樊雕，姚建勇，鄧文翔

(南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094)

0 前言

液壓作動器由于功重比大、抗負載剛性強、輸出力矩大等特點，在工業(yè)上應用廣泛，尤其是在液壓機器人領域取得了卓有成效的成果[1-2]。多自由度空間機械臂是一個多輸入多輸出、強非線性、強耦合的機電液復雜非線性系統(tǒng)，因此對液壓機械臂精確控制是極富挑戰(zhàn)的任務。為解決這些問題，多年來國內(nèi)外學者開展了很多研究，提出了多種算法，如滑模控制[3-5]、自適應魯棒控制[6-9]、反步控制[10-12]、神經(jīng)網(wǎng)絡控制[13]、虛擬分解控制[14-16]等。其中，反步控制主要是將反步設計的思想融入到其他控制理論的控制器設計過程中[10-12]。而神經(jīng)網(wǎng)絡算法本質(zhì)是非線性系統(tǒng)，可以實現(xiàn)任意非線性映射，作為一種萬能逼近算法，與其他非線性控制算法相結合，可以達到某些出人意料的控制效果[13]。一般常用的基于模型的非線性控制算法，如滑?？刂?、自適應魯棒控制等，其控制思路為采用拉格朗日方程建立機器人的動力學方程模型，然后基于模型進行非線性控制算法設計[1，4，13]。由于機械臂動力學模型的計算復雜度與運動自由度的四次方成正比[14]，當機械臂自由度過多時，無論是機械臂動力學模型和控制器的推導，還是最后的仿真或?qū)嶒?，都將變得極富挑戰(zhàn)。作為對比，虛擬分解控制VDC(Virtual Decomposition Control)是面向高自由度的復雜機器人系統(tǒng)建模和控制方法[14]，它通過設置虛擬分割點VCP(Virtual Cutting Point)的方式將高自由度機械臂分解為若干子系統(tǒng)，基于子系統(tǒng)展開控制設計。同時定義虛擬功率流VPF(Virtual Power Flows)——速度誤差和力誤差的乘積，來處理各子系統(tǒng)動力學之間的相互作用，實現(xiàn)解耦、降低建模復雜度。MATILLA教授團隊針對某兩自由度液壓機械臂負載4 750 N情況下，基于虛擬控制的思想進行了一系列研究，包括位置運動控制[15]、節(jié)能控制[16]等。陳光榮等[17]利用虛擬分解對液壓足式機器人單腿穩(wěn)定阻抗控制進行了研究等。

然而基于三維模型的機械臂虛擬分解未必百分百準確，具有一定的參數(shù)不確定性，與實際真實物理系統(tǒng)存在誤差。正如文獻[15]研究的液壓機械臂未融入?yún)?shù)自適應律，控制效果尚未達到最佳。因此，針對子系統(tǒng)設計控制器時虛擬分解的不準確性帶來的時變動態(tài)使得液壓機械臂漸近穩(wěn)定跟蹤性能難以實現(xiàn)。XIAN等[18]針對光滑干擾的魯棒控制問題，提出一種誤差符號積分魯棒(Robust Integral of the Sign of the Error，RISE)控制器，可以處理足夠平滑的有界干擾，并實現(xiàn)漸近跟蹤性能，同時由于該方法設計的控制律中包含誤差符號的積分項，所以控制器是連續(xù)的，避免了抖振的產(chǎn)生。YAO等[19-20]通過反演設計的方法將RISE設計和自適應控制器設計相結合，用于處理液壓伺服系統(tǒng)中的建模不確定性和參數(shù)不確定性，保證了漸近跟蹤性能。綜上，若結合虛擬分解的強大建模能力和RISE控制器優(yōu)越的魯棒性用于液壓機械臂的控制當中，似乎是一種較好的解決方案。

1 問題描述與數(shù)學建模

某液壓機械手腕腕部結構如圖1所示，每一個關節(jié)由伺服閥控制液壓擺動馬達轉動可實現(xiàn)三自由度空間運動。

圖1 機械手腕結構

1.1 一些定義

考慮固聯(lián)于剛體上的三維正交坐標系{A}，建立Av∈R3和Aω∈R3分別表示三維線速度和角速度矢量，二者在坐標系{A}中統(tǒng)一表示為六維廣義速度矢量：

(1)

在坐標系{A}中建立Af∈R3和Am∈R3分別表示三維力和力矩矢量，同式(1)，此力和力矩矢量可以表示為

(2)

(3)

AF=AUBBF

(4)

其中：AUB為廣義力矢量從坐標系{B}到坐標系{A}的映射矩陣，具體定義參見文獻[14]。

定義1：在坐標系{A}中，將廣義速度矢量誤差和廣義力矢量誤差的內(nèi)積定義為虛擬功率流，即

PA=(AVr-AV)T(AFr-AF)

(5)

其中：AVr∈R6和AFr∈R6分別表示AV∈R6和AF∈R6所需的廣義速度矢量和廣義力矢量。

若坐標系{A}固定在某剛體上，則此剛體自由運動的動力學方程在{A}中可表示為

(6)

其中：MA∈R6×6表示質(zhì)量矩陣；CA(Aω)∈R6×6表示科氏力和向心力矩陣項；GA∈R6代表重力項。若AVr∈R6代表AV∈R6所需的廣義速度矢量，式(6)參數(shù)化表示為

(7)

其中：回歸矩陣YA∈R6×13和參數(shù)矩陣θA∈R13的具體表達式見文獻[14]。

1.2 運動學

機械手腕坐標定義及關節(jié)轉動方向如圖2所示。

圖2 機械手腕坐標定義

定義一組向量：

(8)

注意到底座速度為0，即B0V=[0 0 0 0 0

0]T∈R6，則由圖2可得各物體速度如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

1.3 動力學

若機械手末端與環(huán)境無接觸，即GF=0，則機械手各物體的動力學方程為

(17)

O3F*=O3UB5B5F

(18)

B5F=B5UO3O3F*

(19)

B4F=B4UB5B5F

(20)

(21)

O2F*=O2UB3B3F-O2UB4B4F

(22)

由式(22)得：

B3F=B3UO2O2F*+B3UB4B4F

(23)

B2F=B2UB3B3F

(24)

(25)

O1F*=O1UB1B1F-O1UB2B2F

(26)

由式(26)得：

B1F=B1UO1O1F*+B1UB2B2F

(27)

3個關節(jié)馬達的輸出力矩分別為

(28)

(29)

(30)

2 虛擬分解控制

跟蹤的是4個關節(jié)運動軌跡，則四自由度機械臂各關節(jié)需求速度定義為

(31)

2.1 需求速度

(32)

?

(33)

2.2 需求力/力矩

當獲得了整個系統(tǒng)各連桿、物體或者關節(jié)處等的需求速度后，定義一個新的向量——需求節(jié)點力/力矩向量：

(34)

(35)

?

(36)

2.3 虛擬分解控制方程

閥控液壓馬達系統(tǒng)如圖3所示，液壓馬達因兩腔壓力產(chǎn)生的作用力為

圖3 閥控液壓馬達

τip=τi+τif

(37)

式中：τif為摩擦力，進一步有τipr=τir+τif。

液壓馬達(見圖3)兩腔壓力動態(tài)方程為

(38)

(39)

式中：Dm代表液壓馬達排量；θ為馬達轉角；l0為液壓馬達最大行程；Ct為液壓馬達內(nèi)泄漏系數(shù)；βe為液壓油彈性模量；Q1和Q2分別為由伺服閥進入、流出液壓馬達高低壓腔的流量。忽略伺服閥閥芯動態(tài)，則閥芯的控制輸入u和閥芯位移xv成比例關系，即xv=kvu，則Q1和Q2與伺服閥閥芯位移xv的關系為

(40)

液壓馬達的輸出力矩為

τp=Dm(p1-p2)=DmpL

(41)

對式(41)求導有：

(42)

式中：

(43)

液壓系統(tǒng)工作在一般工況下，即液壓馬達高低壓兩腔壓力滿足0

(44)

式(44)意味著對于一個給定的uf可以得到一個唯一確定的控制電壓u：

(45)

進一步地，設計uτ為uτd：

(46)

式中：kτp和kτ為正的反饋增益，則式(45)轉化為

(47)

2.4 虛擬分解控制穩(wěn)定性分析

定義物體O3的非負伴隨函數(shù)：

vO3=1/2(O3Vr-O3V)TMO3(O3Vr-O3V)

(48)

對式(48)求導有：

(49)

證明：式(35)減去式(17)得：

(50)

對式(48)求導并考慮式(50)有：

≤-(O3Vr-O3V)TKO3(O3Vr-O3V)+(O3Vr-O3V)T·

=-(O3Vr-O3V)TKO3(O3Vr-O3V)+(O3Vr-O3V)T·

O3UB5(B5Fr-B5F)

=-(O3Vr-O3V)TKO3(O3Vr-O3V)+(B5Vr-B5V)T·

(B5Fr-B5F)

(51)

同理，定義物體O2的非負伴隨函數(shù)：

vO2=1/2(O2Vr-O2V)TMO2(O2Vr-O2V)

(52)

對式(52)求導有：

(53)

定義物體O1的非負伴隨函數(shù)：

vO1=1/2(O1Vr-O1V)TMO1(O1Vr-O1V)

(54)

對式(54)求導有：

(55)

液壓馬達的虛擬穩(wěn)定性分析：

定義液壓馬達1的非負伴隨函數(shù)為

(56)

式中：τ1pr為τ1p的需求力。根據(jù)文獻[14]，式(56)的微分滿足：

(57)

再定義：

v=vO1+vc/k1τ

(58)

對式(58)求導有：

pB2-kτp(τ1pr-τ1p)2

(59)

則根據(jù)文獻[14]中的Definition 2.17，物體O1和液壓馬達1組成的子系統(tǒng)滿足L2和L∞虛擬穩(wěn)定性。同理，物體O2與液壓馬達2組成的子系統(tǒng)和物體O3與液壓馬達3組成的子系統(tǒng)同樣滿足虛擬穩(wěn)定性。進一步，根據(jù)文獻[14]中Theorem 2.1，整個機械手系統(tǒng)滿足虛擬穩(wěn)定性。

3 虛擬分解-符號積分魯棒控制

機械手腕各子系統(tǒng)物體動態(tài)方程可寫為

(60)

其中：piL=pi1-pi2為負載壓力差；Bi為黏性摩擦系數(shù)；Ji為每個物體繞各自轉動軸的轉動慣量。因機械手腕為多自由度運動系統(tǒng)，各物體之間存在動態(tài)耦合，當考慮單個物體時，以fi(t)表征各個物體轉動軸方向的外部干擾力，其余方向的作用力通過結構去承受，根據(jù)1.3節(jié)，轉動軸方向上的可建模外部干擾力可表示為

(61)

定義

(62)

則伺服閥流量方程(40)可改寫為

(63)

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為

(64)

由式(38)(39)(41)(60)(64)可得系統(tǒng)非線性模型的狀態(tài)空間形式為

(65)

其中：i=1，2，3，bi=Bi/Ji；di(t，x1，x2)=fi(t，x1，x2)/Ji；Δi為未建模干擾；Vi為馬達腔體容積。為簡化設計，省略下標i，非線性方程(65)寫成歸一化形式為

(66)

在設計魯棒控制器前，先做如下假設：

假設1 系統(tǒng)的外部未建模干擾三階連續(xù)可微且均有界，即

(67)

并假設

(68)

式中：ξN2、ξN3為已知界。

假設2 系統(tǒng)的參考指令信號xd(t)是三階連續(xù)的，且系統(tǒng)期望位置指令、速度指令、加速度指令以及加加速度指令都是有界的。

3.1 虛擬分解-符號積分魯棒控制器設計

定義如下誤差變量：

(69)

式中：k1、k2和k3均為正的反饋增益。由式(69)可知：

(70)

(71)

在誤差變量的定義中，各個誤差信號之間的傳遞均經(jīng)過穩(wěn)定的可設計的濾波器。因此，若可以設計一個魯棒控制器，使得高階的誤差信號，如r趨近于0，則系統(tǒng)實際的跟蹤誤差e3、e2和e1也趨于0。根據(jù)式(71)，可設計魯棒控制器為

(72)

式中：kr>0為控制器增益；κ>0為魯棒增益。由式(72)可知，控制器中除了含有系統(tǒng)的模型補償項，還含有一個與誤差信號e3的符號積分有關的魯棒項μ，即RISE魯棒項。將式(72)代入式(71)得：

(73)

從式(73)可以看出，在控制器中引入RISE魯棒項的目的是鎮(zhèn)定子系統(tǒng)的未建模外干擾。對式(73)微分得：

(74)

(75)

3.2 虛擬分解-符號積分魯棒控制器穩(wěn)定性分析

為便于分析控制器[式(72)]的性能，在介紹其性能定理前，先給出如下引理：

引理1 定義變量L(t)及輔助函數(shù)P(t)為

L(t)=r[N-κsign(e3)]

(76)

(77)

如果魯棒增益κ滿足如下不等式，即

(78)

則輔助函數(shù)P(t)恒為正值。證明：參見文獻[19-20]。

由引理1可知，輔助函數(shù)P(t)的微分為

(79)

基于引理1，有如下性能定理。

定理1 對于非線性系統(tǒng)(65)，若控制器(72)的控制增益κ滿足不等式(78)，且其反饋增益足夠大使得定義的矩陣Λ為正定矩陣：

(80)

則閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號均有界，且魯棒控制器(72)可獲得漸近跟蹤性能，即當t→∞時，e→0，其中e定義為e=[e1，e2，e3，r]T。

證明：定義如下李雅普諾夫函數(shù)

(81)

其時間微分為

(82)

并由誤差動態(tài)方程(69)(74)(79)及矩陣Λ的正定性，可推導出：

(83)

4 仿真驗證

采用數(shù)值仿真方式驗證文中提出的基于虛擬分解的符號積分魯棒控制器的有效性和優(yōu)越性。3個關節(jié)的期望跟蹤軌跡曲線設置為

(84)

此外，3個關節(jié)初始角度為1、0、1 rad。系統(tǒng)主要物理參數(shù)如表1所示。

表1 主要物理參數(shù)

為充分驗證基于虛擬分解的符號積分魯棒控制在機械手腕上應用的優(yōu)越性，仿真對比驗證如下4種控制器：

(1)PI：工業(yè)上廣泛應用的比例-積分控制器。

(2)VFPI：同樣在工業(yè)上廣泛運用的速度前饋比例-積分控制器，VFPI控制器可表示為

(85)

(3)VDC：即文中研究的虛擬分解控制方法。

(4)VD-RISE：即文中提出的基于虛擬分解的符號積分魯棒控制方法。

各關節(jié)控制參數(shù)選取見表2。

表2 關節(jié)控制參數(shù)

采用以下4個性能指標來評估所對比的3種控制器的性能，即最大跟蹤誤差Me、平均跟蹤誤差μ、跟蹤誤差的標準差σ和最大誤差速度比ρ，其定義分別為

(86)

(87)

(88)

(89)

關節(jié)位置軌跡跟蹤效果如圖4—9所示，穩(wěn)態(tài)跟蹤性能指標在表3—5中給出。如圖4、6、8所示：在VDC和VD-RISE控制器的作用下，關節(jié)的轉動角度可以很好地跟蹤期望的位置指令。表3—5中的性能指標對比及圖5、7、9中的跟蹤誤差對比揭示了所提出的VD-RISE控制器在評價指標上優(yōu)于其他3種控制器。具體來分析，PI控制器的控制精度一般，效果最差。而VFPI在采用相同kp和ki反饋增益的情況下，施加一定的速度前饋補償使得跟蹤性能比PI控制器要好。在VDC控制中，融合了液壓馬達的需求力和實際測量到的力作為力反饋，3個液壓馬達的需求力和實際出力分別如圖10—12所示?？梢钥闯觯簤厚R達的需求力矩和實際作用力矩二者大致接近，體現(xiàn)了虛擬分解較好的合理性和有效性，但是仍然具有一定的誤差，所以力反饋增益kf在控制輸入中將取得較小，如表2所示。同時也反映出基于機械臂3D模型的虛擬分解存在一定的參數(shù)不確定性。盡管如此，VDC控制器較PI和VFPI也體現(xiàn)出了更為出色的控制性能，相信通過文獻[14]中提到的參數(shù)自適應算法可進一步提高控制性能。

表3 關節(jié)1最后兩周期跟蹤性能

表4 關節(jié)2最后兩周期跟蹤性能

表5 關節(jié)3最后兩周期跟蹤性能

圖4 關節(jié)1軌跡跟蹤

圖7 關節(jié)2軌跡跟蹤誤差

圖10 關節(jié)1需求力矩與實際作用力矩

圖11 關節(jié)2需求力矩與實際作用力矩

圖12 關節(jié)3需求力矩與實際作用力矩

圖13 干擾力矩

圖14 伺服閥輸入電壓

5 結論

文中通過結合虛擬分解和積分魯棒反饋，提出了基于虛擬分解的誤差符號積分魯棒控制(VD-RISE)方法用于液壓機械手系統(tǒng)的高精度跟蹤控制。所設計的基于虛擬分解的積分魯棒控制器具有優(yōu)異的魯棒能力，可以使液壓機械手電液伺服系統(tǒng)獲得漸近跟蹤性能。通過對比仿真，驗證了所提出的控制器的有效性，VD-RISE控制在最大誤差Me、平均誤差μ和誤差標準差σ方面的控制性能優(yōu)于PI、VFPI和VDC。此外VD-RISE方法的最大誤差速度比ρ較其他3種控制方法也顯著提高。綜上，本文作者在已有方法基礎上進一步研究高精度跟蹤控制方法，取得了較好結果，對多自由度液壓機械臂跟蹤控制方面研究有一定的推動指導作用。