/l 確定第三點；若“疊加荷載”為均布荷載，則均布荷載作用范圍的中心線按均布荷載的方向重疊，通過（ql2）/8 可確定出第三點。

（4）按照作圖規(guī)則，把所控制斷面上的最大彎矩值用相應的曲線連起來，即得最后的最大彎矩圖。

3.2 區(qū)段疊加

區(qū)段重疊又被叫作分段重疊，就是在構件的一個區(qū)域中可以用疊加法繪制彎矩曲線，這個技術也是運用疊加法理論研究構件受力的一個簡單手段，可以把復雜的問題劃分成幾個簡單問題，減少分析的時間。區(qū)段加法可應用于任意直柱段，可得到梁段桿端的最大彎矩圖，梁上的荷載已知。例如：當承受以下載荷時，下面簡化柱截面的最大彎矩圖。

設線AD、DB 均采用截面疊加繪制最大彎矩圖，并以DB 截面為例說明最大彎矩圖。設D 截面最大彎矩為Mp，則B 截面最大彎矩為Mg。先求出該構件的支座反力F_A=1/6ql、F_B=11/6ql，再用截面法把DB 段從整個構件中提取后進行受力分析，假定在B、D 截面上的所有設計內力均為正方向。

通過觀察可以看出，DB 區(qū)段的受力分析與DB 區(qū)段對應簡支梁的受力分析一樣。與DB 區(qū)段相應的簡支梁的內力圖也可以使用上述所給出的整體疊加方法繪制出。通過整體，疊加的繪制過程已經表明了，要想繪出DB 段彎矩曲線，就必須使用剛才得到的Mp、Mg，然后再根據(jù)上述的方法進行疊加過程即可。

因此，區(qū)段內疊加并繪制彎矩圖的作圖流程，可概括為如下一些過程。

（1）確定區(qū)段疊加段。區(qū)別構件的哪一范圍內，可通過重疊法描繪最大彎矩大小相等的曲線，以便區(qū)分構件在某范圍內有均布荷載作用或某范圍內有集合力作用，例如：在圖四的A 右到D 截面區(qū)段、DB 范圍內，可通過區(qū)段重疊法。

（2）求截面的受控彎曲力矩。結構上的壓力發(fā)生節(jié)點的作用發(fā)生節(jié)點都是在限位開關段，限位裝置段中的最大彎矩相等但不包含在上述各均布荷載段跨的最大彎矩不均值的集中力作用的部分。

（3）分段繪制彎矩曲線。當控制截面之間沒有作用時，依據(jù)控制截面的彎矩值，就可以得出平直的最大彎矩圖形。當控制截面之間有負載作用時，依據(jù)控制截面的彎矩值得出平直最大彎矩圖時，就可以疊加這段按簡支梁得到的最大彎矩曲線。

4 疊加法的適用條件

（1）疊加法應用范圍廣，要求計算結果的基本物理量（如支座反力、包括應力和變化在內的內能等）都必須為荷載的線性齊次形式。即，某一物理量的負荷表達式中不包括在負荷功率上的項，或負荷的零階項。

（2）疊加法一般在桿件產生較小變形的狀況下應用。

5 疊加法在使用時的注意事項

等彎矩示意圖在繪畫過程中，與等彎矩圖像的重疊通常是指與垂直標記的重疊，而不是圖像的簡單拼接；要成功地使用重疊法描述等彎矩圖，必須牢記簡支梁在跨中壓力影響下的表面彎矩等于形狀；而對于任何直桿段，其內能無論是靜不定還是超靜定，無論是等截面的直桿還是變形形狀的直桿，無論該直桿段中的相鄰段連接到相互連接，無論是定向連接還是比較連接，均采用彎矩搭接法。

在采用疊加方法繪制最大彎矩相等的曲線之前，關鍵是要確定在各控制截面（節(jié)點、聚合力相互作用點、聚合力偶相互作用點、起點和終點）上布置的荷載，而后再從控制機構中劃分出控制截面的最大彎矩值，然后將通過截面法的內力直接通過計算方法獲得[6]。對無荷載區(qū)域，使用二邊形受控散射截面的彎矩值的最大與豎向彎矩值等圖，而對有荷載影響的區(qū)域，可使用最小承載梁的基本荷載與最大彎矩圖形，或通過疊加技術而繪制的最大彎矩等圖形。

6 結語

綜上所述，疊加法是應用力學教程中的重點教學內容。通過使用基本概念與方法來解決，能夠使復雜的問題更加簡單化，并且能夠訓練學習者深入分析問題，從而更加合理地進行運用。這些方法不但可用于繪制最大彎矩式子圖形，還可用于解決支座的反力、變形、應力應變等問題；或者學生在練習中用疊加法，對力學知識進行研究和探討。要想靈活處理疊加定律制作結構的最大彎矩相等圖形，就必須熟練掌握各種力學知識以及相應的定性分析法工具，并多進行練習。