馮文波

摘要：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其運用是各地中考的高頻考點，也是難度較大的壓軸題型之一.通過對一道中考真題的解析探究、變式演練和總結(jié)反思，探索了這一題型的解題思路與方法.

關(guān)鍵詞：真題再現(xiàn)；解法探究；思路分析；變式演練；結(jié)合圖象

“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是人教版八年級（下）第十九章的內(nèi)容.本章既是函數(shù)部分的起始章，又是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的基礎(chǔ)，所以十分重要.近年來，一次函數(shù)成為各地中考的必考內(nèi)容之一，題型多樣，其中難度較大的是解答題中對一次函數(shù)的性質(zhì)、圖象與實際運用的考查.

1 真題再現(xiàn)

（2022年河北省中考數(shù)學(xué)第25題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知線段AB的端點為A（-8，19），B（6，5）.

（1）求AB所在直線的解析式.

（2）某同學(xué)設(shè)計了一個動畫：在函數(shù)y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，得到射線CD，其中C（c，0）.當(dāng)c=2時，會從C處彈出一個光點P，并沿CD飛行；當(dāng)c≠2時，只發(fā)出射線而無光點彈出.

①若有光點P彈出，試推算m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)）時，線段AB就會發(fā)光，求此時整數(shù)m的個數(shù).

2 解法探究

上述真題思路分析及解析如下.

思路分析：第（1）問運用待定系數(shù)法.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），把點A，B坐標代入求出k，b的值即可.第（2）問的第①小問，由題意知點C（2，0），把點C（2，0）代入y=mx+n，即可求解；對于第②問，由①得n=-2m，則y=（x-2）m，根據(jù)題意找到線段AB上的整點，再逐一代入，即可求解.

解析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

故AB所在直線的解析式為y=-x+11.

（2）①若有光點P彈出，則c=2，即點C（2，0）.

把點C（2，0）代入y=mx+n（m≠0，y≥0），

得2m+n=0.故有光點P彈出時，m，n滿足n=-2m.

②由①得n=-2m，代入y=mx+n，得y=（x-2）m.

由（1）知AB所在直線的解析式為y=-x+11，

所以，線段AB上的其他整點為（-7，18），（-6，17），（-5，16），（-4，15），（-3，14），（-2，13），（-1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）.

因為有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點，

所以直線CD過整數(shù)點.

當(dāng)擊中線段AB上的整點（-1，12）時，12=（-1-2）m，即m=-4；

當(dāng)擊中線段AB上的整點（1，10）時，10=（1-2）m，即m=-10；

當(dāng)擊中線段AB上的整點（2，9）時，9=（2-2）m，不存在；

當(dāng)擊中線段AB上的整點（3，8）時，8=（3-2）m，即m=8；

當(dāng)擊中線段AB上的整點（5，6）時，6=（5-2）m，即m=2；

綜上所述，滿足題意的整數(shù)m的個數(shù)為5.

總結(jié)反思：解答本題的關(guān)鍵是準確理解有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點，即直線CD過整數(shù)點.

3 變式演練

3.1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題

（1）求這兩個函數(shù)的表達式；

（2）試求上述兩個函數(shù)圖象的另一個交點B的坐標，并借助圖象求出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.

思路分析：（1）將點A的坐標分別代入兩個函數(shù)的表達式，即可求出b.

（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立，求方程組的解，再數(shù)形結(jié)合即可求解.

由一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過點A（1，2），

得2=1+b，

即b=1.

由（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1.

因為點B在第三象限，所以其坐標為（-2，-1）.

由圖象可知，當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時，x的取值范圍是x<-2，或0

總結(jié)反思：充分利用兩函數(shù)圖象的交點坐標是解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題的關(guān)鍵；在解答第（2）問時，要注意觀察圖象，同時不能忽視本問的解存在著兩種情況.

3.2 與一次函數(shù)的圖象有密切聯(lián)系的題型

例2 已知點A（6，0），點P（x，y）在第一象限，且x+y=8，設(shè)△OPA的面積為S.

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（2）求x的取值范圍；

（3）求S=12時，點P的坐標；

（4）畫出函數(shù)S的圖象.

思路分析：通過作垂線，即可求出S關(guān)于x的函數(shù)表達式；由點P在第一象限，可求出x的取值范圍；再由S=12，可確定點P的坐標；最后，根據(jù)兩個端點的坐標便可畫出函數(shù)的圖象.

（2）由x+y=8與點（x，y）在第一象限，可知x的取值范圍為0

（3）當(dāng)S=12時，x=4，y=4，所以點P的坐標為（4，4）.

（4）函數(shù)S的圖象為一條不包括兩端點的線段MN，其中端點分別為M（0，24），N（8，0），如圖3.

總結(jié)反思：解函數(shù)圖象信息題的關(guān)鍵在于看懂圖象和熟悉實際情境中的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來綜合分析、推理.

4 結(jié)語

一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的綜合類問題，具有“覆蓋知識面廣、涉及知識點多、思路開闊、解法靈活、便于設(shè)題”等特點，尤其適合對學(xué)生綜合能力的全面考查，近年來已成為各地中考的壓軸題型之一.因此，要想在數(shù)學(xué)中考中取得優(yōu)異成績，就需要研究壓軸題的類型與解題方法［1］，特別是在平時備考過程中，要多做中考真題，加強類題演練和變式演練，及時總結(jié)反思.“備”是為了“考”，有“備”才能無患.

參考文獻：

［1］肖學(xué)軍.例談中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略［J］.理科考試研究，2022（4）：7-10.