摘要：區(qū)別于傳統(tǒng)的最小二乘蒙特卡羅方法，本文利用標的資產(chǎn)收益率生成Canonical風險中性概率計算累計概率分布函數(shù)進行抽樣，以此生成標的資產(chǎn)價格的蒙特卡羅路徑。同時，運用平賭過程適配法對蒙特卡羅模擬進行改進，以提高模型的收斂速度并降低其誤差。針對可轉(zhuǎn)債的特殊條款，本文按照市場慣例及邏輯，將回售條款與下修條款結(jié)合處理，以提高模型的可行性和運算效率。最后，使用傳統(tǒng)的參數(shù)化方法進行對比實驗。結(jié)果表明，本文所設計方法的模擬路徑比傳統(tǒng)方法更能體現(xiàn)標的資產(chǎn)的運動特性，定價結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的參數(shù)化方法。

關鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價 最小二乘蒙特卡羅 Canonical風險中性概率 平賭過程適配法

研究綜述

已有研究采用不同方法就可轉(zhuǎn)債定價問題展開分析。蔣殿春、張新（2001）指出，可轉(zhuǎn)債中各個條款是有機結(jié)合的，各部分進行估值并加總的方法往往不可行。Longstaff等（2001）利用最小二乘回歸法來估計期權(quán)持有人繼續(xù)持有期權(quán)的模擬條件預期收益從而得到最小二乘蒙特卡羅估計（LSM）。LSM不僅能充分考慮可轉(zhuǎn)債中不同期權(quán)條款之間、期權(quán)價值與債券價值之間的相互影響，還能有效克服因步長太短而帶來的計算量呈幾何級數(shù)增加的缺陷。Duan等（1998）在既往研究的基礎上進行了簡單修改，得到平賭過程適配（Empirical Martingale Simulation，EMS）法。該修改能將鞅屬性施加于標的資產(chǎn)價格的模擬路徑，保證模擬出來的期權(quán)價格滿足期權(quán)定價邊界，并能提高蒙特卡羅模擬的運算效率及降低誤差。余喜生（2012）提出了一種去參數(shù)化的最小二乘蒙特卡羅法——基于期權(quán)價格信息約束矩的Canonical最小二乘蒙特卡羅法。該方法是去參數(shù)化、去模型化的，在一定程度上避免了參數(shù)估計可能導致的誤差，并且其信息是從真實市場中提取的，所以結(jié)果也能更貼近當前市場狀況，從而克服傳統(tǒng)參數(shù)化方法的局限性。鄭振龍、林海（2004）認為，公司只有在面臨回售壓力時才會選擇下修轉(zhuǎn)股價，且下修后的轉(zhuǎn)股價也僅以使可轉(zhuǎn)債價值略超過回售價格為標準，因為下修轉(zhuǎn)股價會增加投資者行使轉(zhuǎn)股權(quán)的概率，從而可能稀釋公司原有股東的股權(quán)，使其利益受損。錢波瑋（2018）則認為，修正后的轉(zhuǎn)股價應在不觸發(fā)回售條款的基礎上盡可能地接近下修條款的觸發(fā)價，下修條款對可轉(zhuǎn)債的價格及轉(zhuǎn)股概率沒有顯著影響。

模型設計

（一）生成標的資產(chǎn)價格的路徑

不同于傳統(tǒng)的參數(shù)化方法，本文采用去參數(shù)化（或去模型化，model-free）的方法，從市場上觀測真實有效信息，利用熵最大化原理，提高風險中性定價測度準確性。

假設可轉(zhuǎn)債到期期限為T，股票現(xiàn)價為S0，在T時點的股票價格為ST。股票收益率的實際概率為π，其等價概率測度為π*，Radon-

Nykodym的導數(shù)為。若將問題離散化，則離散時點t時的紅利為D（t），時點t到時點t+1的利率為r（t）。則根據(jù)Stutzer（1996）可得：

（1）

若股票不分紅，即，股票收益率

，易知N個收益率之間彼此獨立，即，其中，則對于式（1）有：

（2）

根據(jù)Shannon熵最大化原理，可求得風險中性概率：

（3）

其中γ*是拉格朗日乘子，其計算公式如式（4）：

（4）

上述即Canonical風險中性概率。

首先，可以通過上述Canonical風險中性概率，生成股票收益率的累計概率分布函數(shù)，同時采用逆變換采樣對股票收益率進行隨機抽取，即可生成維度為m×n的收益率矩陣Rm×n，其中m為蒙特卡羅模擬的路徑數(shù)，n為每條路徑上的節(jié)點數(shù)。根據(jù)Duan等（1998），為了提高蒙特卡羅模擬的運算效率和降低誤差，可以在所生成的標準蒙特卡羅路徑上對其施加鞅屬性，具體做法為：

（5）

式（5）中為標準蒙特卡羅法模擬出來的第m條路徑上第n個節(jié)點的股票價格，為經(jīng)過EMS法處理后的第m條路徑上第n個節(jié)點的股票價格，令和等于當前時刻股票價格S0。具體來說，首先，可作為n-1時刻到n時刻

的收益率，因此可以用來產(chǎn)生一個在n時刻暫時的股價。其次，將n時刻所有路徑上所求得的暫時股價求平均并貼現(xiàn)到當前時刻，稱之為。最后，可以通過公式求得經(jīng)EMS法

處理后的第m條路徑上第n個節(jié)點的股票價格。

重復上述過程，便可將整個標準蒙特卡羅路徑鞅化。如表1所示，與標準蒙特卡羅法相比，EMS法降低了股價的方差，避免了極端情況的產(chǎn)生，有效降低了蒙特卡羅模擬的誤差，顯著提高了算法的收斂速度，使結(jié)果更為準確。

（二）可轉(zhuǎn)債的邊界條件分析

在生成蒙特卡羅路徑后，需要對各個路徑進行處理，以求出可轉(zhuǎn)債價格的理論值。本文按以下順序進行條款的處理：第一，對所有蒙特卡羅路徑進行檢查，找出觸發(fā)回售條款的路徑，將這些路徑的轉(zhuǎn)股價格進行下修，下修后的轉(zhuǎn)股價格應等于下修條款的觸發(fā)價。第二，找出并修正觸發(fā)了回售條款和下修條款的路徑。第三，找出觸發(fā)贖回條款的路徑（設共有p條），令其在觸發(fā)時點以規(guī)定轉(zhuǎn)股價進行轉(zhuǎn)股，并將轉(zhuǎn)股價值折回原點。需要注意的是，此時的轉(zhuǎn)股價可能是經(jīng)過處理的。記第m條觸發(fā)贖回條款的路徑價值為：

（6）

式（6）中F為可轉(zhuǎn)債面值，為第m條路徑第n個節(jié)點的轉(zhuǎn)股價格，為第m條路徑第n個節(jié)點的正股價格，且m=1， 2， … ， p。

處理完上述特殊條款后，便只剩下轉(zhuǎn)股條款。設共有q條路徑未觸發(fā)上述特殊條款，對其利用最小二乘蒙特卡羅法即可處理。

使用最小二乘蒙特卡羅法的關鍵是利用LSM來估計持有人繼續(xù)持有期權(quán)的條件預期收益，并與執(zhí)行轉(zhuǎn)股后的價值進行比較。若執(zhí)行轉(zhuǎn)股后的價值大于繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債的價值，則投資者會選擇轉(zhuǎn)股；反之，投資者會選擇繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債。將所有路徑的可轉(zhuǎn)債價值貼現(xiàn)到原點，便是除去回售條款、下修條款、贖回條款這三個特殊附加條款的路徑后，剩余路徑的可轉(zhuǎn)債價值記為：

（7）

其中m=1， 2， … ， q。

在經(jīng)過對回售條款和下修條款的處理后，m條蒙特卡羅路徑可分為兩類：一類是觸發(fā)了贖回條款的路徑（共p條），另一類是剩下的可能觸發(fā)轉(zhuǎn)股條款的路徑（共q條），M=p+q。

其中，p條觸發(fā)了贖回條款的路徑價值為， m=1， 2， … ， p；q條可能觸發(fā)轉(zhuǎn)股條款的路徑價值為，m=1， 2， … ， q。因為路徑已是風險中性的，所以由蒙特卡羅法的基本原理可知，可轉(zhuǎn)債價值Vcb為：

（8）

實證對比分析

本文選取已在滬深交易所上市、期限小于等于5年、已到期且信用等級為AAA的可轉(zhuǎn)債作為樣本，共15只?；厥蹢l款、下修條款、贖回條款如表2所示，觸發(fā)轉(zhuǎn)股條件表示為連續(xù)t1個交易日內(nèi)有t2個交易日正股價格低于轉(zhuǎn)股價的k%。

（一）Canonical最小二乘蒙特卡羅法定價的實證結(jié)果

本文實證所選取的期限為各樣本可轉(zhuǎn)債自身的期限，即從可轉(zhuǎn)債上市日t=0至到期日t=T，因此以下實證所求理論價值為可轉(zhuǎn)債上市首日價值。本文無風險利率數(shù)據(jù)從國泰安數(shù)據(jù)庫（CSMAR）獲得，針對股票收益率選取的步長τ為1天，各樣本股票收益率將在其可轉(zhuǎn)債期限內(nèi)選取。同時，本文將蒙特卡羅模擬的路徑數(shù)m選取為1萬次。根據(jù)式（3）所介紹的Shannon熵最大化原理可求得風險中性概率，其中拉格朗日乘子γ*采取遍歷搜尋法求得，通過γ*求得風險中性概率后，便可根據(jù)生成其累計概率分布函數(shù)，最后，通過逆變換采樣法對上述累計概率分布函數(shù)進行隨機抽取，即可得到一系列滿足風險中性要求的股票收益率Ri。由此，第m條路徑上第n個節(jié)點的股票價格便可求出：

（9）

其中，n=1， 2， … ， N，m=1， 2， … ， M。

各個樣本的n如表2（步長τ為1天）所示，m均為1萬次。最后，為了提高其運算效率及降低算法誤差，再根據(jù)式5介紹的EMS法對所生成的蒙特卡羅路徑進行改進，改進后價格路徑穩(wěn)定性提高，極值、方差大幅降低，這對計算精度的提高有很大的幫助。因此，下面對邊界條件的處理將基于經(jīng)EMS法調(diào)整后的股票價格進行。

第一步：處理下修條款以及回售條款。對所有蒙特卡羅路徑進行檢查，找出觸發(fā)回售條款的路徑，將這些路徑的轉(zhuǎn)股價格進行向下修正，下修后的轉(zhuǎn)股價格應等于下修條款的觸發(fā)價，即：

（10）

其中，為下修后的轉(zhuǎn)股價格，d為下修邊界，根據(jù)表2所列示情況，可選擇為90%。值得注意的是，一條路徑上的轉(zhuǎn)股價可以有多次下修，具體取決于股價的走勢。

第二步：處理贖回條款。再次對所有路徑進行檢查，找出觸發(fā)贖回條款的路徑，設共有p條，并令其在觸發(fā)時點以對應時點的轉(zhuǎn)股價進行轉(zhuǎn)股，則該路徑的價值即為貼現(xiàn)回原點的該時刻轉(zhuǎn)股價值。記第m條觸發(fā)贖回條款的路徑價值為：

，m=1， 2， … ， p

則所有觸發(fā)贖回條款的路徑價值亦即可轉(zhuǎn)債的特殊條款價值為。

第三步：處理轉(zhuǎn)股條款。假設除去上述觸發(fā)贖回條款的p條路徑后共剩下q條路徑，利用式（7）、式（8）的最小二乘蒙特卡羅法對其進行處理，即可得到轉(zhuǎn)股條款的價值。記第m條路徑的價值為，則可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股條款價值為。根據(jù)式（8）可計算首日可轉(zhuǎn)債價值與首日收盤價，二者

對比如表3所示。

從相對誤差（以下簡稱“誤差”）可見，使用基于Canonical最小二乘蒙特卡羅法對可轉(zhuǎn)債進行定價較為合理，所選樣本的定價平均誤差為15.06%，有近半數(shù)的樣本券定價誤差在10%以下，有三分之一的樣本券定價誤差在5%以下，最小誤差只有2.45%，誤差超過30%的僅有4個樣本，占總樣本數(shù)的26.67%。

（二）對比實驗的定價結(jié)果

對比實驗將采取參數(shù)化方法，假設標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，其離散形式為：

（11）

其中，μ為標的資產(chǎn)收益率，且在風險中性的假設下μ等于無風險利率；ε為服從標準正態(tài)分布的隨機數(shù)；?t為間隔時間；σ為標的資產(chǎn)價格的波動率，用于衡量股票收益率的不確定性，由于可轉(zhuǎn)債在上市前正股沒有對應的衍生工具，因此無法獲得隱含波動率，故根據(jù)所選樣本正股的歷史數(shù)據(jù)求得波動率σ，帶入式（11）生成m=1萬條的蒙特卡羅股價模擬路徑。

第一步：處理下修條款與回售條款。對所有蒙特卡羅路徑進行檢查，找出觸發(fā)回售條款的路徑，將這些路徑對應時點的轉(zhuǎn)股價格進行下修，并令下修后的轉(zhuǎn)股價格等于下修條款的觸發(fā)價（見表4）。

第二步：處理贖回條款。再次對所有路徑進行檢查，找出觸發(fā)贖回條款的路徑，設共有p條，并令其在觸發(fā)的時點以對應時點的轉(zhuǎn)股價進行轉(zhuǎn)股，則該路徑的價值即為貼現(xiàn)回原點的該時刻的轉(zhuǎn)股價值，m表示第m條路徑（m=1， 2， …， p）。所有觸發(fā)贖回條款的路徑價值亦即可轉(zhuǎn)債的特殊條款價值為。

第三步：處理轉(zhuǎn)股條款。假設除去上述觸發(fā)贖回條款的p條路徑后共剩下q條路徑，利用最小二乘蒙特卡羅法對其處理即可得到轉(zhuǎn)股條款的價值，記第m條路徑的價值為，則可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股條款價值為。相關計算結(jié)果如表5所示。

（三）兩種方法定價結(jié)果比較

使用基于參數(shù)法的最小二乘蒙特卡羅模擬（以下簡稱“參數(shù)法”）對可轉(zhuǎn)債進行定價的平均誤差（17.52%）與使用Canonical最小二乘蒙特卡羅法（以下簡稱“Canonical法”）進行定價的平均誤差（15.06%）相近，但是在模型的穩(wěn)健性上不如后者：第一，在參數(shù)法下，誤差小于等于10%的樣本有6個，平均誤差為6.19%；在Canonical法下，誤差小于等于10%的樣本有7個，且平均誤差為4.25%。第二，在參數(shù)法下，誤差小于等于15%的樣本有7個；在Canonical法下，誤差小于等于15%的樣本有9個。第三，在參數(shù)法下，誤差小于等于20%的樣本有9個；在Canonical法下，誤差小于等于20%的樣本有11個?？梢姡贑anonical法下，低誤差的樣本數(shù)量更多。與此類似，對比表3和表5可知，Canonical法高誤差的樣本數(shù)量并未多于參數(shù)法對應的數(shù)量?？傮w來看，Canonical法更為精確與穩(wěn)定。

使用Canonical法對可轉(zhuǎn)債進行定價的結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的參數(shù)法，原因主要有三點：第一，Canonica法是基于抽取標的資產(chǎn)歷史收益率來生成蒙特卡羅路徑的，相比簡單假設標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，更能真實體現(xiàn)標的資產(chǎn)價格自身的運動特性。第二，傳統(tǒng)參數(shù)法需要對參數(shù)進行估計，如幾何布朗運動中涉及的波動率σ，因此必然要面對參數(shù)估計帶來的誤差等問題； Canonical法則沒有這方面的顧慮。第三，參數(shù)法必須要假設一些參數(shù)化模型，比如假設標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，這就會面臨一些諸如模型設計不準確的問題，如真實標的資產(chǎn)價格是否真的服從幾何布朗運動，如果不是則會產(chǎn)生誤差；反觀Canonical法，沒有設置任何參數(shù)化模型，從根源上避免了因模型設置偏差而導致的結(jié)果偏離。

結(jié)論

本文使用Canonical最小二乘蒙特卡羅法為可轉(zhuǎn)債進行定價，區(qū)別于傳統(tǒng)假設股票價格服從幾何布朗運動的參數(shù)法，本文創(chuàng)新性地使用真實市場收益率數(shù)據(jù)生成Canonical風險中性概率，并進一步隨機抽樣生成符合風險中性的股票價格路徑，從而避免了傳統(tǒng)方法帶來的參數(shù)估計誤差以及模型設置偏誤等問題。并且，利用股票自身的收益率生成股票價格的蒙特卡羅模擬路徑，能夠更加真實地體現(xiàn)標的資產(chǎn)價格自身的運動特性，從而使定價更為準確。其中，創(chuàng)新性地使用了EMS法對所生成的蒙特卡羅路徑進行改進，該過程在所生成的標準蒙特卡羅路徑上對其施加鞅屬性，顯著提高了蒙特卡羅算法的收斂速度并且降低了誤差。

參考文獻

[1]戴靜. 對轉(zhuǎn)股價格下調(diào)可轉(zhuǎn)債的研究及套利策略分析[J]. 債券，2020（3）：71-74. DOI：10.3969/j.issn. 2095-3585.2020.03.019.

[2]蔣殿春，張新. 可轉(zhuǎn)換公司債定價問題研究[J]. 證券市場導報，2001（12）：64-68.

[3]錢波瑋. 基于擴展LSM模型的可轉(zhuǎn)債定價研究[D]. 蘇州：蘇州大學，2018.

[4]余喜生. Canonical最小二乘蒙特卡羅定價方法：基于期權(quán)價格信息的矩約束[D]. 成都：西南財經(jīng)大學，2012.

[5]鄭振龍，林海. 中國可轉(zhuǎn)換債券定價研究[J]. 廈門大學學報（哲學社會科學版），2004（2）：93-99.

[6] Duan J C， Simonato J G. Empirical martingale simulation for asset prices[J]. Management Science， 1998， 44（9）： 1218-1233.

[7] Longstaff F A， Schwartz E S. Valuing American options by simulation： a simple least-squares approach[J]. The review of financial studies， 2001， 14（1）： 113-147.

[8] Stutzer M. A simple nonparametric approach to derivative security valuation[J]. The Journal of Finance， 1996， 51（5）： 1633-1652.