趙霜，趙莉莉

函數(shù)形式的單調(diào)有界原理及其應用

趙霜，趙莉莉

（云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昆明 650091）

單調(diào)有界原理是判斷極限是否存在的重要準則之一，但大多數(shù)教材中僅介紹過數(shù)列形式的單調(diào)有界原理．為了更好地闡述單調(diào)有界原理的本質，將單調(diào)有界原理推廣到函數(shù)的形式，利用函數(shù)極限、上確界、下確界的定義進行了證明．給出了相應的函數(shù)形式單調(diào)有界原理的應用實例．

函數(shù)極限；單調(diào)有界原理；上確界；下確界

判斷極限存在的常用準則有兩種，分別是夾擊準則與單調(diào)有界原理．在大多數(shù)的數(shù)學分析與微積分學教材[1-7]中，分數(shù)列極限、自變量趨于固定點時函數(shù)極限以及自變量趨于無窮大時函數(shù)極限三種情形，對夾擊準則進行了介紹，并給出了相應的應用實例， 然而對于單調(diào)有界原理只介紹了數(shù)列形式的情形．在已有文獻中，對單調(diào)有界原理的研究，也大多集中在利用該原理證明通項以遞推公式形式給出的數(shù)列極限的存在性[8-10]， 很少有文獻介紹函數(shù)形式的單調(diào)有界原理，以及它們的應用．為更好地闡述數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的異同點，分析單調(diào)有界原理的本質，本文將單調(diào)有界原理推廣到函數(shù)的形式，并利用函數(shù)形式的單調(diào)有界原理，證明了第一類重要極限．

1　函數(shù)形式的單調(diào)有界原理

2　函數(shù)形式單調(diào)有界原理應用實例

[1] 裴禮文．數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1993：34-41．

[2] 陳傳璋，金福臨，朱學炎，等．數(shù)學分析：下[M]．2版．北京：高等教育出版社，1983：43-46．

[3] 張筑生．數(shù)學分析新講[M]．北京：北京大學出版社，1991：45-48．

[4] 同濟大學應用數(shù)學系．高等數(shù)學[M]．北京：高等教育出版社，2014：43-46．

[5] 四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室．高等數(shù)學[M]．北京：高等教育出版社，1995：45-47．

[6] 華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析[M]．北京：高等教育出版社，2005：6．

[7] 鄭維行，王聲望．實變函數(shù)與泛函分析概要[M]．北京：高等教育出版社，2005：11．

[8] 張留偉．單調(diào)有界定理在求遞推數(shù)列極限的應用[J]．廣東技術師范學院學報，2016，37（2）：1-4．

[9] 謝勝利．平面上的單調(diào)有界原理及其應用[J]．安徽建筑工業(yè)學院學報（自然科學版），2009，17（6）：107-109．

[10] 蘇柯，孔鈺．單調(diào)性混合的遞歸數(shù)列求解[J]．高等數(shù)學研究，2020，23（5）：42．

Monotone bounded principle of functional form and its applications

ZHAO Shuang，ZHAO Lili

（School of Mathematics and Statistics，Yunnan University，Kunming 650091，china）

The monotone bounded principle is one of the important criteria for judging the existence of limits，but most textbooks only introduce the monotone bounded principle in the form of series．In order to better explain the nature of monotone bounded principle，the monotone bounded principle is extended to the form of functions，the proof is given by using of the definition of function limit，supremum and infimumthe．Finally，the corresponding application examples of the monotone bounded principle of function form are given．

function limit；monotone bounded principle；supremum；infimum

1007-9831（2023）11-0010-04

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.11.003

2023-03-11

云南省教育廳2020年自然科學基金項目（2020J0020）

趙霜（1999-），女，四川涼山人，在讀碩士研究生，從事非線性微分方程研究．E-mail：2368122658@qq.com

趙莉莉（1979-），女，云南大理人，講師，博士，從事非線性微分方程研究．E-mail：llzhao@ynu.edu.cn