李 昊， 馬小飛， 火統(tǒng)龍， 李歡笑， 吳 迪

（1. 西安空間無線電技術研究所，陜西 西安 710100；2. 西安電子科技大學 機電工程學院，陜西 西安 710071）

1 引 言

隨著人類對宇宙空間奧秘的深入探索，傳統(tǒng)的衛(wèi)星已經(jīng)不能滿足人們對外太空信息的渴望，對超大型、高精度的衛(wèi)星、空間站的發(fā)展越發(fā)迫切和需要［1-3］。而星載天線作為接收信號的載體，在無線通信、深空探測、衛(wèi)星遙感和射電天文等領域起著至關重要的作用［4-6］。

受限于運載工具的空間限制，大口徑空間天線通常設計為可展開結構［7-9］，即在運輸過程中呈現(xiàn)收攏態(tài)，在到達預定工作軌道后呈現(xiàn)展開態(tài)。相比于采用金屬絲網(wǎng)［10-12］或薄膜作為反射面［13-15］的傳統(tǒng)天線，固體反射面天線由于具有更高的型面精度，可以提供更高的工作頻段及增益［16-20］。因此，隨著深空探測等天線應用需求的不斷提高，固體反射面天線越來越受到研究人員的重視。

典型的固面可展天線通常由一個中心面板與若干旁瓣組成，旁瓣與中心面板共同形成固面天線反射鏡面。最早的固面可展開天線是TRW 公司研制的Sunflower［21］，該天線由鉸接在中心面板上的六塊主面板以及相鄰主面板之間的6 個子面板組成。然而，這一形式的固面天線收攏后體積較大，且零件數(shù)目較多，因此應用并不廣泛。當前，應用最多的是歐空局（European Space Agency，ESA）提出的“花瓣式”固面天線［22］，其展開過程通常是由2 部分組成，即旁瓣首先繞徑向軸線實現(xiàn)徑向展開，進而繞旁瓣軸線進行周向翻轉完成展開過程。Chae［23］設計了一種以碳纖維增強塑料為反射面的固面可展開天線，采用30 個旁瓣的設計布局，每個旁瓣可獨立完成徑向展開及周向翻轉過程。為提高展開同步性，Bujakas［24］通過設計了一種相似的沿雙軸展開固面天線，所不同的是在各旁瓣之間設置了微型線性驅動器用以提高各旁瓣的展開同步性。西北工業(yè)大學黃河［25］提出了一種使用扭簧驅動旁瓣沿雙軸旋轉展開的固面可展開天線，通過仿真分析獲得旁瓣展開所需的扭簧預變形，從而滿足展開時的型面精度要求。這種布置形式的優(yōu)點在于可以獨立的調節(jié)各旁瓣姿態(tài)，但同時也因為運動副及驅動源較多，容易造成同步性及可靠性降低。

為解決旁瓣沿雙軸旋轉展開造成的上述問題，浙江大學徐彥［26］與西北工業(yè)大學黃河［27］提出了沿單軸旋轉展開的設計方案。該方案以沿雙軸旋轉展開姿態(tài)為基礎，通過等效軸角法獲得單軸折展運動方案。這一方法需要先以雙軸旋轉展開姿態(tài)為基礎，因而無法達到空間中任意姿態(tài)，限制了收攏態(tài)天線的位形設計。西安電子科技大學譚國棟［28-29］提出了單自由度折展設計方案，并討論了Bennett 機構在固面可展開天線中的可行性。在此基礎上，馬軍［30］進一步衍生出了RSUR 機構用以控制天線折展。然而上述方法對收攏態(tài)與折疊態(tài)的旁瓣位形姿態(tài)有一定的數(shù)值要求，當收攏態(tài)位形選擇不當時容易使算法無解，同時針對折展機構的過約束問題并沒有給出普適性的數(shù)學模型作為解決方案。

針對上述問題，本文進行固面可展開天線單自由度折展設計及分析。通過將等效軸角法與粒子群優(yōu)化算法結合，通過循環(huán)迭代求解得出了適用于求解旁瓣繞單軸旋轉折展的一般性方法；在Bennett 機構的基礎上，進一步進行運動學及動力學分析，并結合變密度拓撲優(yōu)化方法設計了反射器背架，討論了背架設計對天線熱變形及模態(tài)頻率的影響；以一款10 m 口徑的固面可展開天線為例，進行了詳細設計及仿真分析；通過構建并分析折展機構螺旋系，提出了多種避免機構過約束的設計方案，并最終選擇RSPRR 機構進行天線非過約束設計，避免了折展機構因嚴格幾何約束可能產(chǎn)生的無法展開問題。

2 可展開固體反射面折展機構設計

2.1 旁瓣展開軸設計

固體反射面天線旁瓣在折展過程中可以視為剛體，因此可以使用空間中不在同一平面的任意三點定義旁瓣在空間中的位置。對于如圖1 所示的固面天線折展過程，可以采用A，C，D定義展開狀態(tài)的旁瓣位置，用A'，C'，D'定義收攏狀態(tài)的旁瓣位置。

圖1 固面天線折展示意圖Fig.1 Schematic diagram of deployment of SSDA

根據(jù)空間剛體坐標變換原理，旁瓣的展開軸的計算問題可以歸納為三個未知參數(shù)的求解：（1）轉軸向量nr；（2）旋轉錨點P坐標；（3）旋轉角度θ。

根據(jù)任務需求及天線型面劃分，天線處于展開態(tài)時旁瓣關鍵節(jié)點的空間坐標通常是已知的，即A，C，D三點坐標已知。由于運載器對天線收攏體積有要求，因此通?？梢栽O置收納后天線旁瓣的位置，即給定A'，C'，D'三點坐標。首先需要明確是否存在唯一轉軸可以使旁瓣由A'，C'，D'定義的收攏態(tài)位置通過旋轉展成至A，C，D三點定義的展開態(tài)位置。

以一款10 m 口徑固面可展開天線為例，天線的展開外徑Da=10 000 mm，中心面板直徑Di=3 000 mm，焦距f=4 350 mm，旁瓣數(shù)量為24，運載器徑向收納限制Rf=2 000 mm。據(jù)此，可以得到A，C，D三點坐標為：

為避免收攏時旁瓣之間的干涉及旁瓣與中心面板的干涉，同時方便收攏態(tài)的綁扎，對于收攏態(tài)的旁瓣空間位置提出要求為：（1）在XOY平面內觀測時，A'，C'，D'三點都處在與X軸夾角為π/24 的連線上；（2）旁瓣最低點高于中心面板外緣h；（3）從XOZ平面內觀測時，A'，D'兩點連線與Z 軸平行。相比于文獻［28］中的計算結果，本文所作約束條件可以使旁瓣外緣與包絡圓柱母線重合，更便于收納。

據(jù)此可以假設收攏態(tài)時旁瓣的空間位置為：

其中：Rf為收攏外徑；Rc'為C'點外徑，ZA'為A'點Z向坐標，ZD'為D'點Z向坐標，h為旁瓣最低點與中心面板的距離，C（z）為C點Z向坐標，即中心面板外緣高度；

可以看出，當給定h值時，式（2）的未知數(shù)僅為Rc'，ZA'，ZD'三項?？紤]到旁瓣折展過程中為剛體，因此各節(jié)點間的距離保持不變，即：

將式（1）和式（2）代入式（3），得到收攏后旁瓣的空間位置：A'（1 982.88，261.05，3 965.54），C'（1 597.57，210.32，181.43），D'（1 982.88，261.05，229.31）。考慮到旁瓣為繞空間某一軸線旋轉展開，因此折展前后，轉軸向量應始終垂直于AA'和CC'構成的平面、AA'和DD'構成的平面、CC'和DD'構成的平面，據(jù)此可以得到：

由于n1，n2，n3不共線，說明在給定坐標下，并不存在可以使旁瓣由指定的收攏態(tài)通過一次旋轉形成展開態(tài)的轉軸。

為實現(xiàn)單軸旋轉的折展要求，本文提出將指定的收攏態(tài)旁瓣位置在限定空間內做出圖2 所示的移動，使其達到可以通過一次旋轉展開的位形，即：

圖2 移動旁瓣位置示意圖Fig.2 Schematic diagram of petal movement

采用新獲取的A″，C″，D″三點坐標更新式（4）所描述的轉軸向量：

由于旁瓣繞單軸折展，因此向量n1，n2，n3應為共線的，即：

據(jù)此，旁瓣的移動問題就簡化為了一個多參數(shù)尋優(yōu)問題，即：通過調整式（5）中的Δx，Δy，Δz，使新獲取的A″，C″，D″三點滿足式（7）。為解決這一問題，本文采用粒子群優(yōu)化算法進行多參數(shù)優(yōu)化，構建目標函數(shù)G如式所示：

根據(jù)式（8）可以看出，此時旁瓣移動問題被抽象為了一個多參數(shù)極小值優(yōu)化問題。當目標函數(shù)G足夠小時，即可認為新獲取的旁瓣位置滿足單軸旋轉折展的要求。為保證移動旁瓣的過程不會對天線的收納造成顯著影響且不會與中心面板產(chǎn)生干涉，將位移限制在指定范圍內，即：Δx∈[-300，300]；Δy∈[-300，300]；Δz∈[0，300]。

在粒子群算法中［31］，一個粒子可以根據(jù)其有限的智力和群體的智力來決定自身行動的方向和速度，具體表現(xiàn)為粒子的速度向量v和位移向量s。在實際程序編譯過程中，每個粒子的每次行動均代表優(yōu)化問題的一個解決方案。

在優(yōu)化過程中，粒子i的第k+1 次行動定義為si（k+1），這一數(shù)值在繼承上一次行動參數(shù)si（k）的基礎上，同時引入三個修正向量：

（1）粒子參數(shù)的改變量si（k）-si（k+1）；

（2）粒子位置與種群最優(yōu)位置的距離pBestsi（k）；

（3）粒子位置與全局最優(yōu)位置的距離gBestsi（k）。

11月份的皮山農場，雖然寒冷，但與烏魯木齊的氣溫來比，還是溫暖得多。11月19日，按照兵團“民族團結一家親”活動工作要求，兵團工會結親干部一行12人在兵團工會主席黃斌的帶領下來到了皮山農場三連，開始為期一周的結親活動。到達三連，已是下午六點來鐘，天已經(jīng)蒙蒙黑。大家就各自拿上自己的行李，帶上為“親戚”準備的禮物，按照活動方案所分小組奔赴各自的“親戚”家……

具體數(shù)學表達式為：

其中：k為迭代次數(shù)；w為慣性系數(shù)，用來平衡個體智慧和群體智慧的比例關系；c1，c2為定義的加速系數(shù)，反應種群間的信息交流；r1，r2為隨機數(shù)，提高進化中的隨機性；pBest為種群最優(yōu)解；gBest為全局最優(yōu)解。

在搜索過程中需要對慣性系數(shù)w進行動態(tài)調整，目的是權衡全局搜索和局部搜索的關系，以實現(xiàn)在出發(fā)階段的快速探測，在后期進行精細搜索。本節(jié)采用的慣性系數(shù)調整方法是線性遞減權值策略，其表達式為：

其中：wmax為最大慣性系數(shù)；wmin為最小慣性系數(shù)；k為迭代次數(shù)；N為最大迭代次數(shù)。

依據(jù)優(yōu)化結果并進行適度圓整后，得到：Δx=-120 mm，Δy=200 mm，Δz=92 mm。即：

移動后的旁瓣徑向收納半徑為1 919.05 mm，滿足2 000 mm 的收納要求；C″點高于中心面板邊緣129.31 mm，滿足旁瓣與中心面板不干涉的要求；A″與D″兩點具有相同的收攏半徑，滿足便于捆扎的要求。

至此，固面可展開天線繞單軸折展的過程簡化為求解［A，C，D］T到［A″，C″，D″］T的空間變換問題。根據(jù)等效軸角定理，這一過程可以描述為：

其中：Rω（θ）為空間中繞固定軸線旋轉θ角的旋轉矩陣；CP為旋轉軸線矩陣所通過錨點的坐標；I為單位矩陣。

至此，獲得了固面可展開天線單自由度展開的運動方案，為后續(xù)設計及分析奠定了基礎。

2.2 反射器背架設計

對于大口徑固面天線而言，為確保展開后的型面精度滿足要求，通常需要為旁瓣設置背架使其具有足夠的剛度以抵抗變形。圖3 為固面天線兩個相鄰旁瓣展開過程示意圖。從圖中可以看出，相鄰旁瓣的相對位置會在天線展開過程中不斷變化，因此僅以收攏態(tài)或展開態(tài)為依據(jù)設計背架就很可能造成運動過程中背架干涉，進而造成天線失效。

圖3 相鄰旁瓣展開過程示意圖Fig.3 Diagram of adjacent petals during deployment

為使折展過程中背架不發(fā)生干涉，首先需要獲取背架設計空間。圖4 為背架設計空間獲取過程，建立固連于旁瓣1 的浮動坐標系，分析折展過程中相鄰的旁瓣2 在該浮動坐標系下的位姿［28］。當折展過程的時間步長取值足夠小時，旁瓣2 相對于旁瓣1 的運動軌跡就可以形成一個包絡面，背架設計時只需要避開該包絡面即可避免干涉。

圖4 旁瓣背架設計空間Fig.4 Design space of petal frame

在獲取得到的背架設計空間內以熱變形為約束條件建立背架結構變密度拓撲優(yōu)化模型，其中旁瓣由碳纖維蒙皮及鋁蜂窩芯材構成，材料參數(shù)如表1 所示。

表1 天線主要材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of SSDA

表2 天線模態(tài)頻率Tab.2 Antenna modal frequency

圖5 為拓撲優(yōu)化結果及背架設計方案。從圖中可以看出，高密度區(qū)域集中在反射器正面兩邊緣及背面中線處。據(jù)此，設計出了圖中“魚骨狀”支撐背架。

圖5 旁瓣背架設計空間Fig.5 Topology optimization of petal frame

為驗證背架設計的效果，圖6 及圖7 分別計算了空間環(huán)境下（110 ℃）反射器熱變形。計算結果顯示，采用本節(jié)所設計背架可以使反射器熱變形最大值由1.92 mm 降低至0.72 mm，降幅為62.5%，佐證了背架設計效果。

圖6 無背架旁瓣熱變形Fig.6 Thermal deformation of petal frame without petal frame

圖7 有背架旁瓣熱變形Fig.7 Thermal deformation of petal frame with petal frame

圖8 為反射器模態(tài)分析結果。反射器1 階及3 階模態(tài)振型呈現(xiàn)沿徑向的翹曲，2 階及4階振型呈現(xiàn)沿周向的扭轉，表3 為反射器面板模態(tài)頻率計算結果，由于背架提高了反射器整體剛度，因此各階頻率均得到了大幅度的提高。

表3 固面天線折展機構D-H 參數(shù)表Tab.3 D-H parameter for deployment mechanism of SSDA

圖8 旁瓣模態(tài)分析Fig.8 Modal analysis of petal

2.3 折展機構設計

由于收攏態(tài)及展開態(tài)的固面天線的幾何構型均關于拋物面焦點對稱，因此將同步轉輪的軸線至于通過焦點的中軸線上，形成如圖9 所示的拓撲形式［28］。由伺服電機或其他動力源間驅動同步轉輪繞轉軸nc旋轉，同步轉輪通過聯(lián)動機構帶動旁瓣繞上一節(jié)中計算得到的轉軸nr展開。在這一抽象形式中，同步轉輪作為輸入端，旁瓣作為輸出端，則構型綜合的核心問題就是解決連接輸入端和輸出端的聯(lián)動機構設計方案。

圖9 固面天線折展機構拓撲模型Fig.9 Topological model of deployment mechanism

圖10 基于Bennett 機構的固面天線折展機構Fig.10 Deployment mechanism based on Bennett linkages

從系統(tǒng)可靠性的角度出發(fā)，天線折展機構應盡量采用最少的構件及運動副。同時，從圖9 中可以看出，天線的折展過程可以抽象為兩空間異面轉軸間的旋轉運動。因此，本文將沿用Bennett 機構［28］作為旁瓣的折展機構，并進行運動學及動力學分析。

Bennett 機構采用2 組相同的連桿構成，屬于空間過約束連桿機構，為滿足單自由度的運動要求，需要滿足嚴格的幾何約束條件，即：

其中：li為連桿i的長度；αi為連桿i相對于連桿i-1的扭角。

對于本文所述的固面可展開天線結構參數(shù)，根據(jù)空間向量運算法則，在獲得旁瓣轉軸向量nr（-0.459 3，0.481 1，-0.746 7）T及同步轉輪軸線向量nc（0，0，1）T后，上述Bennett 機構的l1及α1參數(shù)已經(jīng)確定：

其中：NQP為向量n1上一點P與向量n2上一點Q的連線所表示的向量。

按照前文計算結果可得l1=1 216.37 mm，α1=0.727 7。根據(jù)約束條件，僅需給定參數(shù)l2或α2中的任一參數(shù)即可獲得完整的Bennett 機構設計方案，由于連桿的長度l2更易通過精密加工及測量獲得，因此通常采用給定l2的方法（本文給定l2=400 mm）。

據(jù)此，完成了固面可展開天線的折展機構設計，折展過程如圖11 所示。

圖11 固面天線整體展開過程示意圖Fig.11 Deployment process of SSDA

3 可展開固體反射面機構仿真分析

3.1 運動學分析

為描述固面天線的折展過程，在各運動副中心建立D-H 前置坐標系，其中轉動副中心軸線為Z軸，其正方向為旋轉方向；相鄰連桿中心軸線公法線為X軸，其正方向由i-1 桿指向i桿，則各連桿的運動學參數(shù)如表3 所示。

表3 中θi為各連桿轉角，αi為連桿間轉角，li為連桿長度，di為連桿間距。根據(jù)D-H坐標系分析原則，可以得出各連桿間坐標系的變換矩陣分別為：

由于Bennett 機構為空間單閉鏈形式，因此從順時針及逆時針兩個方向開始變換，連桿3 的坐標系在連桿1 坐標系及連桿4 坐標系中的表達式應一致，即：

為方便表述，將連桿1 定為機架，即θ1=0；將連桿2 定為輸入連桿，即θ2=θin；將連桿4 定為輸出連桿，即θ4=θout。將式（15）～式（18）帶入式（19）即可得出：

為使連桿機構平滑運動，使用典型無沖擊函數(shù)作為輸入角參數(shù)：

其中：θf為輸入角變化總幅值；tf為運動總時長；t為運動時間。

機構運動速度和加速度的變化情況最能反映出天線折展過程中受到?jīng)_擊的劇烈程度。通過對式（22）及式（23）中的輸出轉角與輸入轉角函數(shù)分別求導，即可獲得旁瓣折展過程中的角速度和角加速度：

依據(jù)方程（22）～方程（25）可以計算得到固面天線展開過程中的角度、角速度、角加速度如圖12 所示。圖中曲線光滑平穩(wěn)說明了折展過程中無明顯沖擊及振動發(fā)生。同時，輸出參數(shù)曲線與輸入?yún)?shù)曲線近似，這也便于依據(jù)輸入?yún)?shù)預測折展過程中旁瓣的運動情況。

圖12 天線展開過程運動學性能Fig.12 Kinematics parameters of antenna during deployment

3.2 動力學分析

為確保天線能夠順利展開，還需要對展開過程中的驅動力進行求解分析。采用與運動學分析中相同的D-H 前置坐標系，連桿i處質心相對于基坐標系的速度可以表示為：

其中：T0i為連桿i坐標系相對于基坐標系的變換矩陣，ri為連桿i質心位置矢徑，θj為連桿j回轉角。

連桿i的動能可以表示為：

其中，tr 表示矩陣的跡。

連桿i在基坐標系下的勢能可以表示為：

其中，g0為分析工況下的重力加速度，考慮到卸載精度，取分析工況下的重力加速度g0為10-2g。

據(jù)此可以獲得天線展開過程中的拉格朗日函數(shù)為：

由于定義了連桿2 為輸入桿，因此對拉格朗日函數(shù)L求關于θ2的導數(shù)就可以得到展開過程中的廣義驅動力。

圖13 為不同l2尺寸下，天線展開過程中的驅動力變化情況。驅動力會隨著連桿長度的增大而增大，這主要是由于連桿長度增加導致桿組整體質量及慣量增大造成的。對于本文選用的l2=400 mm工況而言，電機驅動力最大值約為17.6 N·m。

圖13 天線展開驅動力Fig.13 Driving moment of SSDA

4 折展機構非過約束設計

由于本文所述的Bennett 折展機構屬于過約束機構，只有在滿足嚴格的幾何約束的條件下才具有單自由度折展功能。因此為避免因制造及裝配誤差導致的折展機構失效，需要首先通過引入消極運動副將Bennett 折展機構變?yōu)榉沁^約束機構，以使其能夠適應制造及裝配誤差。文獻［30］已經(jīng)注意到了這一問題，并提出了RSUR 機構的替代性方案。本節(jié)將通過理論分析，討論非過約束設計解決方案。

對于圖10 所示的折展機構，假設R1及其對應連桿為支鏈1，R2～R4及其對應連桿為支鏈2，則構成了一個雙支鏈的并聯(lián)機構。轉動副R1～R4所對應的運動螺旋為$1～$4。設對角線KN=2l，JM=2m，且對角線夾角為γ。KN與JM的中點分別為E，F(xiàn)，且EF=n。取E點為原點，EF方向為X軸，EK方向為Y軸，建立圖10中所示的坐標系。4：J（n，-mcosγ，msinγ），K（0，l，0），M（n，mcosγ，-msinγ），N（0，-l，0）。

支鏈1 的運動螺旋$1可以表示為：

運動螺旋$1對應的約束螺旋為：

支鏈2 的運動螺旋為：

由于JK為機架，KM和JN分別為輸入桿和輸出桿，為保證運動規(guī)律不發(fā)生變化，可以在M或N處引入消極運動副，本文選擇在N處引入消極運動副。依據(jù)并聯(lián)機構消極運動副引入規(guī)則，消極運動副對應的螺旋系N3應屬于N1但不屬于N2?？紤]到Bennett 機構的階數(shù)為3，為使機構變?yōu)榉沁^約束機構，需要引入的消極運動副所對應螺旋系的秩應為3。因此，在N處引入消極運動副的組合可以為RRR，RRP，RPP 及PPP 四種，由于N處已有轉動副R4，為滿足N3不屬于N2，RRR 副的組合形式不成立?？紤]到R副的運動精度通常高于P副，因此本文在N處引入RRP 形式的消極運動副，結合N處原有轉動副R4，可將N處運動副進一步簡化為圖14 所示的PS 組合。此時，可以得出消極運動副的螺旋系N3為：

圖14 折展機構非過約束形式Fig.14 Non-overconstrained form of deployment mechanism

將公式（33）展開并帶入相關數(shù)值可以證明此時的N3秩為3，且滿足（N3∈N1，N3?N2）。因此，圖10 所示的過約束機構已經(jīng)轉化為RSPRR非過約束機構，當存在制造或裝配誤差時，機構仍可以實現(xiàn)單自由度折展效果。

事實上，當將M處與N處同時作為消極運動副的引入位置時，采用上述螺旋理論分析方法則可以構建出RSUR，RUSR，RSSR，RSPRR，RSCR，RCSR，RURPPR，RUCPR，RRPPPRR，RCPCR 等大量非過約束設計形式，可以依據(jù)實際設計要求進行選取，此處不再贅述。

5 結 論

本文針對固面可展開天線的展開機構，設計并分析了一種單自由度折展方案，主要結論如下：

（1）為實現(xiàn)單軸旋轉展開的任務需求，提出了基于粒子群算法的收攏態(tài)旁瓣位形確定算法，結合等效軸角定理給出了單軸旋轉展開的參數(shù)確定方案；

（2）以相鄰旁瓣運動軌跡為基礎，結合拓撲優(yōu)化方法給出了反射器背架設計方案，并進行了熱變形及模態(tài)分析，分析結果表明本文提出的背架設計方案可以有效降低反射器熱變形，同時大幅提高模態(tài)頻率；

（3）以一款展開口徑為10 m 的固面可展開天線為例進行了天線折展機構設計，通過運動學及動力學分析，研究了天線折展過程中角位移、角速度、角加速度及驅動力矩的變化規(guī)律；

（4）通過構建折展機構螺旋系提出了多種消極運動副引入方案，并最終采用RSPRR 非過約束機構，避免了折展機構因嚴格幾何約束可能產(chǎn)生的無法展開問題。