韓 雨，李 芳，楊 穎

（長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130123）

0 引言

Goodwin 振蕩器是生化振子的一個典型例子，是Goodwin［1］于1965 年發(fā)現(xiàn)的.這種振蕩器由mRNA、蛋白和蛋白產(chǎn)品（抑制劑）組成，并且生化振蕩行為是在受控的生化系統(tǒng)中自然產(chǎn)生.濃度振蕩可能發(fā)生在催化反應(yīng)系統(tǒng)中，其中控制是通過負(fù)反饋效應(yīng)施加的.因此，這種受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性在生物振蕩的背景下尤為重要.mRNA 是蛋白質(zhì)合成的控制因子，蛋白質(zhì)是蛋白產(chǎn)品生產(chǎn)的控制因素，蛋白質(zhì)產(chǎn)物對mRNA合成的抑制遵循與蛋白質(zhì)抑制相同的表面吸附規(guī)律.在自然界中激活作用是必要的，并且生物學(xué)中負(fù)反饋過程是非常普遍的.其中最著名的一個例子是以下這個反應(yīng)過程：通過反應(yīng)鏈中的產(chǎn)物作用，降低其抑制物質(zhì)的某一遠(yuǎn)母體的合成率.Walter［2-3］對這種負(fù)反饋模型進(jìn)行了研究，它們可以概括為：

其中xi為濃度，f(xn+1)是關(guān)于x n+1的遞減抑制效應(yīng)函數(shù)，其最廣泛的應(yīng)用形式為其中c，l1為正常數(shù).當(dāng)i=n+ 1時，式（1）的相應(yīng)形式為

通過無量綱化變換，式（2）為

該系統(tǒng)描述了基因活性的末端產(chǎn)物抑制的動力學(xué)，即mRNA對酶的編碼，酶的新陳代謝產(chǎn)物是由它的基因位點(diǎn)抑制其遺傳位點(diǎn)的mRNA 而進(jìn)一步合成.眾多學(xué)者對該系統(tǒng)進(jìn)行了研究，例如Tyson［4］證明了系統(tǒng)（3）空間周期解的存在性，且系統(tǒng)（3）存在唯一的平衡點(diǎn)

即：

Griffith［5］已經(jīng)證明了系統(tǒng)（3）的所有解都是有界的，并且在中存在一個正不變集，使得所有的軌道都會進(jìn)入其中.Hasting 等［6］獲得了n+ 1 維系統(tǒng)周期軌道的存在性；Yang 等［7］研究了一個在白噪聲干擾下的多分子生化反應(yīng)模型，并且得到了反應(yīng)持續(xù)進(jìn)行和結(jié)束的條件；Yang等［8］討論了一個隨機(jī)低濃度三分子生物化學(xué)反應(yīng)模型，得到其平穩(wěn)分布及遍歷性.因此，無論是從生化角度還是從數(shù)學(xué)角度來看，在系統(tǒng)（3）中加入隨機(jī)擾動是很合理的，因?yàn)樯锘瘜W(xué)反應(yīng)必然會受到環(huán)境白噪聲的干擾，而環(huán)境白噪聲是現(xiàn)實(shí)世界中的一個重要組成部分.本文在確定性系統(tǒng)（3）中加入隨機(jī)擾動，得到如下的隨機(jī)負(fù)反饋過程的酶促反應(yīng)模型：

其中：B1(t),B2(t),…,Bn+1(t)是獨(dú)立的布朗運(yùn)動為環(huán)境白噪聲強(qiáng)度，研究系統(tǒng)（4）所表示的隨機(jī)系統(tǒng)的正解存在唯一性以及遍歷性.

1 預(yù)備知識

首先介紹一些本文在研究中會用到的符號、定義和引理.

在本文中，令(Ω,?,P)是帶有滿足通常條件的域流的完備概率空間，即它是右連續(xù)的，并且包含所有的P零集.在文中，記

一般的，考慮d維隨機(jī)微分方程

具有初始值x1(t0)=x0∈，B(t)是定義在上述概率空間（Ω，?，P）上的d維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.定義式（5）的微分算子L：

如果L作用在函數(shù)上，則有

對于隨機(jī)系統(tǒng)（4），為了證明其遍歷性，會用到下面的引理.

引理1［9］假設(shè)存在具有如下性質(zhì)的帶正則邊界Γ的有界域U?El，滿足：

（1）在U及其鄰域上，擴(kuò)散矩陣Λ(x)的最小特征值λ(x)非0；

（2）如果x∈ElU，那么從x出發(fā)的路徑到達(dá)集合U的平均時間τ是有限的，并且對于每個緊子集K?El.有supx∈KExτ＜∞.

則馬爾可夫過程X(t)存在平穩(wěn)分布kf(·).令f(·)為關(guān)于測度kf的可積函數(shù)，有

對所有x∈El成立.

引理2 設(shè)X(t)為El中的正則自治馬爾可夫過程.如果X(t)相對于某個有界域U是常返的，那么它相對于El中的任一非空區(qū)域也是常返的.

2 主要結(jié)果

2.1 系統(tǒng)（4）正解的存在唯一性

對任意的初始值，為了得到唯一的全局解（即在有限時間內(nèi)不會爆破），通常會要求方程右端函數(shù)的系數(shù)必須滿足局部李普希茲條件和線性增長條件.然而，由于系統(tǒng)（4）中第一式的是非線性項(xiàng)，顯然系統(tǒng)（4）是不滿足線性增長條件的，因此，對于系統(tǒng)（4）的全局正解存在唯一性的證明，將會利用李雅普諾夫分析方法來實(shí)現(xiàn)［10-12］.下面給出存在唯一性定理.

定理1 對于任意的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈，在t≥0 上，系統(tǒng)（4）有唯一解(x1(t)，x2(t),…,xn+1(t))，并且解會依概率1留在中，即對所有的t≥0，幾乎必然成立的.

證明由于隨機(jī)酶促反應(yīng)模型（4）的系數(shù)滿足局部李普希茲條件，那么對于任意給定的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈隨機(jī)系統(tǒng)（4）有唯一的局部解：

其中τe表示爆破時間.

接下來，想要證明這個正解是全局的，只需要證明τe=∞即可.

為此，令k0≥0 充分大，使得x1(0),x2(0),…,xn+1(0)都位于區(qū)間[,k0]中.對于每一個整數(shù)k≥k0，定義停時為τk= inf{t∈[0,τe):min{x1(t),x2(t),…,xn+1(t)}≤或max{x1(t),x2(t),…,xn+1(t)}≥k}.

在本文中，令inf?=∞（?表示空集）.顯然，當(dāng)k→∞時，τk是增加的.令τ∞=τk，其中τ∞≤τe.如果τ∞=∞，則必有τe=∞.并且對于所有t≥0，

成立.因此，為了完成證明，只需要說明τ∞=∞.

采用反證法進(jìn)行證明，首先假設(shè)這個斷言是錯誤的，那么存在一對常數(shù)T＞0 和ε∈(0,1)使得P{τ∞≤T}＞ε，則存在整數(shù)k1≥k0，使得對于所有k≥k1，有

定義一個C2-函數(shù)V→

這里c2=l1,c3=c2l2,…,cn+1=cnln,并且函數(shù)V(x1,x2,…,xn+1)的非負(fù)性可以從u- 1 - logu≥0,?u＞0看出.設(shè)k≥k0,T＞0是任意的，使用伊藤公式得到如下結(jié)果：

其中LV:→表示算子L作用在函數(shù)V(x1,x2,…,xn+1)上的結(jié)果，前面已經(jīng)給出過定義了，于是可以得到

其中C是一個正常數(shù).接下來有

對式（8）兩端取從0到τk∧T= min{τk,T}的積分，有

再對上面的式子取期望，可得：

對于k≥k1，設(shè)Ωk={Tk≤T}，再由（6）式可知，P(Ωk)≥ε，注意對于每一個ω∈Ωk至少有一個x1(τk,ω),x2(τk,ω),…,xn+1(τk,ω)等于k或.因此，

由式（6）和式（9），可以得到

其中IΩk(ω)表示Ωk的示性函數(shù)。綜上可得，當(dāng)k→∞時，有

顯然這個式子是矛盾的，假設(shè)不成立.綜上所述，即可得到τ∞=∞,幾乎必然成立.

2.2 系統(tǒng)（4）的遍歷性

本部分的證明主要依據(jù)引理1，即需要驗(yàn)證隨機(jī)系統(tǒng)（4）滿足引理1 的兩個條件（1）與（2）.為了驗(yàn)證（1），只需要證明F在任何有界域D上一致橢圓即可［13-15］，其中Fu=b(x)ux+tr(Λ(x)uxx)，即存在一個正數(shù)M使得下式成立［16-17］：

為了驗(yàn)證（2），只要證明存在某個鄰域U和一個非負(fù)的C2-函數(shù)，使得對于任何ElU，LV是負(fù)的就足夠了［18-19］.下面對隨機(jī)系統(tǒng)（4）的遍歷性進(jìn)行證明.

定理2 對于任意的初始值(x1(0),x2(0),…,xn+1(0)) ∈?n+1+，系統(tǒng)（4）有平穩(wěn)分布f(·)，且具有遍歷性.

證明：首先，隨機(jī)系統(tǒng)（4）對應(yīng)的擴(kuò)散矩陣為

因此，可以將隨機(jī)微分方程（4）改寫成如下形式：

然后，需要檢查引理1 中的條件（2）.構(gòu)造一個非負(fù)的C2-函數(shù)V和一個閉集（它完U∈∑全在中），使之滿足

這樣可以確保（2）是滿足的.

定義一個C2-函數(shù)h(x1,x2,…,xn+1)，其形式如下：

不難證明h(x1,x2,…,xn+1)有一個最小值點(diǎn)

通過計算，可以得到

其中l(wèi)1-l2＞0,l2i-li+1＞0,(i= 2,3,…,n).

定義一個閉集

并且ε是充分小的數(shù)，使得

令

情形1 當(dāng)(x1,x2,…,xn+1) ∈D1時，有

從式（11）和（12）可以得到LV≤-1.

情形2 當(dāng)(x1,x2,…,xn+1)在D2上時，有

由式（11）和（13）可以得到LV≤-1.

情形3 當(dāng)(x1,x2,…,xn+1) ∈D2k-1,k= 2,…,n+ 1時，有

由式（11）和（14）可以得到LV≤-1.

情形4 當(dāng)(x1,x2,…,xn+1)∈D2k,k= 1,2,…,n上時，有

由式（11）和（15）可以得到LV≤-1.

情形5 當(dāng)(x1,x2,…,xn+1)在D2n+2上時，有

由式（11）和（16）可以得到LV≤-1.

對上述五種情況的討論表明，系統(tǒng)（4）滿足引理1中的條件（2），這樣就證明了定理2.

3 結(jié)論

本文研究了一個受到白噪聲擾動的具有負(fù)反饋效應(yīng)的隨機(jī)酶促反應(yīng)模型.由于隨機(jī)酶促反應(yīng)模型（4）的系數(shù)滿足局部李普希茲條件以及線性增長條件，進(jìn)而得到隨機(jī)系統(tǒng)全局正解的存在唯一性.通過構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，根據(jù)遍歷性定理，證明了隨機(jī)酶促反應(yīng)系統(tǒng)具有平穩(wěn)分布，并且在不需要任何附加條件的情況下，對應(yīng)的隨機(jī)模型總是具有遍歷性的.

綜上，對于隨機(jī)酶促反應(yīng)系統(tǒng)（4）的正解存在唯一性以及遍歷性，均得到了證明.結(jié)論說明，不論受到環(huán)境噪音的影響是小還是大，得到的隨機(jī)系統(tǒng)總是具有遍歷性的，這是一種隨機(jī)意義下的弱穩(wěn)定性.