張 悅, 戴浩波

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 安徽 淮南 232001)

記P表示所有素數(shù)的集合, 字母p1,p2,p3是P中的元素.Z表示所有整數(shù)的集合.N表示所有正整數(shù)的集合, 對于任意n=N定義以下函數(shù):

對于i,j∈{0,1,2}, 考慮均值

本文主要討論了S1,2(x)的情況.

下面列舉一些本文涉及的經(jīng)典結(jié)論.

1993年,Huxley[1]證明了

Rieger[2]證明了

后來, Daniel[3]結(jié)合等差數(shù)列中素數(shù)分布的Barban-Davenport-Halberstam定理[4]改進Rieger[2]關(guān)于S1,1(x)的結(jié)論, 進一步得出漸進公式

(1)

此外, 直接應(yīng)用素數(shù)定理(文獻[5], 定理8.1), 可以得出

(2)

之后, Plaksin[7]推出

定理1 當(dāng)x→∞時, 有

S1,2(x)

1 基本引理

根據(jù)Brun篩法[15], 記

(3)

由定義知

1≤g(db)≤g(d)g(b),db≠0.

(4)

引理2.1 令x>0,s>0,k>0則有

引理2.2 令x>0,s>0,k>0 則有

證明 見Rieger (文獻[2], 引理2).

引理2.3 令x>0,s>0則有

證明見Rieger (文獻[2], 引理2).

引理2.4 令x>0,s>0, 則有

證明記

由式 (4) , 引理2.3以及Cauchy-Schwarz定理得

再次運用Cauchy-Schwarz定理得

Os(d4),

綜上所述,

Ud,x=Os(d).

引理得證.

引理2.5 令x>0,s>0則有

證明根據(jù)Rieger (文獻[2], 引理8)知, 當(dāng)d>0,s>0 時,有

記

由式 (4) , Rieger (文獻[2], 引理8)以及Cauchy-Schwarz定理得

再次運用Cauchy-Schwarz定理得

d2))=Os(d-4),

綜上所述,

引理得證.

2 定理1的證明

現(xiàn)在要找出S1,2(x)一個簡單的界限, 已知0≤r2(n)≤r1(n)≤r0(n),運用Cauchy-Schwarz定理并結(jié)合式 (1) 、 (2) 可以得出

(5)

由r1(n),r2(n)以及S1,2(x)的定義知S1,2(x)表示(a1,p1,p2,p3)的個數(shù), 其中

(6)

滿足式 (6) 的(a1,p1,p2,p3)可以分為兩類:一類為對角解, 即當(dāng){a1,p2}={p1,p3}時;另一類為非對角解, 即當(dāng){a1,p2}≠{p1,p3}時.

首先, 分離對角解跟非對角解, 則

其中:L(x)表示滿足式 (6) 的(a1,p1,p2,p3)非對角解的個數(shù).

下面證明,當(dāng)x→∞時

a1=tn1-dn2,p1=tn1+dn2,p2=tn2+dn1,p3=tn2-dn1.

|t|≠|(zhì)d|,tni±dnj∈P,i,j=1,2且j≠i.

0<|dn|≤x,0<|tn|≤x, |m|<|n|,|t|≠|(zhì)d|,n+dm,tm+dn∈P.

(7)

因此有

(8)

下面需要證明, 當(dāng)x→∞時有

M(x)=M′(x)+M″(x).

(9)

下面計算M(x).

根據(jù)Brun篩法[15]以及式 (3) 得

通過式 (4) 以及引理2.1得

由引理2.4以及引理2.5得

再由引理2.2得

(10)

根據(jù)Brun篩法[15]以及式 (3) 得

通過式 (4) 以及引理2.4得

由引理2.1得

再由引理2.2得

(11)

把式 (10) 和式 (11) 代入式 (9) 得

根據(jù)式 (8) 得

綜上所述,

S1,2(x)

定理1得證.