樊雕，姚建勇，鄧文翔

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094)

0 前言

液壓作動(dòng)器由于功重比大、抗負(fù)載剛性強(qiáng)、輸出力矩大等特點(diǎn)，在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，尤其是在液壓機(jī)器人領(lǐng)域取得了卓有成效的成果[1-2]。多自由度空間機(jī)械臂是一個(gè)多輸入多輸出、強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合的機(jī)電液復(fù)雜非線性系統(tǒng)，因此對(duì)液壓機(jī)械臂精確控制是極富挑戰(zhàn)的任務(wù)。為解決這些問題，多年來國內(nèi)外學(xué)者開展了很多研究，提出了多種算法，如滑?？刂芠3-5]、自適應(yīng)魯棒控制[6-9]、反步控制[10-12]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[13]、虛擬分解控制[14-16]等。其中，反步控制主要是將反步設(shè)計(jì)的思想融入到其他控制理論的控制器設(shè)計(jì)過程中[10-12]。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法本質(zhì)是非線性系統(tǒng)，可以實(shí)現(xiàn)任意非線性映射，作為一種萬能逼近算法，與其他非線性控制算法相結(jié)合，可以達(dá)到某些出人意料的控制效果[13]。一般常用的基于模型的非線性控制算法，如滑模控制、自適應(yīng)魯棒控制等，其控制思路為采用拉格朗日方程建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程模型，然后基于模型進(jìn)行非線性控制算法設(shè)計(jì)[1，4，13]。由于機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算復(fù)雜度與運(yùn)動(dòng)自由度的四次方成正比[14]，當(dāng)機(jī)械臂自由度過多時(shí)，無論是機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型和控制器的推導(dǎo)，還是最后的仿真或?qū)嶒?yàn)，都將變得極富挑戰(zhàn)。作為對(duì)比，虛擬分解控制VDC(Virtual Decomposition Control)是面向高自由度的復(fù)雜機(jī)器人系統(tǒng)建模和控制方法[14]，它通過設(shè)置虛擬分割點(diǎn)VCP(Virtual Cutting Point)的方式將高自由度機(jī)械臂分解為若干子系統(tǒng)，基于子系統(tǒng)展開控制設(shè)計(jì)。同時(shí)定義虛擬功率流VPF(Virtual Power Flows)——速度誤差和力誤差的乘積，來處理各子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)之間的相互作用，實(shí)現(xiàn)解耦、降低建模復(fù)雜度。MATILLA教授團(tuán)隊(duì)針對(duì)某兩自由度液壓機(jī)械臂負(fù)載4 750 N情況下，基于虛擬控制的思想進(jìn)行了一系列研究，包括位置運(yùn)動(dòng)控制[15]、節(jié)能控制[16]等。陳光榮等[17]利用虛擬分解對(duì)液壓足式機(jī)器人單腿穩(wěn)定阻抗控制進(jìn)行了研究等。

然而基于三維模型的機(jī)械臂虛擬分解未必百分百準(zhǔn)確，具有一定的參數(shù)不確定性，與實(shí)際真實(shí)物理系統(tǒng)存在誤差。正如文獻(xiàn)[15]研究的液壓機(jī)械臂未融入?yún)?shù)自適應(yīng)律，控制效果尚未達(dá)到最佳。因此，針對(duì)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器時(shí)虛擬分解的不準(zhǔn)確性帶來的時(shí)變動(dòng)態(tài)使得液壓機(jī)械臂漸近穩(wěn)定跟蹤性能難以實(shí)現(xiàn)。XIAN等[18]針對(duì)光滑干擾的魯棒控制問題，提出一種誤差符號(hào)積分魯棒(Robust Integral of the Sign of the Error，RISE)控制器，可以處理足夠平滑的有界干擾，并實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤性能，同時(shí)由于該方法設(shè)計(jì)的控制律中包含誤差符號(hào)的積分項(xiàng)，所以控制器是連續(xù)的，避免了抖振的產(chǎn)生。YAO等[19-20]通過反演設(shè)計(jì)的方法將RISE設(shè)計(jì)和自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)相結(jié)合，用于處理液壓伺服系統(tǒng)中的建模不確定性和參數(shù)不確定性，保證了漸近跟蹤性能。綜上，若結(jié)合虛擬分解的強(qiáng)大建模能力和RISE控制器優(yōu)越的魯棒性用于液壓機(jī)械臂的控制當(dāng)中，似乎是一種較好的解決方案。

1 問題描述與數(shù)學(xué)建模

某液壓機(jī)械手腕腕部結(jié)構(gòu)如圖1所示，每一個(gè)關(guān)節(jié)由伺服閥控制液壓擺動(dòng)馬達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)三自由度空間運(yùn)動(dòng)。

圖1 機(jī)械手腕結(jié)構(gòu)

1.1 一些定義

考慮固聯(lián)于剛體上的三維正交坐標(biāo)系{A}，建立Av∈R3和Aω∈R3分別表示三維線速度和角速度矢量，二者在坐標(biāo)系{A}中統(tǒng)一表示為六維廣義速度矢量：

(1)

在坐標(biāo)系{A}中建立Af∈R3和Am∈R3分別表示三維力和力矩矢量，同式(1)，此力和力矩矢量可以表示為

(2)

(3)

AF=AUBBF

(4)

其中：AUB為廣義力矢量從坐標(biāo)系{B}到坐標(biāo)系{A}的映射矩陣，具體定義參見文獻(xiàn)[14]。

定義1：在坐標(biāo)系{A}中，將廣義速度矢量誤差和廣義力矢量誤差的內(nèi)積定義為虛擬功率流，即

PA=(AVr-AV)T(AFr-AF)

(5)

其中：AVr∈R6和AFr∈R6分別表示AV∈R6和AF∈R6所需的廣義速度矢量和廣義力矢量。

若坐標(biāo)系{A}固定在某剛體上，則此剛體自由運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程在{A}中可表示為

(6)

其中：MA∈R6×6表示質(zhì)量矩陣；CA(Aω)∈R6×6表示科氏力和向心力矩陣項(xiàng)；GA∈R6代表重力項(xiàng)。若AVr∈R6代表AV∈R6所需的廣義速度矢量，式(6)參數(shù)化表示為

(7)

其中：回歸矩陣YA∈R6×13和參數(shù)矩陣θA∈R13的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[14]。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)械手腕坐標(biāo)定義及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖2所示。

圖2 機(jī)械手腕坐標(biāo)定義

定義一組向量：

(8)

注意到底座速度為0，即B0V=[0 0 0 0 0

0]T∈R6，則由圖2可得各物體速度如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

1.3 動(dòng)力學(xué)

若機(jī)械手末端與環(huán)境無接觸，即GF=0，則機(jī)械手各物體的動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

O3F*=O3UB5B5F

(18)

B5F=B5UO3O3F*

(19)

B4F=B4UB5B5F

(20)

(21)

O2F*=O2UB3B3F-O2UB4B4F

(22)

由式(22)得：

B3F=B3UO2O2F*+B3UB4B4F

(23)

B2F=B2UB3B3F

(24)

(25)

O1F*=O1UB1B1F-O1UB2B2F

(26)

由式(26)得：

B1F=B1UO1O1F*+B1UB2B2F

(27)

3個(gè)關(guān)節(jié)馬達(dá)的輸出力矩分別為

(28)

(29)

(30)

2 虛擬分解控制

跟蹤的是4個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡，則四自由度機(jī)械臂各關(guān)節(jié)需求速度定義為

(31)

2.1 需求速度

(32)

?

(33)

2.2 需求力/力矩

當(dāng)獲得了整個(gè)系統(tǒng)各連桿、物體或者關(guān)節(jié)處等的需求速度后，定義一個(gè)新的向量——需求節(jié)點(diǎn)力/力矩向量：

(34)

(35)

?

(36)

2.3 虛擬分解控制方程

閥控液壓馬達(dá)系統(tǒng)如圖3所示，液壓馬達(dá)因兩腔壓力產(chǎn)生的作用力為

圖3 閥控液壓馬達(dá)

τip=τi+τif

(37)

式中：τif為摩擦力，進(jìn)一步有τipr=τir+τif。

液壓馬達(dá)(見圖3)兩腔壓力動(dòng)態(tài)方程為

(38)

(39)

式中：Dm代表液壓馬達(dá)排量；θ為馬達(dá)轉(zhuǎn)角；l0為液壓馬達(dá)最大行程；Ct為液壓馬達(dá)內(nèi)泄漏系數(shù)；βe為液壓油彈性模量；Q1和Q2分別為由伺服閥進(jìn)入、流出液壓馬達(dá)高低壓腔的流量。忽略伺服閥閥芯動(dòng)態(tài)，則閥芯的控制輸入u和閥芯位移xv成比例關(guān)系，即xv=kvu，則Q1和Q2與伺服閥閥芯位移xv的關(guān)系為

(40)

液壓馬達(dá)的輸出力矩為

τp=Dm(p1-p2)=DmpL

(41)

對(duì)式(41)求導(dǎo)有：

(42)

式中：

(43)

液壓系統(tǒng)工作在一般工況下，即液壓馬達(dá)高低壓兩腔壓力滿足0

(44)

式(44)意味著對(duì)于一個(gè)給定的uf可以得到一個(gè)唯一確定的控制電壓u：

(45)

進(jìn)一步地，設(shè)計(jì)uτ為uτd：

(46)

式中：kτp和kτ為正的反饋增益，則式(45)轉(zhuǎn)化為

(47)

2.4 虛擬分解控制穩(wěn)定性分析

定義物體O3的非負(fù)伴隨函數(shù)：

vO3=1/2(O3Vr-O3V)TMO3(O3Vr-O3V)

(48)

對(duì)式(48)求導(dǎo)有：

(49)

證明：式(35)減去式(17)得：

(50)

對(duì)式(48)求導(dǎo)并考慮式(50)有：

≤-(O3Vr-O3V)TKO3(O3Vr-O3V)+(O3Vr-O3V)T·

=-(O3Vr-O3V)TKO3(O3Vr-O3V)+(O3Vr-O3V)T·

O3UB5(B5Fr-B5F)

=-(O3Vr-O3V)TKO3(O3Vr-O3V)+(B5Vr-B5V)T·

(B5Fr-B5F)

(51)

同理，定義物體O2的非負(fù)伴隨函數(shù)：

vO2=1/2(O2Vr-O2V)TMO2(O2Vr-O2V)

(52)

對(duì)式(52)求導(dǎo)有：

(53)

定義物體O1的非負(fù)伴隨函數(shù)：

vO1=1/2(O1Vr-O1V)TMO1(O1Vr-O1V)

(54)

對(duì)式(54)求導(dǎo)有：

(55)

液壓馬達(dá)的虛擬穩(wěn)定性分析：

定義液壓馬達(dá)1的非負(fù)伴隨函數(shù)為

(56)

式中：τ1pr為τ1p的需求力。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，式(56)的微分滿足：

(57)

再定義：

v=vO1+vc/k1τ

(58)

對(duì)式(58)求導(dǎo)有：

pB2-kτp(τ1pr-τ1p)2

(59)

則根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的Definition 2.17，物體O1和液壓馬達(dá)1組成的子系統(tǒng)滿足L2和L∞虛擬穩(wěn)定性。同理，物體O2與液壓馬達(dá)2組成的子系統(tǒng)和物體O3與液壓馬達(dá)3組成的子系統(tǒng)同樣滿足虛擬穩(wěn)定性。進(jìn)一步，根據(jù)文獻(xiàn)[14]中Theorem 2.1，整個(gè)機(jī)械手系統(tǒng)滿足虛擬穩(wěn)定性。

3 虛擬分解-符號(hào)積分魯棒控制

機(jī)械手腕各子系統(tǒng)物體動(dòng)態(tài)方程可寫為

(60)

其中：piL=pi1-pi2為負(fù)載壓力差；Bi為黏性摩擦系數(shù)；Ji為每個(gè)物體繞各自轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因機(jī)械手腕為多自由度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，各物體之間存在動(dòng)態(tài)耦合，當(dāng)考慮單個(gè)物體時(shí)，以fi(t)表征各個(gè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向的外部干擾力，其余方向的作用力通過結(jié)構(gòu)去承受，根據(jù)1.3節(jié)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向上的可建模外部干擾力可表示為

(61)

定義

(62)

則伺服閥流量方程(40)可改寫為

(63)

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為

(64)

由式(38)(39)(41)(60)(64)可得系統(tǒng)非線性模型的狀態(tài)空間形式為

(65)

其中：i=1，2，3，bi=Bi/Ji；di(t，x1，x2)=fi(t，x1，x2)/Ji；Δi為未建模干擾；Vi為馬達(dá)腔體容積。為簡化設(shè)計(jì)，省略下標(biāo)i，非線性方程(65)寫成歸一化形式為

(66)

在設(shè)計(jì)魯棒控制器前，先做如下假設(shè)：

假設(shè)1 系統(tǒng)的外部未建模干擾三階連續(xù)可微且均有界，即

(67)

并假設(shè)

(68)

式中：ξN2、ξN3為已知界。

假設(shè)2 系統(tǒng)的參考指令信號(hào)xd(t)是三階連續(xù)的，且系統(tǒng)期望位置指令、速度指令、加速度指令以及加加速度指令都是有界的。

3.1 虛擬分解-符號(hào)積分魯棒控制器設(shè)計(jì)

定義如下誤差變量：

(69)

式中：k1、k2和k3均為正的反饋增益。由式(69)可知：

(70)

(71)

在誤差變量的定義中，各個(gè)誤差信號(hào)之間的傳遞均經(jīng)過穩(wěn)定的可設(shè)計(jì)的濾波器。因此，若可以設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒控制器，使得高階的誤差信號(hào)，如r趨近于0，則系統(tǒng)實(shí)際的跟蹤誤差e3、e2和e1也趨于0。根據(jù)式(71)，可設(shè)計(jì)魯棒控制器為

(72)

式中：kr>0為控制器增益；κ>0為魯棒增益。由式(72)可知，控制器中除了含有系統(tǒng)的模型補(bǔ)償項(xiàng)，還含有一個(gè)與誤差信號(hào)e3的符號(hào)積分有關(guān)的魯棒項(xiàng)μ，即RISE魯棒項(xiàng)。將式(72)代入式(71)得：

(73)

從式(73)可以看出，在控制器中引入RISE魯棒項(xiàng)的目的是鎮(zhèn)定子系統(tǒng)的未建模外干擾。對(duì)式(73)微分得：

(74)

(75)

3.2 虛擬分解-符號(hào)積分魯棒控制器穩(wěn)定性分析

為便于分析控制器[式(72)]的性能，在介紹其性能定理前，先給出如下引理：

引理1 定義變量L(t)及輔助函數(shù)P(t)為

L(t)=r[N-κsign(e3)]

(76)

(77)

如果魯棒增益κ滿足如下不等式，即

(78)

則輔助函數(shù)P(t)恒為正值。證明：參見文獻(xiàn)[19-20]。

由引理1可知，輔助函數(shù)P(t)的微分為

(79)

基于引理1，有如下性能定理。

定理1 對(duì)于非線性系統(tǒng)(65)，若控制器(72)的控制增益κ滿足不等式(78)，且其反饋增益足夠大使得定義的矩陣Λ為正定矩陣：

(80)

則閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號(hào)均有界，且魯棒控制器(72)可獲得漸近跟蹤性能，即當(dāng)t→∞時(shí)，e→0，其中e定義為e=[e1，e2，e3，r]T。

證明：定義如下李雅普諾夫函數(shù)

(81)

其時(shí)間微分為

(82)

并由誤差動(dòng)態(tài)方程(69)(74)(79)及矩陣Λ的正定性，可推導(dǎo)出：

(83)

4 仿真驗(yàn)證

采用數(shù)值仿真方式驗(yàn)證文中提出的基于虛擬分解的符號(hào)積分魯棒控制器的有效性和優(yōu)越性。3個(gè)關(guān)節(jié)的期望跟蹤軌跡曲線設(shè)置為

(84)

此外，3個(gè)關(guān)節(jié)初始角度為1、0、1 rad。系統(tǒng)主要物理參數(shù)如表1所示。

表1 主要物理參數(shù)

為充分驗(yàn)證基于虛擬分解的符號(hào)積分魯棒控制在機(jī)械手腕上應(yīng)用的優(yōu)越性，仿真對(duì)比驗(yàn)證如下4種控制器：

(1)PI：工業(yè)上廣泛應(yīng)用的比例-積分控制器。

(2)VFPI：同樣在工業(yè)上廣泛運(yùn)用的速度前饋比例-積分控制器，VFPI控制器可表示為

(85)

(3)VDC：即文中研究的虛擬分解控制方法。

(4)VD-RISE：即文中提出的基于虛擬分解的符號(hào)積分魯棒控制方法。

各關(guān)節(jié)控制參數(shù)選取見表2。

表2 關(guān)節(jié)控制參數(shù)

采用以下4個(gè)性能指標(biāo)來評(píng)估所對(duì)比的3種控制器的性能，即最大跟蹤誤差Me、平均跟蹤誤差μ、跟蹤誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ和最大誤差速度比ρ，其定義分別為

(86)

(87)

(88)

(89)

關(guān)節(jié)位置軌跡跟蹤效果如圖4—9所示，穩(wěn)態(tài)跟蹤性能指標(biāo)在表3—5中給出。如圖4、6、8所示：在VDC和VD-RISE控制器的作用下，關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度可以很好地跟蹤期望的位置指令。表3—5中的性能指標(biāo)對(duì)比及圖5、7、9中的跟蹤誤差對(duì)比揭示了所提出的VD-RISE控制器在評(píng)價(jià)指標(biāo)上優(yōu)于其他3種控制器。具體來分析，PI控制器的控制精度一般，效果最差。而VFPI在采用相同kp和ki反饋增益的情況下，施加一定的速度前饋補(bǔ)償使得跟蹤性能比PI控制器要好。在VDC控制中，融合了液壓馬達(dá)的需求力和實(shí)際測(cè)量到的力作為力反饋，3個(gè)液壓馬達(dá)的需求力和實(shí)際出力分別如圖10—12所示?？梢钥闯?，液壓馬達(dá)的需求力矩和實(shí)際作用力矩二者大致接近，體現(xiàn)了虛擬分解較好的合理性和有效性，但是仍然具有一定的誤差，所以力反饋增益kf在控制輸入中將取得較小，如表2所示。同時(shí)也反映出基于機(jī)械臂3D模型的虛擬分解存在一定的參數(shù)不確定性。盡管如此，VDC控制器較PI和VFPI也體現(xiàn)出了更為出色的控制性能，相信通過文獻(xiàn)[14]中提到的參數(shù)自適應(yīng)算法可進(jìn)一步提高控制性能。

表3 關(guān)節(jié)1最后兩周期跟蹤性能

表4 關(guān)節(jié)2最后兩周期跟蹤性能

表5 關(guān)節(jié)3最后兩周期跟蹤性能

圖4 關(guān)節(jié)1軌跡跟蹤

圖7 關(guān)節(jié)2軌跡跟蹤誤差

圖10 關(guān)節(jié)1需求力矩與實(shí)際作用力矩

圖11 關(guān)節(jié)2需求力矩與實(shí)際作用力矩

圖12 關(guān)節(jié)3需求力矩與實(shí)際作用力矩

圖13 干擾力矩

圖14 伺服閥輸入電壓

5 結(jié)論

文中通過結(jié)合虛擬分解和積分魯棒反饋，提出了基于虛擬分解的誤差符號(hào)積分魯棒控制(VD-RISE)方法用于液壓機(jī)械手系統(tǒng)的高精度跟蹤控制。所設(shè)計(jì)的基于虛擬分解的積分魯棒控制器具有優(yōu)異的魯棒能力，可以使液壓機(jī)械手電液伺服系統(tǒng)獲得漸近跟蹤性能。通過對(duì)比仿真，驗(yàn)證了所提出的控制器的有效性，VD-RISE控制在最大誤差Me、平均誤差μ和誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ方面的控制性能優(yōu)于PI、VFPI和VDC。此外VD-RISE方法的最大誤差速度比ρ較其他3種控制方法也顯著提高。綜上，本文作者在已有方法基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究高精度跟蹤控制方法，取得了較好結(jié)果，對(duì)多自由度液壓機(jī)械臂跟蹤控制方面研究有一定的推動(dòng)指導(dǎo)作用。