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        例談復(fù)習(xí)課中分類討論思想的有效滲透

        2023-12-20 18:38:12陶秋霞
        關(guān)鍵詞:銳角三角鈍角等腰三角

        陶秋霞

        1 在“點(diǎn)與圓”的位置關(guān)系中滲透分類討論思想

        例1 若圓O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P與圓O上的點(diǎn)的最大距離是m,最小距離是n(m>n),那么圓O的半徑是[CD#3].

        師:在同一平面內(nèi),點(diǎn)P與一個(gè)圓可能存在哪些位置關(guān)系?問(wèn)題中的點(diǎn)P與圓O可能存在哪些位置關(guān)系?為什么?

        生:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可能有三種——點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓外.因?yàn)轭}中并沒(méi)有指明點(diǎn)P在圓的哪個(gè)位置,只是點(diǎn)P與圓O同處一個(gè)平面,所以點(diǎn)P與圓O也可能存在點(diǎn)P在圓O內(nèi)、在圓O上、在圓O外三種位置關(guān)系.

        師:當(dāng)點(diǎn)P在圓O內(nèi)部時(shí),如何才能找到點(diǎn)P與圓O上的點(diǎn)的最大距離與最小距離呢?請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形.

        師:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上或圓O外部時(shí),如何才能找到點(diǎn)P與圓O上的點(diǎn)的最大距離與最小距離呢?請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形.

        2 在三角形與圓的位置關(guān)系中滲透分類討論思想

        例2 已知圓O的內(nèi)接三角形ABC中,AB=AC,圓心O到BC的距離為3 cm,圓O的半徑為7 cm,求腰長(zhǎng)AB.

        師:由已知條件“在△ABC中,AB=AC”,可知△ABC是等腰三角形.對(duì)于等腰三角形,可以分為哪幾個(gè)類型?

        生:對(duì)于腰與底邊不確定的等腰三角形,以三邊中的任意一邊作底邊,會(huì)出現(xiàn)三種情況.對(duì)于腰與底邊確定的等腰三角形,因?yàn)閮?nèi)角大小不確定,所以也可能存在三種情況,即等腰銳角三角形、等腰直角三角形、等腰鈍角三角形.

        師:此題中的等腰三角形ABC可能存在哪些情況呢?為什么?

        學(xué)生:此題中的等腰三角形ABC可能存在兩種情況,即等腰銳角三角形ABC和等腰鈍角三角形ABC.因?yàn)樗鼘儆谘c底邊確定,但內(nèi)角大小不確定的三角形.當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí),圓心在底邊上,即圓心到底邊BC的距離為0,而題中已知圓心O到BC的距離為3 cm,所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

        師:請(qǐng)同學(xué)們分別畫出等腰銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O和等腰鈍角三角形ABC內(nèi)接于圓O的圖形,并分別解答.

        生:如圖4所示,當(dāng)△ABC是等腰銳角三角形時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.因?yàn)锳B=AC,所以弧AB等于弧AC.由垂徑定理的推論,可知AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)

        生:如圖5所示,當(dāng)△ABC是等腰鈍角三角形時(shí),

        連接OA,OB,AO與BC交于點(diǎn)D.因?yàn)锳B=AC,所以弧AB等于弧AC.根據(jù)垂徑定理的推論,得AO⊥BC.由OD=3 cm,OA=7 cm,得AD=4 cm.在直角三角形OBD中,由勾股定理,得BD=

        2 在直線與圓的位置關(guān)系中滲透分類討論思想

        例2 如圖6所示,已知P是正比例函數(shù)y=2x圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),圓P的半徑為3,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).(1)當(dāng)圓P與直線x=2相切時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)O在⊙P上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

        師:認(rèn)真閱讀題目,找出其中的確定條件與不確定條件,并說(shuō)明理由.

        生:正比例函數(shù)y=2x的圖象是確定的,直線x=2是確定的,因?yàn)樗鼈兊南禂?shù)都是確定的.圓P的大小是確定的,因?yàn)樗陌霃綖?.圓P的位置是不確定的,因?yàn)閳A心P是直線y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),圓心可以在直線y=2x上自由運(yùn)動(dòng).

        師:直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種?有哪些判定方法?

        生:直線與圓的位置關(guān)系有三種,分別是直線與圓相離、相切、相交.判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法.第一種方法,根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷,當(dāng)直線與圓有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與圓分別相離、相切或相交.第二種方法,根據(jù)d與r的關(guān)系判定,當(dāng)d>r,d=r,d

        師:當(dāng)圓P在直線y=2x上從下向上運(yùn)動(dòng)時(shí),圓P與直線x=2依次會(huì)出現(xiàn)哪些位置關(guān)系?

        生:當(dāng)點(diǎn)P從下向上運(yùn)動(dòng)時(shí),圓P與直線x=2依次會(huì)出現(xiàn)相離、相切、相交,再相切、再相離的位置關(guān)系.

        師:也就是說(shuō),圓P與直線x=2有兩次相切的機(jī)會(huì),設(shè)直線y=2x與直線x=2相交于點(diǎn)A,則分別是圓P在點(diǎn)A下方時(shí)和圓P在點(diǎn)A上方時(shí).請(qǐng)同學(xué)們分別畫出這種相切時(shí)的圖形,并解答.

        生:如圖7所示,當(dāng)圓P在點(diǎn)A的下方與直線x=2相切時(shí),因?yàn)橹本€y=2x與直線x=2相交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),在直角三角形AOC中,tan∠AOC=2.因?yàn)閳AP與直線x=2相切,若PQ⊥AQ于點(diǎn)Q,所以O(shè)C∥PQ,可知∠AOC=∠APQ,則有tan∠AOC=tan∠APQ.因此在直角三角形APQ中,tan∠APQ=AQ∶PQ=2∶1.因?yàn)閳AP的半徑為3,即PQ=3,所以AQ=6,則CQ=2.因?yàn)辄c(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-2).

        生:如圖8所示,當(dāng)圓P在點(diǎn)A的上方與直線x=2相切時(shí),在三角形APQ與三角形AP′Q′中,PQ=P′Q′=3,∠AQP=∠AQ′P′=90°,且∠PAQ=∠P′AQ′,所以△APQ≌△AP′Q′(AAS),可得AP=AP′,也就是說(shuō)A是線段PP′的中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)P(-1,-2),點(diǎn)A(2,4),設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(a,b),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可解得a=5,b=10,所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(5,10).

        師:當(dāng)圓P沿著直線y=2x自下向上運(yùn)動(dòng)時(shí),原點(diǎn)O與圓P會(huì)出現(xiàn)哪些位置關(guān)系呢?

        生:當(dāng)圓P沿首直線y=2x自下向上運(yùn)動(dòng)時(shí),會(huì)依次出現(xiàn)點(diǎn)O在圓P外、在圓P上、在圓P內(nèi),再在圓P上、在圓P外幾種情形.

        師:也就是說(shuō)圓P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,會(huì)出現(xiàn)兩次點(diǎn)O在圓P上的情形,一種點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí),另一種是點(diǎn)P在點(diǎn)O的上方時(shí).請(qǐng)同學(xué)們分別畫出這兩種情形的圖形,并解答.

        生:如圖9所示,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí),過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為H,可得tan∠OPH=2,從而可求出cos∠OPH,

        進(jìn)而求出PH,OH,即得P點(diǎn)坐標(biāo);

        當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,可得點(diǎn)P′的坐標(biāo).

        在本課復(fù)習(xí)中,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)是明線,滲透分類討論思想是暗線,設(shè)置的問(wèn)題由易到難,層層深入,引導(dǎo)學(xué)生感悟條件不確定時(shí)分類的好處,積累運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

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