婁振袖,程 源

(1.杭州正弦電機(jī)科技有限公司, 杭州 310015;2.合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,合肥 230009)

0 引 言

空心脈沖發(fā)電機(jī)是一種新型的脈沖功率電源,它具有高能量密度和高功率密度的特點(diǎn),廣泛應(yīng)用于電磁發(fā)射領(lǐng)域[1-3]。世界各國(guó)學(xué)者對(duì)該電機(jī)做過(guò)多方面的深入研究,包括繞組設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、勵(lì)磁控制等[4-7]。由于該電機(jī)采用的是空心結(jié)構(gòu),而且其放電過(guò)程是一個(gè)瞬態(tài)過(guò)程,所以其分析計(jì)算方法與常規(guī)鐵心電機(jī)有很大不同[8-9]。為了準(zhǔn)確分析脈沖發(fā)電機(jī)的相關(guān)性能,大部分研究者采用的是有限元分析法,其優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確性高,但是建模過(guò)程復(fù)雜,尤其是三維模型,計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)[10-11]。而且通過(guò)有限元模型很難獲得電機(jī)性能跟電機(jī)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。而電機(jī)的解析模型可以對(duì)電機(jī)性能做快速準(zhǔn)確的分析計(jì)算,其中電機(jī)電感參數(shù)的計(jì)算就是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題。

對(duì)于常規(guī)鐵心電機(jī)而言,電感有主電感和漏電感之分,特別對(duì)主電感而言,它不是一個(gè)常數(shù),需要考慮鐵心飽和的影響。而空心電機(jī)的磁導(dǎo)率是恒定的(等于空氣的磁導(dǎo)率),磁場(chǎng)本身是發(fā)散的,所以與鐵心電機(jī)不同,空心電機(jī)呈現(xiàn)一個(gè)三維的磁場(chǎng)分布。從電感計(jì)算上來(lái)說(shuō),空心電機(jī)的電感是恒定不變的,即磁導(dǎo)率是常數(shù),計(jì)算的難點(diǎn)在于需要考慮三維磁場(chǎng)的分布特點(diǎn)。文獻(xiàn)[12]給出了一種空心補(bǔ)償脈沖發(fā)電機(jī)繞組電感的解析計(jì)算方法,但它僅僅研究了單層同心式繞組,有一定的局限性,對(duì)于多種形式的繞組并沒(méi)有一個(gè)通用的電感計(jì)算方法。

為了準(zhǔn)確快速分析不同繞組形式空心脈沖發(fā)電機(jī)的相關(guān)性能,本文提出了一種空心脈沖發(fā)電機(jī)繞組電感的通用計(jì)算方法;并且以一種無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)為例,利用電機(jī)的幾何模型計(jì)算其電感參數(shù),根據(jù)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型分析其空載和放電特性;最后將解析法的計(jì)算結(jié)果同有限元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,以驗(yàn)證電機(jī)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

1 電感計(jì)算

對(duì)于空心脈沖發(fā)電機(jī)而言,因?yàn)榭諝獾拇艑?dǎo)率是常數(shù),不用像鐵心電機(jī)一樣需要考慮飽和對(duì)電機(jī)參數(shù)的影響,所以空心脈沖發(fā)電機(jī)的電感跟繞組電流的大小沒(méi)有關(guān)系。在本節(jié)中,我們計(jì)算的電感都是繞組的直流電感,而低頻下的交流電感和直流電感基本相等。如果要準(zhǔn)確計(jì)算高頻下繞組的交流電感,則需要考慮集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng),這是比較困難的。集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對(duì)脈沖發(fā)電機(jī)而言是有害的,它會(huì)增加電機(jī)繞組的內(nèi)電阻,從而使電機(jī)的損耗和溫升增加,降低脈沖發(fā)電機(jī)的放電性能,所以從電機(jī)設(shè)計(jì)的角度就需要最大限度地削弱導(dǎo)體的集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)。我們?cè)谶M(jìn)行電機(jī)繞組設(shè)計(jì)時(shí),會(huì)采用增加繞組并繞根數(shù)的方法盡量減小集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)的影響,并繞根數(shù)越多,削弱作用就越明顯。本節(jié)在進(jìn)行電感計(jì)算時(shí)均不考慮集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)對(duì)電感參數(shù)的影響。

1.1 單個(gè)線圈的自感

無(wú)論空心脈沖發(fā)電機(jī)采用哪種繞組形式,線圈總是組成繞組的基本單元,我們首先分析單個(gè)線圈的自感。如圖1所示,線圈A,B是由n個(gè)導(dǎo)體并聯(lián)而成的,電流從A端流出從B端流入。

圖1 線圈AB截面圖

線圈A,B的電感可由下式計(jì)算:

(1)

式中:gA和gB表示復(fù)合導(dǎo)線A和B自身的幾何平均距離;gAB表示復(fù)合導(dǎo)線A和B之間的幾何平均距離;l表示導(dǎo)線長(zhǎng)度。參考文獻(xiàn)[13],幾何平均距離可由下面的方程組進(jìn)行計(jì)算:

(2)

式中:sk表示導(dǎo)體k的截面積;gk表示面積sk自身的幾何平均距離;gki表示面積sk和si之間的幾何平均距離。gB的計(jì)算方法同gA的計(jì)算方法相同。式(1)計(jì)算的是單匝線圈的電感,如果線圈AB的匝數(shù)為N,此時(shí)線圈AB的電感需要用式(1)的計(jì)算結(jié)果乘以N2。

1.2 兩個(gè)線圈之間的互感

如圖2所示,線圈A1,B1的匝數(shù)為N1,電流從A1端流出從B1端流入;線圈A2,B2的匝數(shù)為N2,電流從A2端流出,從B2端流入,那么這兩個(gè)線圈之間的互感:

(3)

圖2 線圈A1B1和A2B2截面圖

式中:gA1B2,gB1A2,gA1A2,gB1B2表示相應(yīng)的導(dǎo)線截面積sA1,sB1,sA2,sB2相互之間的幾何平均距離。需要指出的是,這些導(dǎo)線截面既可以是單個(gè)導(dǎo)體,也可以是多個(gè)導(dǎo)體并聯(lián)組成,它們相互之間幾何平均距離的計(jì)算方法同式(2)中g(shù)AB的計(jì)算方法相同。

1.3 線圈組的電感

如圖3所示,線圈組C1由n個(gè)線圈串聯(lián)組成,這n個(gè)線圈可以完全相同,也可以不盡相同。令Lk表示線圈kk′的自感,Mki表示線圈kk′和線圈ii′之間的互感,那么線圈組C1的自感:

(4)

圖3 線圈組C1和C2截面圖

在圖3中,線圈組C2由m個(gè)線圈串聯(lián)組成,線圈組C2自感的計(jì)算可參照式(4),線圈組C1和C2的互感可由下式計(jì)算:

(5)

式(4)和式(5)對(duì)任意形式的繞組都是適用的,不管是單層繞組還是雙層繞組,同心式繞組還是鏈?zhǔn)嚼@組,而且每個(gè)線圈的節(jié)距和匝數(shù)都可以不同。

本節(jié)根據(jù)電機(jī)的二維模型,推導(dǎo)出了繞組的電感公式。這意味著計(jì)算方法是針對(duì)繞組的有效部分。因?yàn)榭招碾姍C(jī)采用的繞組形式也是同心式、鏈?zhǔn)交蛘忒B繞組,所以其端部的形狀跟傳統(tǒng)異步或者同步電機(jī)的繞組端部形狀一樣。如果要分析線圈端部的磁場(chǎng)效應(yīng),我們可根據(jù)傳統(tǒng)電機(jī)的繞組端部漏電感計(jì)算公式,計(jì)算出空心電機(jī)的端部電感。因此,如果需要計(jì)算空心電機(jī)三維模型的繞組電感,只需將二維模型的繞組電感計(jì)算結(jié)果與繞組端部電感計(jì)算結(jié)果相加即可。

2 電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

空心脈沖發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)多種多樣,有的有補(bǔ)償繞組,有的沒(méi)有補(bǔ)償繞組;繞組有單相的也有多相的;有的是有刷結(jié)構(gòu),有的是無(wú)刷結(jié)構(gòu)。不同結(jié)構(gòu)空心脈沖發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型也互不相同。本節(jié)以一種無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)為例,首先推導(dǎo)出電機(jī)的數(shù)學(xué)模型,然后采用第1節(jié)提出的電感計(jì)算方法計(jì)算電機(jī)數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)參數(shù)。

圖4給出了一種無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)的截面圖,其中勵(lì)磁繞組和電樞繞組均為單相繞組。勵(lì)磁繞組采用單層同心式結(jié)構(gòu),安裝在轉(zhuǎn)子上,極對(duì)數(shù)為2;電樞繞組采用單層同心式結(jié)構(gòu),安裝在定子上,極對(duì)數(shù)為2;雖然沒(méi)有獨(dú)立的補(bǔ)償繞組,但是勵(lì)磁繞組在放電過(guò)程中有一定的補(bǔ)償作用。脈沖發(fā)電機(jī)及兩套繞組的相關(guān)參數(shù)如表1所示。兩套繞組具體的接線方式如圖5所示,勵(lì)磁繞組采用一路串聯(lián)的連接方式,相繞組串聯(lián)匝數(shù)為140,電樞繞組采用兩路并聯(lián)的連接方式,相繞組串聯(lián)匝數(shù)為4。

圖4 無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)截面圖

表1 電機(jī)及繞組參數(shù)

圖5 無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)繞組接線圖

令Lf表示勵(lì)磁繞組自感,La表示電樞繞組自感,M表示勵(lì)磁繞組與電樞繞組互感幅值,勵(lì)磁繞組和電樞繞組極對(duì)數(shù)為p。令θ表示勵(lì)磁繞組軸線和電樞繞組軸線之間的夾角(機(jī)械角度),ω表示轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度,則無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)的磁鏈方程:

(6)

則式(6)可寫(xiě)成:

(7)

由磁鏈方程式(7)可得出無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)的電壓方程:

(8)

若發(fā)電機(jī)內(nèi)的磁共能為W,根據(jù)虛位移法,電磁轉(zhuǎn)矩Te應(yīng)等于磁共能對(duì)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角θ的偏導(dǎo)數(shù),那么無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩:

(9)

電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程:

(10)

通常當(dāng)脈沖發(fā)電機(jī)處于放電工作狀態(tài)時(shí),ua=0,TL=0,則根據(jù)式(8)～式(10)可得無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)的狀態(tài)方程:

(11)

式(11)即為無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型,只要知道模型中的電感參數(shù),就能對(duì)脈沖發(fā)電機(jī)的相關(guān)性能進(jìn)行分析計(jì)算。

3 仿真分析

3.1 電感計(jì)算結(jié)果

我們以電樞繞組為例來(lái)計(jì)算繞組的自感。首先計(jì)算電樞繞組每條串聯(lián)支路的自感,從圖4中可以看出,線圈的截面為矩形,矩形面積自身的幾何平均距離可由式(12)確定:

(12)

式(12)中b和c為矩形的邊長(zhǎng),圖4中b=12 mm,c=24 mm,則gA=8.05 mm。由圖5(b)可知,電樞繞組每條串聯(lián)支路由4個(gè)線圈串聯(lián)組成,這4個(gè)線圈共有8個(gè)截面,它們相互之間的幾何平均距離如表2所示。

表2 電樞繞組各截面之間的幾何平均距離(單位:mm)

接下來(lái)利用文中式(1)、式(3)、式(4)以及表2來(lái)推導(dǎo)計(jì)算電樞繞組的自感。由于電樞繞組是由2個(gè)相同的支路并聯(lián)組成,所以我們先算其中一條并聯(lián)支路的自感。它由4個(gè)線圈串聯(lián)組成,采用同心式結(jié)構(gòu),分別是2′11′、3′10′、4′9′、5′8′,令這4個(gè)線圈分別為A,B,C,D,則根據(jù)式(1)線圈A的自感:

那么線圈A,B,C,D自感之和:

根據(jù)式(3),線圈A,B之間的互感:

同理可計(jì)算MAC=0.219 6 μH,MAD= 0.120 3 μH,MBC=0.331 2 μH,MBD=0.167 6 μH,MCD=0.263 3 μH,根據(jù)表2中線圈A、B、C、D各截面之間的幾何平均距離以及式(4)可得電樞繞組其中一條并聯(lián)支路的自感:

L=LA+LB+LC+LD+2(MAB+MAC+MAD+MBC+MBD+MCD)=5.55 μH

而通過(guò)有限元模型計(jì)算的結(jié)果為5.56 μH,可以看出,解析法的計(jì)算結(jié)果同有限元法的計(jì)算結(jié)果誤差很小。采用類似的方法和步驟通過(guò)式(5)可以計(jì)算出電樞繞組兩條并聯(lián)支路之間的互感Ma=-1.19 μH,則電樞繞組每條并聯(lián)支路的總電感為L(zhǎng)+Ma=4.36 μH,所以電樞繞組的總自感La=(L+Ma)/2= 2.18 μH。

通過(guò)式(3)、式(5)可計(jì)算出電樞繞組和勵(lì)磁繞組之間的互感幅值M=61.1 μH,采用相同的方法,我們可以計(jì)算出勵(lì)磁繞組的自感Lf=2.27 mH。

為了驗(yàn)證電感計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,作者將解析法的計(jì)算結(jié)果同有限元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,如表3所示。

表3 電感計(jì)算結(jié)果的比較

通過(guò)表3可以看出,解析法所得的電感計(jì)算結(jié)果同有限元法計(jì)算結(jié)果之間的誤差是非常小的,基本控制在2%以內(nèi)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證電機(jī)數(shù)學(xué)模型的有效性,我們采用解析法及有限元方法對(duì)無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)空載及負(fù)載放電特性做更深入的分析。

3.2 空載分析

當(dāng)脈沖發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速為12 000 r/min時(shí),給勵(lì)磁繞組通入恒定的勵(lì)磁電流,大小為7 kA,由于該脈沖發(fā)電機(jī)采用轉(zhuǎn)場(chǎng)式結(jié)構(gòu),勵(lì)磁磁場(chǎng)與轉(zhuǎn)子保持同步,這個(gè)旋轉(zhuǎn)的4極磁場(chǎng)就在電樞繞組中感應(yīng)出電壓。圖6為電樞繞組的空載電壓波形,其中實(shí)線表示解析法的計(jì)算結(jié)果,虛線表示有限元法的計(jì)算結(jié)果。兩種方法計(jì)算的電壓頻率均為400 Hz,通過(guò)解析法所得的電壓幅值為1 075 V,有效值為760.1 V,通過(guò)有限元法所得的電壓幅值為1 080 V,有效值為752.2 V,其中有效值的誤差為1.1%。

圖6 空載電壓波形

從圖6中可以看出,解析法的計(jì)算結(jié)果是沒(méi)有諧波的,而有限元法的電壓波形含有少量的諧波成分,我們對(duì)有限元法得到的電壓波形進(jìn)行諧波分析,分析結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以得出,基波電壓的幅值為1 057 V,諧波電壓幅值超過(guò)20 V的只有600 Hz(26 V)和4 400 Hz(20 V),其他次諧波均很小。而電機(jī)中諧波磁場(chǎng)的存在是產(chǎn)生諧波電壓的根本原因,有限元法能夠考慮到諧波磁場(chǎng)的影響,而解析法卻不能,這是造成兩種計(jì)算方法之間產(chǎn)生誤差的原因。但從計(jì)算結(jié)果中也可以看出,諧波磁場(chǎng)對(duì)幅值和有效值計(jì)算影響不大,誤差很小。

圖7 空載電壓諧波分析

3.3 負(fù)載放電分析

當(dāng)脈沖發(fā)電機(jī)初始轉(zhuǎn)速為12 000 r/min,初始勵(lì)磁電流為7 kA時(shí),給電樞繞組接上大小為9.5 mΩ的阻性負(fù)載,電機(jī)就會(huì)對(duì)負(fù)載放電。圖8給出了3個(gè)周期的放電電流波形。由于脈沖發(fā)電機(jī)的電樞繞組一般外接二極管,所以電樞繞組只在電壓的正半周對(duì)負(fù)載放電,負(fù)載中只能流過(guò)正向電流。從圖8中可以看出,兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常吻合,通過(guò)解析法獲得的3個(gè)脈沖電流的峰值為109 kA、96.8 kA和85.7 kA,通過(guò)有限元法獲得的3個(gè)脈沖電流的峰值為104 kA、92.1 kA和82.1 kA,誤差分別為4.8%、5.1%和4.4%。

圖8 負(fù)載放電電流波形

圖9給出了負(fù)載放電過(guò)程中的勵(lì)磁繞組電流波形。勵(lì)磁繞組的初始電流為7 kA,由于勵(lì)磁繞組自身的補(bǔ)償作用,勵(lì)磁繞組在負(fù)載放電過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)3個(gè)峰值,而且產(chǎn)生3個(gè)峰值的時(shí)間跟圖8中3個(gè)脈沖電流的峰值時(shí)間是一致的。圖9中,通過(guò)解析法獲得的3個(gè)勵(lì)磁電流的峰值為8.8 kA、7.8 kA和7 kA,通過(guò)有限元法獲得的3個(gè)勵(lì)磁電流的峰值為8.6 kA、7.7 kA和6.8 kA,誤差分別為2.3%、1.3%和2.9%。

圖9 勵(lì)磁繞組電流波形

脈沖發(fā)電機(jī)是利用慣性儲(chǔ)能技術(shù)將電機(jī)轉(zhuǎn)子中儲(chǔ)存的動(dòng)能在很短的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)換成電能釋放出來(lái),巨大的放電電流必然會(huì)產(chǎn)生巨大的電磁轉(zhuǎn)矩,電機(jī)轉(zhuǎn)速在放電過(guò)程中是不斷變化的。圖10和圖11給出了放電過(guò)程中電機(jī)的轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)矩隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線。圖10中,電機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)?2 000 r/min開(kāi)始下降,經(jīng)過(guò)3個(gè)放電脈沖后達(dá)到最低值,通過(guò)解析法算得的最低轉(zhuǎn)速為11 805 r/min,通過(guò)有限元法算得的最低轉(zhuǎn)速為11 815 r/min,誤差僅為0.1%。從圖11中可以看出,脈沖發(fā)電機(jī)在放電過(guò)程中的轉(zhuǎn)矩為制動(dòng)性質(zhì)的。電磁轉(zhuǎn)矩在電機(jī)放電過(guò)程中也會(huì)產(chǎn)生3個(gè)峰值轉(zhuǎn)矩,通過(guò)解析法算得的峰值轉(zhuǎn)矩分別為-84.5 kN·m、-66.6 kN·m和-52.6 kN·m,通過(guò)有限元法算得的峰值轉(zhuǎn)矩分別為-80.4 kN·m、-64.1 kN·m和-50.3 kN·m,誤差分別為5.1%、3.9%和4.6%。

圖10 轉(zhuǎn)速變化曲線

圖11 轉(zhuǎn)矩變化曲線

4 結(jié) 語(yǔ)

本文首先給出了空心脈沖發(fā)電機(jī)繞組電感計(jì)算的一般方法,該方法對(duì)各種形式的繞組都是適用的,只要知道繞組中每個(gè)線圈的幾何尺寸以及它們之間的連接方式,就能準(zhǔn)確計(jì)算其電感值;接著,以一種無(wú)補(bǔ)償繞組空心脈沖發(fā)電機(jī)為例,建立了該電機(jī)的數(shù)學(xué)模型,并利用解析法計(jì)算了脈沖發(fā)電機(jī)勵(lì)磁繞組和電樞繞組的自感以及互感值,通過(guò)與有限元法計(jì)算結(jié)果的比較,證實(shí)了電感計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

最后利用數(shù)學(xué)模型以及有限元模型,分析了脈沖發(fā)電機(jī)的空載及放電特性,通過(guò)比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果,可以看出數(shù)學(xué)模型的計(jì)算精度與有限元模型十分接近,從而驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。