王 俊

? 江蘇省無錫市連元英和雙語實(shí)驗學(xué)校

作為單元的起始課,對整章知識起著統(tǒng)領(lǐng)與導(dǎo)向作用.做好單元整體教學(xué),需要教師很好地做到三個理解(理解教材,理解學(xué)生,理解教學(xué)),然后落實(shí)到每個具體的教學(xué)活動環(huán)節(jié),整體設(shè)計,再分步驟實(shí)施,在整個過程中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).下面結(jié)合“勾股定理第一課時”的課堂實(shí)錄及分析,來探討一下單元整體教學(xué).

1 教材分析

“勾股定理(第1課時)”教學(xué)目標(biāo)主要有兩個:(1)經(jīng)歷探索勾股定理的過程,發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)形結(jié)合的思想;(2)能應(yīng)用勾股定理求直角三角形中未知邊的長.前者需要花時間讓學(xué)生去探索,所以設(shè)計了讓學(xué)生在紙上多次操作驗證、觀看視頻等活動,引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)勾股定理蘊(yùn)含的數(shù)與形的關(guān)系,以及學(xué)會如何發(fā)現(xiàn)與探索,形成學(xué)習(xí)的能力,這也是本課重點(diǎn).

2 設(shè)計思路與意圖

本節(jié)課分六個環(huán)節(jié)來具體實(shí)施:

(1)導(dǎo)入直角三角形邊角的內(nèi)部關(guān)系,讓學(xué)生建立形與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系.

(2)利用面積割補(bǔ)法解決問題,實(shí)現(xiàn)直角三角形面積與邊邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化,初步感受三邊關(guān)系;進(jìn)一步在網(wǎng)格中驗證其他直角三角形中相同結(jié)論的存在,實(shí)現(xiàn)特殊到一般的探索.

(3)運(yùn)用類比思想,技能遷移,驗證銳角三角形和鈍角三角形中是否有同樣的三邊關(guān)系.這既是對前面勾股定理探索過程的再一次經(jīng)歷,而且是主動經(jīng)歷,也引出大膽猜想(勾股定理的逆定理),為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊.

(4)關(guān)于勾股定理的課外知識介紹,在傳播數(shù)學(xué)文化的同時,激發(fā)學(xué)生的興趣.

(5)利用勾股定理完成練習(xí).

(6)師生小結(jié),為下一課時作鋪墊.

3 課堂實(shí)錄及分析

3.1 導(dǎo)入直角三角形,建立對應(yīng)關(guān)系

師:特殊的圖形其邊角具備特殊的內(nèi)部關(guān)系,例如,直角三角形,我們已經(jīng)學(xué)過它的內(nèi)角之間的關(guān)系是什么呢?

生1:兩銳角互余.

師:除了角與角之間的關(guān)系,我們還能研究直角三角形各元素的什么關(guān)系呢?

生2:邊邊關(guān)系,邊角關(guān)系.

師:很好.關(guān)于直角三角形的邊角關(guān)系我們留待初三去探討.這一章,我們將探索直角三角形邊與邊的內(nèi)部關(guān)系.你已經(jīng)知道直角三角形的邊有什么樣的關(guān)系呢?

生3:兩邊之和大于第三邊.

師:很好.可是這一事實(shí)對所有三角形都適用,作為特殊的直角三角形,是否有更特殊的邊邊關(guān)系呢?

3.2 利用面積割補(bǔ)法實(shí)現(xiàn)面積與邊邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化

在下列網(wǎng)格中,將小方格邊長看作1,完成下列問題:

備用圖

圖1中,四邊形ABMN是什么形狀?你會計算它的面積嗎?有哪些方法?

圖1

生1和生2上黑板講解“割”與“補(bǔ)”兩種方法.

師:剛剛兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)不能直接利用邊長的平方求正方形面積后,采用了割補(bǔ)法將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這一轉(zhuǎn)化思想在后續(xù)第五章“函數(shù)”中也會經(jīng)常用到.下面請大家利用割補(bǔ)法,完成探索部分的第1,2題.

3.3 運(yùn)用類比思想,遷移技能

師:利用上面預(yù)習(xí)中的方法,計算圖2中正方形ABMN、正方形BCDE、正方形ACFG的面積,其面積依次是______,猜想它們之間有何關(guān)系?

圖2

生1:分別算出三個正方形的面積,得出9+16=25.

教師板書S1+S2=S3后,追問:線段AB,BC,AC之間有何關(guān)系?

生2繼續(xù)轉(zhuǎn)化,直至寫出BC2+AC2=BA2(板書).

師:大家通過數(shù)量關(guān)系,利用面積實(shí)現(xiàn)了邊邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化.這很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想(板書).那么,大家能否用語言組織一下BC2+AC2=BA2這一結(jié)論呢?

生3:直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.是否所有的直角三角形都具備這樣的三邊關(guān)系呢?如何驗證?

師:對于所有直角三角形,都能在網(wǎng)格中利用面積法來驗證“直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一結(jié)論.

3.4 介紹勾股定理,傳播數(shù)學(xué)文化

師:其實(shí),我們不僅可以在網(wǎng)格中探索這一結(jié)論,還可以利用現(xiàn)代化實(shí)驗來驗證.下面請同學(xué)們觀看視頻實(shí)驗(以直角三角形三邊為邊往外作正多邊形探索面積的變化),進(jìn)一步提出猜想——以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正多邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積.

3.5 利用勾股定理完成練習(xí)

黑板上出示問題,用勾股定理小試牛刀.學(xué)生通過小組合作來回答:

在△ABC中,已知∠C=90°及兩邊的長如下,求第三邊:①a=3,b=4;②a=3,c=5;③b=40,c=41.

(學(xué)生合作探究過程略.)

如圖3,銳角三角形和鈍角三角形的三邊是否也具備這樣的關(guān)系呢?模仿前面的方法,思考并探索.如果不符合,三邊又有怎樣的關(guān)系?

圖3

師:剛剛我們發(fā)現(xiàn)并在網(wǎng)格中驗證了勾股定理的正確性,大家有沒有想過,勾股定理是否也適用于銳角三角形和鈍角三角形呢?(教師停留幾秒.)

生1:不一定,有可能……

師:怎么才能確定呢?

生2:畫一畫,驗一驗,像剛剛那樣畫圖驗證.

師:請大家在網(wǎng)格紙中加以驗證,并組內(nèi)討論.

學(xué)生嘗試畫圖并組內(nèi)討論(大部分同學(xué)還是可以獨(dú)立完成的).

師:結(jié)論是什么呢?

生4:銳角三角形中是BC2+AC2>BA2,鈍角三角形中是BC2+AC2

師:同學(xué)們很厲害!看來勾股定理確實(shí)只適用于直角三角形.我們又可以做怎樣的大膽猜想呢?

生5:反過來,如果三邊滿足BC2+AC2=BA2,可以得到△ABC是直角三角形.

師:確實(shí),這就是勾股定理的逆定理(板書),這也是第三課時我們將要去深入研究的.

師:同學(xué)們通過在網(wǎng)格中構(gòu)建圖形,或者用實(shí)驗去演示,發(fā)現(xiàn)了勾股定理.其實(shí),早在五百多年前,就有古人研究并發(fā)現(xiàn)了勾股定理.

老師介紹畢達(dá)哥拉斯定理和我國的勾股弦以及“勾3股4弦5”的歷史.(展示畢達(dá)哥拉斯郵票圖片,板書.)

師:下面我們就用這個發(fā)現(xiàn),去解決問題吧.

利用勾股定理,完成書本第79頁練習(xí)1,2.

3.6 師生小結(jié)

師:通過上面的練習(xí),我們再次發(fā)現(xiàn),有了勾股定理,就能實(shí)現(xiàn)直角三角形圖形內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系,解決三角形邊邊關(guān)系,這正是勾股定理的重要應(yīng)用(板書),這也為以后用代數(shù)方法解決幾何問題提供了有效的工具.

4 對單元整體設(shè)計的認(rèn)識

單元整體教學(xué)是一種教學(xué)理念,目的是讓教師從高處俯視教學(xué)的每一個觸角,將它們用一條無形的線串聯(lián)起來,形成一個有機(jī)整體.在實(shí)施“單元整體”教學(xué)的過程中,教師要注重對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,探索、鋪設(shè)適合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,尤其要重視數(shù)學(xué)結(jié)果的探索和形成過程.漫漫教學(xué)路,教師唯有不斷探索創(chuàng)新,才能與時俱進(jìn),與學(xué)生共成長.只有教師有整體的的眼光、更大的視野,才能引領(lǐng)學(xué)生一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界,打開數(shù)學(xué)之門.Z