袁偉斌, 王惠文

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

0 引言

由于人們主觀偏好日益復(fù)雜和模糊,模糊性已成為決策過(guò)程的一部分,因而模糊決策理論已發(fā)展成一個(gè)研究熱點(diǎn).1965年Zadeh[1]首次引入模糊集的概念,不同拓展形式的模糊集應(yīng)運(yùn)而生.1986年Atanassov[2]加入了非隸屬度,定義了直覺模糊集;2010年Torra[3]引入了猶豫模糊集的概念,它允許隸屬度有多個(gè)值,更能反映出決策者的猶豫態(tài)度.2012年Zhu等[4]提出了對(duì)偶猶豫模糊集理論,增加了非隸屬度,以及允許都可以有多個(gè)可能值.2014年Farhadinia[5]提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的概念,它其中的隸屬度與非隸屬度都是以區(qū)間形式出現(xiàn),更具一般性.

在實(shí)際決策問題中,距離測(cè)度是一重要指標(biāo),從而應(yīng)用廣泛.例如聚類分析[6]、圖像處理[7]、投資選擇[8-9]、醫(yī)學(xué)診斷[10]、模式識(shí)別[11]、分配問題[12]等.Wang等[13]研究了對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度及相似測(cè)度;王金英等[14]、李麗穎等[15]提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫標(biāo)準(zhǔn)海明距離公式,但這些距離測(cè)度都需要主觀填充數(shù)據(jù),可能會(huì)導(dǎo)致信息失真的情況.因此,本文提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊距離測(cè)度的公理化定義,并給出基于區(qū)間對(duì)偶猶豫度、隸屬度與非隸屬度完全偏差的距離公式.最后通過(guò)一個(gè)多屬性決策實(shí)例說(shuō)明其合理性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[14]設(shè)X為一固定集合.稱

基于上述距離的定義,文獻(xiàn)[14]提出區(qū)間值對(duì)偶猶豫標(biāo)準(zhǔn)Hamming距離.

(1)

從公式(1)可知,計(jì)算時(shí)需要人為填充元素,從而使得兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)相同.填充原則有樂觀原則,悲觀原則等,但這樣的做法沒有保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性,可能會(huì)導(dǎo)致信息失真,因此有必要重新考慮區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度.

2 改進(jìn)的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集距離測(cè)度

中的元素個(gè)數(shù).

定義5設(shè)

的區(qū)間對(duì)偶猶豫度定義為:

其中

其中λ∈[1,+∞).

結(jié)合上述三個(gè)偏差距離,給出改進(jìn)的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集距離測(cè)度如下.

(2)

其中參數(shù)ρ,θ,ξ∈[0,1],ρ+θ+ξ=1.

由于不同屬性之間也有一定差異,因此有必要將不同屬性的權(quán)重考慮在距離測(cè)度中.

(3)

其中參數(shù)ρ,θ,ξ∈[0,1],ρ+θ+ξ=1.

引理1(Minkowski不等式)任給(a1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn)∈Rn,λ≈1,則有:

證明設(shè)

故有

可得

同理可得

從而有

必要性:反之顯然成立.故性質(zhì)(3)滿足.

4)結(jié)合引理1,可知:

于是可得

因此性質(zhì)(4)滿足.

3 數(shù)值算例

考慮文獻(xiàn)[14]中的例子,設(shè)有5個(gè)投資方案Ai(i=1,2,3,4,5),每個(gè)方案有4個(gè)評(píng)價(jià)屬性Cj(j=1,2,3,4),屬性的權(quán)重為w=(0.2,0.35,0.3,0.15),專家給出的評(píng)價(jià)矩陣如表1所示.

表1 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊評(píng)價(jià)值

假設(shè)理想方案為A*=({[1.0,1.0]},{[0.0,0.0]}),下面按照上文給出的改進(jìn)的區(qū)間值對(duì)偶猶豫廣義加權(quán)距離公式,計(jì)算出每個(gè)備選方案與理想方案之間的距離,距離測(cè)度值越小,則方案越優(yōu).

表2 等權(quán)重下的距離測(cè)度值及排名結(jié)果

由表2可知,方案排序?yàn)锳4>A3>A1>A2>A5,最優(yōu)方案為A4,這與文獻(xiàn)[14]中的排序A4>A1>A3>A2>A5略有差異,由于使用的距離測(cè)度公式不同,從而導(dǎo)致最終的方案排名結(jié)果也不同,但最優(yōu)方案都是A4,從而也說(shuō)明改進(jìn)的距離測(cè)度的合理性.

改進(jìn)的距離公式中參數(shù)ρ,θ,ξ分別表示決策者對(duì)隸屬度信息,非隸屬度信息,猶豫度信息的偏好程度.表3通過(guò)對(duì)ρ,θ,ξ的不同取值,來(lái)體現(xiàn)決策者的不同偏好態(tài)度.

表3 不同偏好下的方案排序結(jié)果

從上表可知,當(dāng)決策者對(duì)不同信息的偏好程度不同時(shí),方案排序也會(huì)隨之變化,但最佳方案始終未變.因此,改進(jìn)的距離公式可以根據(jù)決策者的不同偏好程度,選擇不同的偏好參數(shù)值,從而提供了更多的選擇.

4 小結(jié)

本文提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集距離測(cè)度的公理化定義,給出了改進(jìn)的距離公式,并給予了證明.改進(jìn)的距離公式加入了偏好參數(shù),能體現(xiàn)出不同決策者的偏好態(tài)度.最后結(jié)合一個(gè)實(shí)際的模糊多屬性決策案例, 通過(guò)結(jié)果比較,偏好參數(shù)分析,說(shuō)明了改進(jìn)的距離測(cè)度的有效及合理性.接下來(lái)可以在此基礎(chǔ)上做其他深入的研究,例如利用改進(jìn)的距離測(cè)度進(jìn)行聚類分析,構(gòu)造區(qū)間值直覺對(duì)偶猶豫模糊集的相似性測(cè)度等.