貴陽市白云興農(nóng)中學(xué)(550014)何勇

北京師范大學(xué)貴陽附屬中學(xué)(550081)李鴻昌

2023 年8 月貴陽市摸底考試數(shù)學(xué)試題的第22 題是導(dǎo)數(shù)題,作為壓軸題,試題有一定的難度,創(chuàng)新性極高,對考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.試題以“牛頓迭代法”為背景,考查考生的數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力.試題有機結(jié)合了切線、零點、導(dǎo)數(shù)等知識,尤其是第二問解法多樣,給考生較大的施展空間,具有很好的區(qū)分度.

1.摸底考試題

題目(2023 年8 月貴陽市高三數(shù)學(xué)摸底考試第22 題)牛頓迭代法是牛頓在17 世紀(jì)提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法.比如, 我們可以先猜想某個方程f(x) = 0 的其中一個根r在x=x0的附近, 如圖1 所示, 然后在點(x0,f(x0))處作f(x) 的切線, 切線與x軸交點的橫坐標(biāo)就是x1, 用x1代替x0重復(fù)上面的過程得到x2; 一直繼續(xù)下去, 得到x0,x1,x2,··· ,xn.從圖形上我們可以看到x1較x0接近r,x2較x1接近r,等等.顯然,它們會越來越逼近r.于是,求r近似解的過程轉(zhuǎn)化為求xn,若設(shè)精度為ε,則把首次滿足|xn-xn-1|<ε的xn稱為r的近似解.

圖1

已知函數(shù)f(x)=x3+(a-2)x+a,a∈R.

(1)當(dāng)a= 1 時,試用牛頓迭代法求方程f(x) = 0 滿足精度ε=0.5 的近似解(取x0=-1,且結(jié)果保留小數(shù)點后第二位);

(2)若f(x)-x3+x2lnx≥0,求a的取值范圍.

2.解法探究

(1)當(dāng)a=1 時,f(x)=x3-x+1,則f′(x)=3x2-1,所以曲線f(x)在x0=-1 處的切線為y-1=2(x+1),從而x1= -1.5, 且|x1-x0| ≥0.5.曲線f(x) 在x1= -1.5處的切線為, 從而, 且|x2-x1| < 0.5.故用牛頓迭代法求方程f(x) = 0 滿足精度ε=0.5 的近似解為-1.35.

(2)解法1由x> 0, 得f(x) -x3+x2lnx≥0, 即.設(shè),則

所以當(dāng)a≤0 時,g′(x) > 0,g(x)單調(diào)遞增,由于x→0 時,g(x) →-∞, 不合題意.當(dāng)a> 0 時, 則當(dāng)x∈(0,a) 時,g′(x) < 0,g(x) 單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(a,+∞) 時,g′(x) > 0,g(x) 單調(diào)遞增, 則.故f(x) ≥0 當(dāng)且僅當(dāng).易知g(a)單調(diào)遞增,且g(1)=0,故f(x)≥0 等價于g(a)≥g(1),即a≥1.

解法2易見x> 0,不等式f(x)-x3+x2lnx≥0 等價于x2lnx+(a-2)x+a≥0,等價于.令,則

當(dāng)x∈(0,1) 時,xlnx< 0,x- 1 < 0, 故g′(x) > 0; 當(dāng)x∈(1,+∞)時,xlnx> 0,x-1 > 0, 故g′(x) < 0.因此g(x)≤g(1)=1,故a≥1.

解法3由題意知f(x)-x3+x2lnx≥0 等價于x2lnx-2x+a(x+1)≥0 恒成立.令g(x)=x2lnx-2x+a(x+1),則g(x)≥0 恒成立.令h(x)=xlnx-x+1,則h′(x)=lnx,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;所以h(x)≥h(1)=0,即xlnx-x+1 ≥0,則x2lnx2-x2+1 ≥0.又g(x)≥0 等價于

恒成立.當(dāng)a-1 ≥0 即a≥1 時,g(x)≥0 恒成立,且當(dāng)a=1時,g(1) = 0,等號成立.當(dāng)a< 1 時,有g(shù)(1) = 2a-2 < 0,這與g(x)≥0 恒成立相矛盾,不滿足題意,舍去.

綜上所述,a≥1.

3.解題反思

解法1 使用的方法與我們經(jīng)常使用的“分離參數(shù)”有所不同,它分離的是函數(shù),是將x2lnx中的x2和lnx分離,我們稱這樣的方法為“分離函數(shù)”.之所以要這樣處理,是因此x2lnx的導(dǎo)數(shù)仍然含有xlnx,再求導(dǎo)也仍然含有l(wèi)nx,不方便后續(xù)的求解.而采用“分離函數(shù)”后,求得的導(dǎo)函數(shù)不再含有l(wèi)nx,便于進一步求解.其實“分離函數(shù)”法在往年的高考題出現(xiàn)過.

例1(2016 年高考全國Ⅱ卷文科) 已知函數(shù)f(x) =(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當(dāng)a= 4 時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.

解(2)x> 1 時,f(x) > 0 等價于令, 則,h(1) = 0.h′(x)的分母大于0,而分子是二次函數(shù),其對稱軸是x=a-1,定義域是(1,+∞),所以比較a-1 與1 的大小.

①當(dāng)a-1 ≤1, 即a≤2 時,h′(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增, 所以, 所以h(x) 在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以x> 1 時,h(x) >h(1) = 0,滿足題意.

②當(dāng)a- 1 > 1, 即a> 2 時, 令h′(x)_= 0, 解得,由x2> 1 和x1x2= 1,得0

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,2].

評析因為函數(shù)f(x)含有(x+1)lnx, 求導(dǎo)后仍然有l(wèi)nx,不易求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,所以需要“分離函數(shù)”,即把x+1 與lnx分開.

解法2 是利用“分離參數(shù)”,這是處理恒成立問題中求參數(shù)取值范圍的通法.需要注意的是分母的符號,尤其注意的是對導(dǎo)函數(shù)進行因式分解,否則將進入不斷求導(dǎo)的繁瑣境地.

解法3 先利用常用不等式xlnx-x+ 1 ≥0, 得到x2lnx2-x2+1 ≥0 后,再構(gòu)造出恒等式,有一定的技巧性.

4.試題推廣

當(dāng)我們解完一道題后,自然很想知道命題人是怎么命制出如此精致且漂亮的試題的.下面筆者從結(jié)論出發(fā),來分析和揣摩命題人的命題思路,然后給出命題人視角下的另一解法,最后給出試題的推廣與變式[1].

先從結(jié)論出發(fā).因為所得的結(jié)論是a≥1, 所以有,又x> 0,從而2x-x2lnx≤x+1,移項整理就得x2lnx≥x-1.據(jù)此,筆者大膽揣測命題人就是根據(jù)不等式“x2lnx≥x-1”來命制這道試題的.

下面從命題人的視角給出這道題的另一解法,讀者可從中窺見本題的命制過程.

解法4因為x>0,所以

令h(x) =x2lnx-x+1,則h′(x) = 2xlnx+x-1.知當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x) < 0; 當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x) > 0.故h(x)≥h(1)=0,即x2lnx≥x-1.又因為

故a≥1.

評析我們熟悉不等式“xlnx≥x- 1”, 但不熟悉“x2lnx≥x-1”.命題人也正是利用這一點來進行試題命制的.

我們還可以將不等式“x2lnx≥x-1”進行推廣得到

（2）尊重在先、真誠溝通原則：教師應(yīng)具備接納家長的積極態(tài)度，能因人而異，不挑剔家長，尊重每一位參與助教活動的家長。注重活動細節(jié)，讓家長知曉活動的目標(biāo)、意義，與家長真誠溝通。

證明設(shè)f(x) =xnlnx-x+ 1,n> 1, 則f′(x) =nxn-1lnx+xn-1-1=xn-1(nlnx+1)-1.當(dāng)x∈(0,1)時, 0 1,nlnx+1 > 1, 所以f′(x) > 0,f(x) 單調(diào)遞增.因此,f(x) ≥f(1) = 0, 即xnlnx≥x-1,n>1.

下面給出試題的兩個變式.

變式1設(shè)f(x)=x3lnx+(2a-3)x+a,若f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

簡析.在①式中取n=3,得x3lnx≥x-1,從而,故a≥1.

變式2設(shè),若f(x)≥0 恒成立,求a的取值范圍.

簡析.由x2lnx≥x- 1 得, 即.從而,故a≤1.

5.背景分析

牛頓在《流數(shù)法》中給出了求高次代數(shù)方程近似解的數(shù)值解法: 牛頓迭代法.2019 年人教A 版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》第82 頁的“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目也講解了“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解”[2].該方法是高等數(shù)學(xué)《數(shù)值分析》或《計算方法》中講解的求解方程根的重要方法,它具有快速的收斂速度、通俗易懂的幾何意義.本題以“牛頓迭代法”為背景,不僅考查考生的數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運算能力,同時也是通過求解方程的近似解來研究牛頓迭代法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

因“牛頓迭代法”的收斂速度較快,是方程求根的一個基本方法,且與導(dǎo)數(shù)緊密關(guān)聯(lián),牛頓迭代法逐漸出現(xiàn)在各地的高考試題中,比如2007 年高考廣東卷、2007 年高考四川卷、2002 年高考北京卷和2012 年全國卷等.

5.1 牛頓迭代法簡介

牛頓迭代法(Newton-Raphson)也稱牛頓法切線法,它的基本思想是構(gòu)造一收斂點列{xn},使其極限恰好是方程f(x)=0 的解.因此當(dāng)n充分大時,xn可作為ξ的近似值.

我們知道,f(x) 在點(x0,f(x0)) 處切線的斜率是f′(x0), 因此切線方程為y-f(x0) =f′(x0)(x-x0).如果f′(x0)0, 那么切線與x軸交點的橫坐標(biāo)是.繼續(xù)這個過程, 就可以推出如下求方程根的牛頓法公式: 如果f′(x0)0,那么

如圖2 所示, 繼續(xù)操作可得確定的點列{xn}.顯然{xn} 嚴(yán)格單調(diào)遞減且有下界, 故可設(shè).由于f(x) 和f′(x) 連續(xù),對②式取極限, 得.因而有f(c) = 0.由f(x)嚴(yán)格單調(diào)可知方程f(x)=0 的解唯一,從而c=ξ[3].

圖2

5.2 收斂速度

定理1設(shè)函數(shù)f(x)在x?附近有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),若x?是方程f(x) = 0 的一個單根,即f(x?) = 0,但f′(x?)0,則牛頓法至少是平方收斂的,即至少具有二階收斂速度,且由牛頓法產(chǎn)生的序列{xn} 收斂于x?, 即[4].最后,我們給出牛頓切線法的一個重要結(jié)論,并給出證明.

定理2[5]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階可微,且滿足條件:f(a)f(b)<0,且f′(x)和f′′(x)在[a,b]上均保號.那么就有:

(1)方程f(x)=0 在(a,b)內(nèi)存在唯一的實根ξ;

(2)若在端點a,b中選取其函數(shù)值與f′′(x)同號的端點為x0,則用迭代公式得到的數(shù)列{xn}嚴(yán)格單調(diào)且收斂于根ξ;

(3){xn}滿足誤差公式,其中.

證明(1)由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理知方程f(x) = 0在(a,b)內(nèi)有實根.由于f′(x)保號,f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào),因此方程f(x)=0 只有唯一實根.

(2)不妨只討論在[a,b]上f′′(x)>0 和f(b)>0 的情況.從f(a) < 0 可見在區(qū)間[a,b]上f′(x) > 0 成立.現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明迭代數(shù)列{xn}完全落在區(qū)間(a,b)內(nèi),且為嚴(yán)格單調(diào)遞減,即有a<ξ<··· 0 和f′(b) > 0 可見x1

利用f(ξ) = 0 并在區(qū)間[ξ,b]上用拉格朗日中值定理,即可得到

其中0 <θ< 1.由于f′′(x) > 0 保證了f′(x) 嚴(yán)格單調(diào)遞增, 因此有0 b-(b-ξ)=ξ,即有a<ξ0.現(xiàn)假設(shè)對于n=k有a<ξ 0 可知f(xk) > 0.于是從牛頓迭代公式和f′(xk)>0 可得到xk+1

利用f(ξ)=0 并在[ξ,xk]上利用拉格朗日中值定理,即可與k=0 的情況一樣得到

即有a<ξ

(3)利用泰勒公式對誤差作估計如下:

其中θn∈(ξ,xn).

注若假設(shè)f′′(x)連續(xù),則在最后一步推導(dǎo)中還可以得到,因此最終的收斂速度是由右邊這個數(shù)所確定的.另外,由誤差計算公式可見,每迭代一次,近似值的準(zhǔn)確的小數(shù)位的長度幾乎增加一倍,即收斂速度很快.這樣的算法在計算數(shù)學(xué)中稱為二階算法.

6.結(jié)語

通過對高考摸底考試試題的研究,將結(jié)論進行推廣,并深入分析試題的高數(shù)背景,這不僅能很好地掌握恒成立問題的求解策略,還可以深入地理解牛頓迭代法,能把握試題的本質(zhì).因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)適當(dāng)結(jié)合課程內(nèi)容進行高等數(shù)學(xué)知識與思想的滲透,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).