吳 迪, 吳美蓮, 吳杭蕖, 蘇媛媛, 游方楷, 賈鶴鳴

（1.三明學(xué)院教育與音樂學(xué)院,福建 三明 365004；2.三明學(xué)院信息工程學(xué)院,福建 三明 365004）

隨著科學(xué)技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，實(shí)際問題的復(fù)雜性不斷提高，對(duì)優(yōu)化技術(shù)的需求愈發(fā)明顯，元啟發(fā)式優(yōu)化算法由于其簡單性、靈活性和無推導(dǎo)機(jī)制受到眾多學(xué)者的關(guān)注[1].近年來，國內(nèi)外研究者在智能優(yōu)化領(lǐng)域取得一系列重要的研究成果.這些研究成果為后來者提供新的思路和實(shí)踐指導(dǎo)，并在各個(gè)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，是當(dāng)今智能優(yōu)化算法領(lǐng)域發(fā)展的主要?jiǎng)恿?，為智能?yōu)化算法領(lǐng)域作出杰出的貢獻(xiàn).現(xiàn)今常見的元啟發(fā)式算法如教與學(xué)優(yōu)化算法(teaching-learning-based optimization algotithm,TLBOA)[2]、基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法[3]、粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization algotithm，PSOA)[4]、鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm，WOA)[5]、黑猩猩優(yōu)化算法(chimpanzee optimization algorithm，COA)[6]、海鷗優(yōu)化算法(seagull optimization algorithm，SOA)[7]、算術(shù)優(yōu)化算法(arithmetic optimization algorithm，AOA)[8]、螢火蟲優(yōu)化算法(fire-fly algorithm，F(xiàn)A)[9]等，在不同的優(yōu)化問題中具有各自的特點(diǎn)和應(yīng)用范圍.然而，無免費(fèi)午餐(no-free-lunch， NFL)[10]理論的證明，世上還暫且不存在一種通用的優(yōu)化算法可以解決所有的工程問題.這是因?yàn)椴煌膯栴}具有獨(dú)特的特征、目標(biāo)和約束條件，因此需要根據(jù)具體情況選擇合適的優(yōu)化算法，在應(yīng)用優(yōu)化算法時(shí)，選擇合適的算法來解決具體的工程問題非常重要.并且可以通過混合模式和融合改進(jìn)策略，對(duì)傳統(tǒng)的優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，以提高算法的性能和效果[11].

2023年，張慶科等[12]提出一種創(chuàng)新的群智能優(yōu)化算法，將其命名為成長優(yōu)化(growth optimizer， GO)算法.該算法的設(shè)計(jì)靈感源自個(gè)體在成長過程中的學(xué)習(xí)與反思.在學(xué)習(xí)階段中，對(duì)于每個(gè)個(gè)體，GO算法利用來自5 個(gè)不同特定個(gè)體的四種類型的搜索方向信息，并結(jié)合適應(yīng)度值和歐氏距離的概念自適應(yīng)地平衡這四種方向信息.這種自適應(yīng)平衡的方法使得GO算法在選擇搜索方向時(shí)能夠更準(zhǔn)確地權(quán)衡不同的信息，并且顯著降低由于錯(cuò)誤方向信息的干擾而導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)解的機(jī)會(huì).通過綜合考慮多個(gè)方向的信息，GO算法能夠在探索解空間時(shí)更好地平衡全局探索和局部收斂之間的權(quán)衡關(guān)系.在反思階段中，GO算法利用各種計(jì)算方式來記錄和更新個(gè)體的位置.這個(gè)過程可以幫助個(gè)體在優(yōu)化過程中進(jìn)行自我調(diào)整和修正，以提高算法的性能和適應(yīng)能力.對(duì)于一般的優(yōu)化問題，GO算法展現(xiàn)出較優(yōu)的全局探索和收斂能力.然而，在處理一些復(fù)雜的函數(shù)測(cè)試時(shí)，GO算法可能會(huì)面臨局部最優(yōu)解的困境.這種情況下，算法可能會(huì)陷入某個(gè)具體的區(qū)域而難以跳出，導(dǎo)致無法找到全局最優(yōu)解.這是一個(gè)需要注意的局限性，對(duì)于復(fù)雜問題，可能需要結(jié)合其他算法或策略來進(jìn)一步提高GO算法的性能和效果.

針對(duì)上述不足，提出融合知識(shí)共享和精英反向?qū)W習(xí)的成長優(yōu)化算法(KSOBLGO).首先，傳統(tǒng)GO 算法是通過隨機(jī)方式產(chǎn)生種群個(gè)體的位置，種群初始化方式可能導(dǎo)致多樣性差和不均勻分布在解空間的問題，因此需要改進(jìn)算法的種群初始化方式.在基于縱橫交叉和精英反向?qū)W習(xí)的鯨魚優(yōu)化算法[13]中，采用精英反向?qū)W習(xí)構(gòu)造精英個(gè)體的反向解，增加種群的多樣性，擴(kuò)展種群的搜索范圍，以更好地探索解空間.文獻(xiàn)[14]在研究鯨魚優(yōu)化算法時(shí)，使用精英反向?qū)W習(xí)策略和Lévy 飛行的方法來對(duì)初始化種群進(jìn)行優(yōu)化，以增加種群的多樣性.在文獻(xiàn)[15]中，針對(duì)算法過早收斂，初始化種群多樣性低的問題，引入精英反向?qū)W習(xí)和HHO 算法相結(jié)合.文獻(xiàn)[16]將柯西變異、反向?qū)W習(xí)策略與麻雀優(yōu)化算法相融合，提高麻雀優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)能力.借鑒上述文獻(xiàn)的改進(jìn)思想，通過精英反向?qū)W習(xí)生成反向解，增加種群多樣性，待進(jìn)入學(xué)習(xí)階段后，探索個(gè)體間差距并進(jìn)行學(xué)習(xí)，之后進(jìn)入反思階段，當(dāng)前個(gè)體將會(huì)由優(yōu)秀個(gè)體進(jìn)行引導(dǎo)，彌補(bǔ)自身的不足，若自身某方面的知識(shí)無法彌補(bǔ)時(shí)，則會(huì)選擇放棄以往學(xué)習(xí)的知識(shí)，重新進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí).最后進(jìn)入知識(shí)共享階段，進(jìn)行適應(yīng)度劃分，平衡KSOBLGO算法的局部搜索能力和全局搜索能力，通過13個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證KSOBLGO算法的優(yōu)化性能.

1 成長優(yōu)化算法

在GO算法中，個(gè)體的社會(huì)結(jié)構(gòu)與GR(適應(yīng)度值)相關(guān)，通過P1將其分為三個(gè)層次.該結(jié)構(gòu)由上層(包括領(lǐng)導(dǎo)和精英)、中層和底層組成.上層中排名最高的領(lǐng)導(dǎo)者是全局最優(yōu)解，排名在2到P1范圍內(nèi)的個(gè)體稱為精英，為全局次優(yōu)解；排名在P1+1 和N-P1之間的個(gè)體代表中層成員；排名位于N-P1+1 和N之間代表底層成員，其中：N為社會(huì)成員人數(shù).當(dāng)P1=5 時(shí)可以保證算法的高效、穩(wěn)定的性能.GO 算法主要分為學(xué)習(xí)階段和反思階段.學(xué)習(xí)階段是指?jìng)€(gè)體找到其他個(gè)體之間的差距并進(jìn)行學(xué)習(xí)，反思階段是指?jìng)€(gè)體使用不同的策略來彌補(bǔ)自身的不足.

1.1 初始化種群

成長優(yōu)化算法和大多數(shù)算法一樣，通過解空間邊界范圍與維度初始化種群.使用式(1)對(duì)種群中第i個(gè)個(gè)體進(jìn)行初始化.即

其中：Xi為第i個(gè)個(gè)體；ub和lb表示搜索域的上邊界和下邊界；rand表示一個(gè)介于0和1之間的偽隨機(jī)數(shù).

1.2 學(xué)習(xí)階段

不同個(gè)體之間可能存在一定的差距，造成這種差距的原因有很多，如果能探索差距的原因，并且從中學(xué)習(xí)就可以極大地促進(jìn)個(gè)體的成長.主要的差距分為四類：領(lǐng)袖和精英成員之間的差距(Gap1)，領(lǐng)袖和底層成員之間的差距(Gap2)，精英成員和底層成員之間的差距(Gap3)以及兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體之間的差距(Gap4).其中將Gapk(k=1，2，3，4)設(shè)為第k類差距.對(duì)于第i個(gè)個(gè)體Xi，每一類的差距公式描述為

其中：Xbest代表社會(huì)的領(lǐng)袖；Xbetter是精英成員之一；Xworse是底層成員之一；XL1和XL2都是與第i個(gè)個(gè)體Xi不同的隨機(jī)個(gè)體.

為反映差距對(duì)第i個(gè)個(gè)體Xi的影響，算法引入學(xué)習(xí)因子(LF).對(duì)于第i個(gè)個(gè)體Xi，LFk將影響其對(duì)第k類差距的學(xué)習(xí).當(dāng)?shù)趉類差距較大時(shí)，LFk也會(huì)較大，第i個(gè)個(gè)體Xi會(huì)從第k類差距中學(xué)到更多.LFk的建模為

其中： LFk為第k類差距的歐氏距離歸一化比值，范圍為[0，1].

在成長過程中，不同層次的人對(duì)自己有不同的看法，可以通過引入SFi來評(píng)估個(gè)體自身可接受的知識(shí)范圍.SFi越大，說明第i個(gè)個(gè)體Xi需要更多的知識(shí)來提升自己，即

其中： GRi為第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值；GRworst為所有個(gè)體中最大的適應(yīng)度值.

知識(shí)的學(xué)習(xí)和轉(zhuǎn)化是損耗的.對(duì)于第k類差距(Gapk)，個(gè)體Xi從它們中吸收一些知識(shí)，這些知識(shí)是第k個(gè)知識(shí)獲取組(KAk).對(duì)于第i個(gè)個(gè)體Xi，KAk是在LFk和SFi在第k類差距上的操作后得到的，上述過程可以描述為

其中： KAk是第i個(gè)個(gè)體Xi從第k類差距獲得的知識(shí)，SFi是對(duì)其自身情況的評(píng)估，而LFi是對(duì)外部情況的評(píng)估.

第i個(gè)個(gè)體Xi在兩種評(píng)估的影響下，從Gapk中識(shí)別出自己需要的知識(shí)KAk，從而完成學(xué)習(xí)過程.個(gè)體Xi通過從四類差距中學(xué)習(xí)，完成豐富的知識(shí)積累過程，第i個(gè)個(gè)體Xi的具體學(xué)習(xí)過程為

其中：Xi為第i個(gè)個(gè)體；KAk是第i個(gè)個(gè)體從第k類差距中獲取的知識(shí).

個(gè)體Xi的適應(yīng)度值更新過程為

其中：Xit+1為第t+1 次迭代中第i個(gè)個(gè)體；r1是一個(gè)均勻分布于0 和1 之間的隨機(jī)數(shù)；P2為一個(gè)常數(shù)，通常取值為0.001；P2決定第i個(gè)個(gè)體不更新時(shí)是否保留新獲得的知識(shí)，其中i≠1是為防止全局最優(yōu)解被替換導(dǎo)致算法不易收斂.

1.3 反思階段

學(xué)習(xí)和反思相互互補(bǔ)，反思也是汲取知識(shí)過程中的一個(gè)重要階段.對(duì)于第i個(gè)個(gè)體Xi，Xi會(huì)通過向優(yōu)秀的個(gè)體學(xué)習(xí)，來彌足自身的不足.但是當(dāng)某一方面的知識(shí)無法彌補(bǔ)時(shí)，Xi會(huì)放棄以往的知識(shí)，重新進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí).第i個(gè)個(gè)體Xi的反思過程為

其中：r2、r3、r4和r5為在[0，1]范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)；R表示適應(yīng)度排名前P1的個(gè)體之一；Rj為個(gè)體R的第j個(gè)維度；P3為一個(gè)常數(shù)，能夠控制反思的概率，一般設(shè)置為0.3；AF為衰減因子.

2 改進(jìn)的成長優(yōu)化算法

在GO 算法中，位置的更新是通過將k類差距相加的方式進(jìn)行的.但是在某些復(fù)雜的尋優(yōu)問題中，這種更新方式存在不確定性，很難正確指引個(gè)體的搜索路徑.為提高算法的精度，將精英反向?qū)W習(xí)引入到GO算法的初始化位置更新中.通過使用精英反向?qū)W習(xí)，算法可以利用精英個(gè)體的優(yōu)秀特征來指導(dǎo)其他個(gè)體的初始化位置.通過學(xué)習(xí)精英個(gè)體的反向解，算法可以更好地初始化個(gè)體的位置，從而增加算法的收斂性和優(yōu)化能力.為進(jìn)一步平衡算法的探索和開發(fā)能力，將基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法融合到GO 算法中，這一階段稱為知識(shí)共享階段.在知識(shí)共享階段，個(gè)體之間通過共享知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來相互影響和改進(jìn).這種知識(shí)共享機(jī)制能夠有效地傳遞優(yōu)秀的解決方案和搜索策略，提高算法的優(yōu)化能力.通過使用精英反向?qū)W習(xí)策略和知識(shí)共享，算法在初始化和演化的過程中獲得更多的信息和指導(dǎo)，從而提高尋優(yōu)能力.這種綜合方法可以使GO算法更加準(zhǔn)確地探索解空間，更好地平衡全局探索和局部開發(fā)之間的關(guān)系，進(jìn)而提高算法的性能和效果.

2.1 精英反向?qū)W習(xí)對(duì)種群進(jìn)行初始化

精英個(gè)體在種群中相比其他個(gè)體包含更多的有效信息.通過構(gòu)造精英個(gè)體的反向解，可以增加種群的多樣性，并擴(kuò)展種群的搜索范圍，以更好地探索解空間.這種策略有助于避免陷入局部最優(yōu)解，提高搜索算法的全局優(yōu)化能力.通過精英反向?qū)W習(xí)策略來對(duì)種群位置進(jìn)行初始化，通過精英反向?qū)W習(xí)對(duì)種群進(jìn)行初始化的計(jì)算式為

其中：Xi為第i個(gè)個(gè)體；Xnew為第i個(gè)個(gè)體所對(duì)應(yīng)的精英反向?qū)W習(xí)個(gè)體.

通過對(duì)初始解和反向解進(jìn)行合并，選取適應(yīng)度值較優(yōu)的解作為初始個(gè)體，用于組成初始種群，即

其中：Xi為第i個(gè)個(gè)體；Xnew為第i個(gè)個(gè)體所對(duì)應(yīng)的精英反向?qū)W習(xí)的個(gè)體.

2.2 知識(shí)共享階段

在一個(gè)種群中，“揚(yáng)長避短”“合理分工”是種群尋找更優(yōu)適應(yīng)度值的好辦法，即挖掘種群中各個(gè)個(gè)體的潛力，從而加強(qiáng)算法的性能.通過對(duì)適應(yīng)度排名前P1個(gè)的個(gè)體采取局部搜索策略，更新公式為

其中：Xi為第i個(gè)個(gè)體；rand為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)；gBest為全局最優(yōu)個(gè)體.

針對(duì)位置較差或相對(duì)中等的個(gè)體，可以采取一種方法來提升它們的搜索能力。首先，將個(gè)體的維度D進(jìn)行劃分，分為初級(jí)要素和高級(jí)要素.初級(jí)要素是維度D中的前Djun個(gè)維度，而高級(jí)要素則是剩余的DDjun個(gè)維度.這種劃分的目的是通過初級(jí)要素和高級(jí)要素之間的差異性來更新個(gè)體，以引導(dǎo)個(gè)體進(jìn)行全局搜索.基于初級(jí)要素和高級(jí)要素的更新策略使得個(gè)體在搜索過程中能更全面地考慮不同維度的信息，并根據(jù)初級(jí)要素和高級(jí)要素之間的差異性進(jìn)行調(diào)整.在更新初級(jí)要素和高級(jí)要素時(shí)，可以使用特定的更新公式，即

其中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；v為知識(shí)率，是一個(gè)大于0的實(shí)數(shù)，一般取值為10.

在知識(shí)共享階段中對(duì)初級(jí)要素進(jìn)行更新.需要生成一個(gè)介于0和1之間的隨機(jī)數(shù)，如果這個(gè)隨機(jī)數(shù)小于知識(shí)比率rk，個(gè)體Xi的第j個(gè)維度將按照式(15)對(duì)初級(jí)要素進(jìn)行更新;否則不做任何更新.更新完初級(jí)要素之后，將對(duì)高級(jí)要素進(jìn)行同樣的更新處理.同理，需要生成一個(gè)介于0和1之間的隨機(jī)數(shù)，如果這個(gè)隨機(jī)數(shù)小于知識(shí)比率rk，那么將按照公式(16)對(duì)高級(jí)要素進(jìn)行更新；否則不做任何更新.式(15)～(16)如下所示

其中：Xi，j表示第i個(gè)個(gè)體在第j維度上的取值；Xi-1，j表示適應(yīng)度排名在Xi，j之前的個(gè)體中，在第j維度上的取值；Xi+1，j表示適應(yīng)度排名在Xi，j之前的個(gè)體中，在第j維度上的取值；Xm為隨機(jī)個(gè)體，fk為知識(shí)因子，一般取值為0.5，rk為知識(shí)比率，一般取值為0.9；Xpbest為當(dāng)前適應(yīng)度排名最前P1個(gè)人之一；Xworst是當(dāng)前適應(yīng)度排名最后P1個(gè)人之一；Xm為隨機(jī)個(gè)體.

個(gè)體Xi的適應(yīng)度值更新過程如式(7)所示.

2.3 改進(jìn)成長優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)流程圖

綜合上述策略，通過精英反向?qū)W習(xí)策略和知識(shí)共享，算法在初始化和演化的過程中獲得更多的信息和指導(dǎo)，提高算法的尋優(yōu)能力.這種綜合方法可以使GO 算法更加準(zhǔn)確地探索解空間，更好地平衡全局探索和局部開發(fā)之間的關(guān)系，進(jìn)而提高算法的性能和效果.改進(jìn)成長優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)流程圖如圖1所示

圖1 KSOBLGO算法實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.1 KSOBLGO algorithm implementation flowchart

3 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果及測(cè)試

為驗(yàn)證KSOBLGO算法的性能，通過13個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試將該算法與成長優(yōu)化(GO)算法、鯨魚優(yōu)化算法(WOA)和算術(shù)優(yōu)化算法(AOA)的尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行比較.所選的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)包括兩個(gè)種類：單峰測(cè)試函數(shù)編號(hào)(F1)～(F7)和多峰測(cè)試函數(shù)編號(hào)(F8)～(F13).這些函數(shù)被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化算法的基準(zhǔn)測(cè)試中，用于評(píng)估算法的性能和魯棒性.這些函數(shù)代表不同類型的問題，從而使能夠更全面地解KSOBLGO算法在處理不同類型問題時(shí)的適應(yīng)能力和表現(xiàn).通過對(duì)這些基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，并將KSOBLGO算法的結(jié)果與GO算法、WOA和AOA進(jìn)行比較，可以確定KSOBLGO算法在這些問題上的性能優(yōu)劣.這樣的比較有助于解KSOBLGO算法在不同類型問題上的優(yōu)勢(shì)和局限性，以及它是否是一個(gè)適合解決這些問題的有效算法.函數(shù)詳細(xì)內(nèi)容如表1所示.

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab.1 Evaluation functions

3.1 參數(shù)設(shè)置以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境

確保仿真實(shí)驗(yàn)的公平性是非常重要的，其中一個(gè)關(guān)鍵因素是統(tǒng)一算法中部分相關(guān)參數(shù)的設(shè)置.在本次實(shí)驗(yàn)中，將種群數(shù)量設(shè)定為40，維度為30，最大迭代次數(shù)設(shè)定為1 000次.此外，為評(píng)估算法的性能穩(wěn)定性，每個(gè)算法都將獨(dú)立運(yùn)行30次，以獲取更可靠的結(jié)果.各個(gè)算法的關(guān)鍵參數(shù)設(shè)置，如表2給出.以平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)偏差值和Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)為判斷標(biāo)準(zhǔn)，其中，平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差值越小，則證明算法的性能越佳.

表2 算法參數(shù)設(shè)置Tab.2 Algorithm parameter settings

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.2.1 數(shù)據(jù)分析

將KSOBLGO 算法與GO 算法、WOA 和AOA 進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，每種算法對(duì)每個(gè)函數(shù)進(jìn)行30 次測(cè)試，通過30次測(cè)試計(jì)算函數(shù)適應(yīng)度值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示(最優(yōu)結(jié)果用粗體表示).

表3 函數(shù)尋優(yōu)測(cè)試結(jié)果Tab.3 Function optimization test results

由表3的測(cè)試函數(shù)結(jié)果可以看出，KSOBLGO算法對(duì)F1、F3、F6、F8、F9、F11尋優(yōu)過程中都收斂到最優(yōu)值，具有不錯(cuò)的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性.從平均值上看，KSOBLGO算法在8個(gè)測(cè)試函數(shù)中平均值與GO算法和WOA 有顯著差別，在10 個(gè)測(cè)試函數(shù)中平均值與GO 算法、WOA 和AOA 有顯著差別，在11 個(gè)測(cè)試函數(shù)中平均值都優(yōu)于GO 算法和WOA，在9個(gè)測(cè)試函數(shù)中平均值都優(yōu)于AOA.從標(biāo)準(zhǔn)差上看，KSOBLGO 算法在13個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中的標(biāo)準(zhǔn)差均小于GO 算法和WOA，在F2和F7上相較于AOA 略有不足.通過基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的分析，KSOBLGO 算法在這些基準(zhǔn)函數(shù)上表現(xiàn)出較高的尋優(yōu)性能和魯棒性.它能夠更快速、準(zhǔn)確地找到全局最優(yōu)解，并對(duì)多峰函數(shù)具有良好的搜索能力.這些優(yōu)勢(shì)使得KSOBLGO 算法成為解決優(yōu)化問題的有力工具.

3.2.2 收斂曲線分析

收斂曲線能直觀反映優(yōu)化算法的收斂速度和整體性能.為能夠更直觀的展現(xiàn)算法在各種函數(shù)中所表現(xiàn)出來的性能，選取測(cè)試所求得的最優(yōu)值與平均值較為接近的一次，同時(shí)繪制KSOBLGO算法、GO算法、WOA 和AOA 的迭代曲線.從13 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中選取9 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的收斂曲線進(jìn)行繪制，其中包括6個(gè)單峰函數(shù)和3個(gè)多峰函數(shù)，如圖2所示.

圖2 函數(shù)優(yōu)化迭代曲線圖Fig.2 Function optimization iteration curve chart

對(duì)比四條迭代曲線可明顯觀察到KSOBLGO 算法在收斂速度和準(zhǔn)確度方面表現(xiàn)更優(yōu).改進(jìn)后的GO算法在探索和開發(fā)能力方面取得平衡，提升算法的優(yōu)化性能.驗(yàn)證所采用的改進(jìn)策略的有效性和可行性.

3.2.3 Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)

在上述分析中，僅通過平均值和標(biāo)準(zhǔn)差判斷算法之間有顯著性差異是不充分的.使用Wilcoxon 符號(hào)秩檢驗(yàn)，顯著性水平為0.05，來進(jìn)一步驗(yàn)證KSOBLGO 算法與其他三種算法在性能優(yōu)勢(shì)上的顯著性.這種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法可以用來比較兩個(gè)相關(guān)樣本之間的差異，并確定它們之間是否存在顯著性差異.對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3 所示，其中符號(hào)“+”“=”“-”分別代表KSOBLGO 算法和對(duì)比算法的性能間有無顯著差異的關(guān)系，并對(duì)P＞0.05的數(shù)據(jù)進(jìn)行加粗處理.

從表4 可以看出，KSOBLGO 算法在與GO 算法和WOA 進(jìn)行比較時(shí)，在所有函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果上都有所改善KSOBLGO 算法和AOA 算法在函數(shù)F9 和F10 上都收斂到最優(yōu)值，兩種算法的性能相當(dāng).然而，其他函數(shù)的數(shù)據(jù)表明KSOBLGO 算法的性能優(yōu)于AOA 算法.通過進(jìn)行Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)，可以得出結(jié)論：KSOBLGO 算法在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)中具有更好的優(yōu)化效果.綜合分析表3～4及圖2的結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：融合知識(shí)共享和精英反向?qū)W習(xí)的KSOBLGO 算法在勘探和開發(fā)方面展現(xiàn)出更強(qiáng)的能力.與GO 算法、WOA算法和AOA算法相比，在優(yōu)化方面取得更好的結(jié)果.

表4 Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)p值表Tab.4 Wilcoxon signed rank test p-value table

4 結(jié)論

提出一種融合知識(shí)共享和精英反向?qū)W習(xí)的成長算法，旨在通過將基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法與精英反向?qū)W習(xí)相結(jié)合，提升最優(yōu)個(gè)體的局部搜索能力和其他個(gè)體的全局搜索能力，在探索和開發(fā)能力方面取得平衡.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的GO 算法顯著提高算法的隨機(jī)性和全局搜索尋優(yōu)性能，同時(shí)有效防止局部最優(yōu)停滯現(xiàn)象.然而，目前該研究僅在13個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行改進(jìn)測(cè)試.未來的研究將嘗試整合不同的改進(jìn)策略，并根據(jù)實(shí)際工程需求努力發(fā)展更具適應(yīng)性的智能優(yōu)化算法，為實(shí)際工程問題提供更出色的解決方案.