龔匡豐, 林耀進, 李國和, 楊偉萍
(1.龍巖學院數(shù)學與信息工程學院,福建 龍巖 364000;2.閩南師范大學計算機學院,福建 漳州 363000;3.中國石油大學(北京)信息科學與工程學院,北京 102249)
學者Atanassov[1]提出直覺模糊集理論(intuitionistic fuzzy set, IFS).在此基礎上,Atanassov 等[2]將其進行推廣,給出區(qū)間直覺模糊集(interval-valued intuitionistic fuzzy set, IVIFS)概念.目前,IVIFS 理論已經(jīng)被廣泛應用于圖像處理、模式識別等領域[3-4].
多屬性決策是通過挖掘已有信息,對候選方案進行評價,給出較好方案或者對方案進行排序[5].徐澤水[6]在IVIFS環(huán)境下,提出一種屬性權重完全已知的決策方法.劉久兵等[7]將IVIFS理論與代價損失函數(shù)結合,同時融入三支決策思想,給出一種專家權重信息未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策方法.何佳蔓[8]用灰色關聯(lián)系數(shù)法確定專家權重和屬性權重,提出一種基于云模型的多屬性群決策方法.郭子雪等[9]在IVIFS環(huán)境下,利用離差最大化思想對屬性權重完全未知的多屬性決策方法進行研究.陸廣地[10]針對模糊不確定性問題,提出一種基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間直覺模糊多屬性決策新算法.孟振華等[11]重新定義直覺模糊數(shù)得分函數(shù),同時提出一種多屬性決策方法.張曉慧等[12]利用最大最小偏差思想,結合有序加權平均算子提出一種針對方案偏好信息為實數(shù)的多屬性群決策方法.馮源等[13]將最大最小偏差思想推廣到屬性值為區(qū)間型的多屬性群決策問題中.由于IVIFS在不確定性的刻畫上更細膩,因此,提出一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法.首先,分析文獻[6]中傳統(tǒng)得分函數(shù)的局限性,將文獻[11]中得分函數(shù)推廣到IVIFS環(huán)境.其次,利用最大最小偏差思想確定屬性權重,通過區(qū)間直覺模糊加權平均(IIFWA)算子對每個方案集的評價指標進行集成.最后,比較各方案中綜合得分函數(shù)值,實現(xiàn)排序.
定義1[1]給定非空論域U,則稱A為U上的一個直覺模糊集.A表示為
其中:uA(x)和vA(x)分別稱為x屬于A的隸屬度和非隸屬度.即
且滿足條件:0 ≤uA(x)+vA(x)≤1,x∈U.
另外,稱πA(x)為x屬于A的猶豫度,πA(x)表示為
定義2[14]給定一個直覺模糊數(shù)α=(uα,vα),則α的得分函數(shù)S(α)表示為
定義2中得分函數(shù)沒有考慮猶豫度的作用,文獻[11]對其進行改進,給出考慮猶豫度的得分函數(shù).
定義3[11]設存在一個直覺模糊數(shù)α=(uα,vα),則其得分函數(shù)S(α)表示為
定義4[2]給定非空論域U,則稱為U上的一個區(qū)間直覺模糊集表示為
定義5[6]設為一個區(qū)間直覺模糊數(shù),則該區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)定義為
顯然,S()∈[-1,1].
定義6[6]設為一個區(qū)間直覺模糊數(shù),則該區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確函數(shù)定義為
由(8)式可知,h()∈[0,1].
定義7[6]設有三個區(qū)間直覺模糊數(shù),則滿足以下式子:
定義8[6]設(k=1,2,…,n)為一組區(qū)間直覺模糊數(shù),且設,若
其中:w=(w1,w2,…,wn)T為的權重向量,且wk∈[0,1],,則稱f為區(qū)間直覺模糊加權平均(IIFWA)算子.
定理1[6]設為信息系統(tǒng)的區(qū)間直覺模糊數(shù)組,則由IIFWA 算子集成后,其結果為
定義5中得分函數(shù)的計算方法只考慮隸屬度和非隸屬度,而忽略猶豫度的作用,導致區(qū)間直覺模糊數(shù)中信息沒有被充分發(fā)掘.現(xiàn)用例1說明傳統(tǒng)區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)具有局限性.
例1給定非空論域U,和為兩個區(qū)間直覺模糊數(shù),且=([0.45,0.55],[0.15,0.25]),=([0.1,0.5],[0,0]).利用傳統(tǒng)區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)和精確函數(shù)計算方法可得如下結果易得,由傳統(tǒng)區(qū)間直覺模糊數(shù)的比較規(guī)則可知即認為優(yōu)于.
文獻[11]中得分函數(shù)同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度,該得分函數(shù)更加客觀地反映事物不確定性.本節(jié)將該思想推廣到IVIFS環(huán)境中,重新定義得分函數(shù).
定義9設為論域U中一個區(qū)間直覺模糊數(shù),且,則該區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)定義為
定義9中表達式可以改寫成為
公式(12)中第一項為傳統(tǒng)得分函數(shù)表達式,第二項為猶豫度的一個修正項.考慮到棄權人群的從眾心理,可能傾向于贊成、反對和保持中立三種情況,將猶豫人群分為等權的三類.即猶豫度的權重為,最后用得分函數(shù)的一半來修正該權重值.定義9 中區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)充分考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個方面因素,更加符合人們對客觀事物的判斷.
性質(zhì)1當區(qū)間直覺模糊數(shù)取得最大值=([1,1],[0,0])時,S()=1;當區(qū)間直覺模糊數(shù)取得最小值=([0,0],[1,1])時,S()=-1.
證明當=([1,1],[0,0])時,有
推論1區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)式(11)為直覺模糊數(shù)得分函數(shù)式(4)的自然推廣.
證明由定義9可知,當時,區(qū)間直覺模糊數(shù)退化為直覺模糊數(shù).此時
上式即為定義3中直覺模糊數(shù)的得分函數(shù),證畢.
例2(續(xù)例1)根據(jù)公式(11),可得
文獻[7]對區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法作如下形式化描述.
假設存在方案集Y={yi|1 ≤i≤n},屬性集為AT={atk|1 ≤k≤m}∈Rn×m, 屬性權重向量為W∈Rm×1,wj∈[0,1],,方案集中任一對象可以表達成:其中分別表示方案yi關于屬性atk的隸屬程度和非隸屬程度.令,可得如下決策矩陣
文獻[12]認為在多屬性決策問題中,如果各備選方案在某個屬性下取值越接近,則該屬性對方案的影響越小.由此可知,該屬性的權重也應該越小.文獻[15]指出:如果各備選方案中某個屬性取值都相同,則大多數(shù)決策者認為該屬性對方案排序不起作用.相反,如果某個屬性值差異性相對較大,則該屬性權重值也應該相對較大.利用這種思想得到的最優(yōu)權重向量應該滿足所有屬性值最小差異最大化.文獻[12]和文獻[13]利用最大最小偏差思想,分別在方案屬性值為實數(shù)型和區(qū)間數(shù)型情況下討論多屬性群決策問題.然而,上述文獻并沒有在IVIFS環(huán)境下對最大最小偏差思想進行討論分析.IVIFS對不確定性的刻畫比直覺模糊集更細膩.因此,有必要將這種思想推廣到IVIFS環(huán)境中,由此進一步豐富多屬性決策問題的理論研究.
利用最大最小偏差思想,構造目標函數(shù)為
其中:wi為第i個屬性的權重值;δ為兩兩方案中同一個屬性的得分函數(shù)值之差的絕對值;δwi表示不同方案中同一屬性(wi)的距離.此處有
其中:Sij,Slj為不同方案下同一個屬性的得分函數(shù)值.得分函數(shù)由定義9給出.
公式(14)的求解如下
通過求解(17)式可在屬性權重未知情況下,得到一個相對合理的權重向量,減少主觀性.
基于以上分析,本節(jié)詳細說明所提決策方法.首先根據(jù)(11)式計算決策矩陣中每個屬性的得分函數(shù)值,構造得分矩陣;然后,計算每個屬性下兩兩方案間得分函數(shù)值之差的絕對值得到距離矩陣,結合3.2節(jié)所提權重模型,確定屬性權重值,并利用算子IIFWA 計算每個方案的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù),最后根據(jù)(11)式計算每個方案的最終得分函數(shù)值得到最優(yōu)方案.具體偽代碼如算法1所示.
算法1 面向權重未知的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法輸入:決策矩陣Y ∈Rn×m,屬性集AT ∈R1×m,距離矩陣D_Value ∈R n(n-1)2×m.輸出:得分函數(shù)排序結果.1:根據(jù)Eq.(11)計算決策矩陣Y ∈Rn×m中每個屬性的得分函數(shù)值,構造得分矩陣D ∈Rn×m;2:for ati ∈AT do 3: l=1;4: for j= 1:(n-1) do 5: for k= (j+1):n do 6: 根據(jù)Eq.(15)計算在屬性ati下,方案yj與yk之間得分函數(shù)值之差的7: 絕對值,賦值到距離矩陣元D_Valueil;8: l=l+1;9: end for 10: end for 11:end for 12:由最大最小偏差模型(3.2)計算每個屬性的權重值,得到權重矩陣W ∈R1×m;13:由IIFWA算子集成綜合區(qū)間直覺模糊數(shù);14:根據(jù)Eq.(11)計算每個方案的最終得分函數(shù)值;15:返回最優(yōu)方案.
例3[9]某企業(yè)為評估應急預案對突發(fā)事件的處理能力,對備選方案進行分析.分別從響應程度(at1),內(nèi)容合理性(at2),預案保障程度(at3),經(jīng)費合理性(at4)以及預案可推廣性(at5)等方面進行綜合考慮.假定方案集為yi(i=1,2,3,4,5),專家組根據(jù)自己的閱歷背景、通過實地調(diào)研得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)對每個預案進行評價,表1是方案集關于屬性的區(qū)間直覺模糊評價信息矩陣.假設屬性權重完全未知,試對方案集進行排序.
表1 決策矩陣Tab.1 Decision-making matrix
用所提決策方法對方案集進行排序,該模型的計算過程在Matlab2021b環(huán)境下實現(xiàn).
步驟1根據(jù)(11)式計算每個決策矩陣中各屬性得分函數(shù)值,構造得分矩陣
步驟2根據(jù)3.2 節(jié)中權重模型,確定每個屬性的權重.遍歷每個屬性,計算不同方案在該屬性下的差值(取絕對值)得到距離矩陣為
由最大最小偏差模型計算每個屬性的權重值
容易得到屬性at1(第一列)最小差值為0.050 8,于是有:0.050 8w1-σ≥0.
同理可得
可得權重最優(yōu)解為
步驟3由區(qū)間直覺模糊加權平均算子IIFWA計算每個方案的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù).以y1為例.
可得y1的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù)為
同理可得y2~y5的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù)為
步驟4根據(jù)(11)式計算每個方案的最終得分函數(shù):S(y1)=0.185 7;S(y2)=0.209 4;S(y3)=0.269 9;S(y4)=0.567 9;S(y5)=0.081 7.
步驟5利用各方案最終得分函數(shù)值進行排序.
由以上分析可知
可得方案排序為:y4?y3?y2?y1?y5,即最優(yōu)方案為y4.
從表2排序結果可知,利用所提決策方法得到y(tǒng)4為最優(yōu)方案,與文獻[9]中最優(yōu)方案結果保持一致.與文獻[9]都是在屬性權重完全未知的情況下,對數(shù)據(jù)進行分析,確定屬性權重,因此都具備較強的客觀性.除了確定權重的方法不同之外,最主要的不同之處在于提出一種新的得分函數(shù)計算方法,該方法充分考慮猶豫度的作用,更具合理性.
表2 算例3排序結果對比Tab.2 Comparision of sorting results of example 3
為進一步驗證所提方法的有效性,用文獻[6]中算例進行對比說明.文獻[10]和文獻[16]同樣用該算例進行對比.表3是方案排序結果對比.
表3 文獻[6]算例排序結果對比Tab.3 Comparision of sorting results for example from reference [6]
從總體上看,所提方法與以上方法均能得到方案4是最優(yōu)方案.
文獻[6]所提方法假設所有屬性權重已知,存在一定主觀性;文獻[10]提出一種基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法,該方法考察初排序的穩(wěn)定性,通過進一步討論確定最優(yōu)方案;文獻[16]所提方法是利用引入心態(tài)函數(shù)進行討論,心態(tài)指標的不同可能導致排序結果變化.綜上,從權重確定的角度,不同于其他方法,所提方法中,權重完全由數(shù)據(jù)自身決定,具備較強客觀性.
在IVIFS 環(huán)境下,分析傳統(tǒng)得分函數(shù)的局限性,重新定義得分函數(shù),討論其合理性和相關性質(zhì).結合最大最小偏差思想,給出一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法.通過算例驗證該方法的有效性.相比于屬性權重完全給定的多屬性決策方法,所提方法屬性權重完全由數(shù)據(jù)自身決定,這更具客觀性和合理性,是對最大最小偏差思想的推廣,同時也豐富了區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法的理論研究.