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        如何解“牛吃草問(wèn)題”

        2023-12-28 08:06:41

        婁 斌

        (山東省棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)明遠(yuǎn)實(shí)驗(yàn)小學(xué))

        小朋友,“牛吃草問(wèn)題”是英國(guó)科學(xué)家牛頓在17 世紀(jì)提出的,又稱為“消長(zhǎng)問(wèn)題”或“牛頓問(wèn)題”?!芭3圆輪?wèn)題”中主要涉及三個(gè)量:草的數(shù)量(原有的草量、每天新生長(zhǎng)或減少的草量)、牛的數(shù)量、時(shí)間。如何解答這類(lèi)問(wèn)題呢,下面我們一起來(lái)看一下。

        一、同一塊牧場(chǎng)中的“牛吃草問(wèn)題”

        例題1一塊牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了草,草每天都勻速生長(zhǎng)。這片草可供13頭牛(每頭牛每天的吃草量相同)吃10天,或可供21頭牛吃5天。

        (1)這片草可供25頭牛吃幾天?

        (2)這片草可供幾頭牛吃20天?

        分析題目可知,牧場(chǎng)上原有的草量是固定的,每天新長(zhǎng)出的草量也是固定的,新長(zhǎng)出的總草量=每天新長(zhǎng)出的草量×天數(shù),若干天牧場(chǎng)可提供的總草量=原有的草量+新長(zhǎng)出的總草量。

        假設(shè)1 頭牛1 天能吃1 份的草,則13 頭牛10 天吃草1×13×10=130(份),21頭牛5天吃草1×21×5=105(份)。為什么前一種吃法比后一種多了130-105=25(份)呢?這是因?yàn)榍耙环N吃法比后一種多了10-5=5(天),多出的25份草是5天長(zhǎng)出來(lái)的。可以算出牧場(chǎng)上每天長(zhǎng)出的草量是25÷5=5(份)。

        13頭牛10天吃草130份,這10天牧場(chǎng)上新長(zhǎng)出的草量是10×5=50(份),牧場(chǎng)上原有的草量是130-50=80(份)。

        (1)計(jì)算這片草可供25頭牛吃幾天,可以這樣思考:

        因?yàn)槟翀?chǎng)上每天長(zhǎng)出5 份草,可以讓其中的5 頭牛專(zhuān)門(mén)吃新長(zhǎng)出的草,剩下的25-5=20(頭)牛吃牧場(chǎng)上原有的80份草,這樣問(wèn)題就變成了牧場(chǎng)上原有的草可以供20頭牛吃幾天?

        因?yàn)?0頭牛1天要吃草1×20=20(份),所以原有的80份草可供20頭牛吃80÷20=4(天),即這片草可供25頭牛吃4天。

        (2)計(jì)算這片草可供幾頭牛吃20天,可以這樣思考:

        20 天牧場(chǎng)上新長(zhǎng)出的總草量是20×5=100(份),這20 天牧場(chǎng)可提供的總草量是80+100=180(份),平均每天能提供的草量是180÷20=9(份)。因?yàn)? 頭牛1 天吃1 份的草,所以9 份的草可供9÷1=9(頭)牛吃1天,即這片草可供9頭牛吃20天。

        通過(guò)例題1的分析解答可知,當(dāng)草量增加時(shí),可歸納總結(jié)出下面的計(jì)算公式:

        先假設(shè)1頭牛1天的吃草量是1份。

        ①每天長(zhǎng)出的草量=(1×對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較多的天數(shù)-1×對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較少的天數(shù))÷(吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù));

        ②原有的草量=1×對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的天數(shù)-每天長(zhǎng)出的草量×吃的天數(shù);

        ③求牧場(chǎng)上的草可供若干頭牛吃幾天,可按下面的步驟計(jì)算:

        先假設(shè)有一些牛專(zhuān)門(mén)吃新長(zhǎng)出的草,剩下的牛吃牧場(chǎng)上原有的草。吃新長(zhǎng)出草的牛的數(shù)量=牧場(chǎng)上每天長(zhǎng)出的草量;吃原有的草的牛的數(shù)量=牛的總數(shù)-吃新長(zhǎng)出草的牛的數(shù)量;所求草可吃的天數(shù)=牧場(chǎng)上原有的草量÷(吃原有的草的牛的數(shù)量×1)。

        ④求牧場(chǎng)上的草可供幾頭牛吃若干天,可按下面的步驟計(jì)算:

        若干天新長(zhǎng)出的總草量=每天長(zhǎng)出的草量×天數(shù);若干天牧場(chǎng)能提供的總草量=原有的草量+若干天新長(zhǎng)出的總草量;牧場(chǎng)平均每天能提供的草量=若干天牧場(chǎng)能提供的總草量÷天數(shù);所求牛的數(shù)量=牧場(chǎng)平均每天能提供的草量÷1。

        例題2一塊牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了草,由于天氣變涼,牧場(chǎng)上的草停止生長(zhǎng)了,并且由于有蟲(chóng)災(zāi),草每天都以固定的速度減少。如果這塊牧場(chǎng)上的草可供10 頭牛(每頭牛每天的吃草量相同)吃9 天,或可供7 頭牛吃12天。

        (1)這片草可供4頭牛吃幾天?

        (2)這片草可供多少頭牛吃6天?

        分析題目可知,牧場(chǎng)上原有的草量是固定的,每天減少的草量也是固定的,減少的總草量=每天減少的草量×天數(shù),若干天牧場(chǎng)可提供的總草量=原有的草量-每天減少的草量。

        假設(shè)1 頭牛1 天能吃1 份的草,則10 頭牛9 天吃草1×10×9=90(份),7頭牛12天吃草1×7×12=84(份)。為什么前一種吃法比后一種多了90-84=6(份)呢?這是因?yàn)榍耙环N吃法比后一種少了12-9=3(天),這6 份草是牧場(chǎng)上3 天減少的草量??伤愠雒刻鞙p少的草量是6÷3=2(份)。

        10 頭牛9 天吃草90 份,這9 天牧場(chǎng)上減少的總草量是2×9=18(份),牧場(chǎng)上原有的草量是90+18=108(份)。

        (1)計(jì)算這片草可供4頭牛吃幾天,可以這樣思考:

        因?yàn)槟翀?chǎng)上的草每天減少2 份,把每天減少的2 份草假設(shè)成是2 頭牛在吃草,這相當(dāng)于牧場(chǎng)上一共有4+2=6(頭)牛在吃草。因?yàn)?頭牛1天要吃草1×6=6(份),108 份草可供6 頭牛以吃108÷6=18(天),即實(shí)際這片草可供4頭牛吃18天。

        (2)計(jì)算這片草可供多少頭牛吃6天,可以這樣思考:

        因?yàn)槟翀?chǎng)上的草每天減少2 份,6 天共減少2×6=12(份)。這6 天牧場(chǎng)可提供108-12=96(份)草,平均每天可提供96÷6=16(份)草。因?yàn)? 頭牛1 天能吃1 份的草,所以16 份草可供16÷1=16(頭)牛吃1天,即可知這片草可供16頭牛吃6天。

        通過(guò)例題2的分析解答可知,當(dāng)草量減少時(shí),可歸納總結(jié)出下面的計(jì)算公式:

        先假設(shè)1頭牛1天的吃草量是1份。

        ①每天減少的草量=(1×對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較多的天數(shù)-1×對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較少的天數(shù))÷(吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù));

        ②原有的草量=1×對(duì)應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的天數(shù)+每天減少的草量×吃的天數(shù);

        ③求牧場(chǎng)上的草可供若干頭牛吃幾天,可按下面的步驟計(jì)算:

        先把每天因?yàn)樘厥庠驕p少的草量假設(shè)成是被牛吃了,則只吃減少草的牛的只數(shù)=每天減少的草量;牛的總只數(shù)=原有的牛的只數(shù)+只吃減少草的牛的只數(shù);草可吃的天數(shù)=原有的草量÷(牛的總只數(shù)×1)。

        ④求牧場(chǎng)上的草可供幾頭牛吃若干天,可按下面的步驟計(jì)算:

        若干天減少的總草量=每天減少的草量×天數(shù);若干天牧場(chǎng)能提供的總草量=原有的草量-減少的總草量;牧場(chǎng)平均每天能提供的草量=若干天牧場(chǎng)能提供的總草量÷天數(shù);所求牛的數(shù)量=牧場(chǎng)平均每天能提供的草量÷1。

        二、多塊牧場(chǎng)中的“牛吃草問(wèn)題”

        例題3朵朵家有兩塊牧場(chǎng),第一塊牧場(chǎng)的面積是1 萬(wàn)平方米,第二塊牧場(chǎng)的面積是3萬(wàn)平方米。兩塊牧場(chǎng)上的草每天都勻速生長(zhǎng),第一塊牧場(chǎng)上的草可供17頭牛吃18天,或者可供21頭牛吃12天。第二塊牧場(chǎng)上的草可供多少頭牛吃16天?

        假設(shè)1頭牛1天的吃草量是1份,先看第一塊牧場(chǎng),根據(jù)例題1總結(jié)的公式可知:第一塊牧場(chǎng)每天長(zhǎng)出的草量是(1×17×18-1×21×12)÷(18-12)=9(份),原有的草量是1×17×18-9×18=144(份)。

        因?yàn)榈诙K牧場(chǎng)的面積是第一塊的3÷1=3倍,所以第二塊牧場(chǎng)每天長(zhǎng)出的草量和原有的草量都是第一塊牧場(chǎng)的3倍。第二塊牧場(chǎng)每天長(zhǎng)出的草量是9×3=27(份),原有的草量是144×3=432(份)。

        這16 天,第二塊牧場(chǎng)可提供的總草量是432+27×16=864(份),可供864÷16÷1=54(頭)牛吃16天。

        小朋友,你學(xué)會(huì)了嗎?在數(shù)學(xué)中,還有很多類(lèi)似“牛吃草問(wèn)題”的問(wèn)題,如檢票口檢票問(wèn)題、抽水問(wèn)題等,只有理解了“牛吃草問(wèn)題”的解題思路,才能以不變應(yīng)萬(wàn)變,輕松地解決此類(lèi)問(wèn)題。

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