楊仁志，王風濤，崔兆良

（1.安徽工程大學 機械工程學院,安徽 蕪湖 241000；2.中國電子科技集團公司第十四研究所,南京 210039）

雙列角接觸球軸承具有較高的旋轉(zhuǎn)精度、極限轉(zhuǎn)速,同時有可以承受較大傾覆力矩的剛度,廣泛應用于武器裝備、車輛輪轂等領域［1］。我國工業(yè)技術發(fā)展快速,各種裝備的工作條件都對雙列角接觸球軸承的服役性能提出了更高的要求。雙列角接觸球軸承的剛度是描述其支撐特性的重要參數(shù),對雙列角接觸球軸承進行高效且精確的建模分析,研究不同因素對雙列角接觸球軸承剛度的影響,對于提高軸承的服役性能,提高主機安全性和可靠性具有重要的意義。在某些情況中,雙列角接觸球軸承可以看作是兩個相鄰的單列角接觸球軸承,但是在許多靜態(tài)和動態(tài)問題中,雙列角接觸球軸承必須被看作一個整體單元,其剛度也不能看作單列剛度簡單的疊加。

在滾動軸承剛度分析方面,國內(nèi)外學者已經(jīng)做了許多研究工作。早期學者［2-3］研究軸承剛度的顯式計算方法多憑借經(jīng)驗,具有輸入?yún)?shù)少、計算簡單等優(yōu)點,但不適用于復雜工況條件下的軸承剛度的精確預測和軸承剛度的計算。邱明等［4］將鋼球與內(nèi)外圈的接觸等效為非線性彈簧連接,利用彈簧的串、并聯(lián)運算,計算軸承剛度,這種方法相對于經(jīng)驗法,計算精度得到了保證,但仍然無法計算軸承的剛度矩陣。解析法［5-6］主要用于軸承剛度矩陣的計算,一般是通過球軸承載荷-位移方程的導數(shù)或者偏導計算得到,相比之前的方法,該方法有較高的精確性和適用性,因此被廣泛應用于軸承剛度特性分析。楊德華等［7］運用彈性接觸理論推導出雙列調(diào)心球面球軸承的剛度計算公式,采用有限元法進行數(shù)值計算,算出了軸承的軸向和徑向剛度。

在剛度求解的基礎上,學者又研究了影響剛度的因素。鄧四二等［1］建立了雙列角接觸球軸承動力學分析模型,分析了溝曲率半徑系數(shù)、預緊量、轉(zhuǎn)速等因素對軸承動剛度的影響。Zhang 等［8］考慮了離心力和陀螺力矩等動態(tài)效應,分析了軸向載荷、轉(zhuǎn)速、接觸角等因素對組合軸承的預緊力和剛度的影響。Bizarre 等［9］闡述了五自由度角接觸球軸承的力和力矩平衡,推導了完整的非線性模型,并針對不同的負載條件評估了每個接觸的剛度的等效參數(shù)。于浩等［10］在雙列圓柱滾子軸承力學基礎上結合了赫茲接觸和潤滑油膜,分析了不同外載荷、轉(zhuǎn)速和潤滑油動力黏度下的剛度變化特性。Xu等［11］考慮了軸承零件的柔性和局部缺陷,提出了一種計算局部缺陷柔性圓柱滾子軸承徑向時變剛度的方法。Fang等［12］基于新的初始參考位置假設和滾珠-滾道接觸分離判定,提出了一種改進的具有更廣泛適用性的滾珠軸承數(shù)學模型,分析了不同工況下游隙對球軸承剛度和剛度波動的影響。

雙列角接觸球軸承在安裝使用過程中總是存在一定的不對中,會對軸承的剛度產(chǎn)生一定的影響。目前針對軸承剛度的分析尚未考慮軸承不對中的影響,本文建立模型分析軸承不對中對雙列角接觸球軸承剛度的影響。模型在聯(lián)合載荷作用下,基于坐標變換求解球與套圈的接觸載荷,建立球和套圈的平衡方程,計算剛度矩陣,探究雙列角接觸球軸承的不對中角度變化對剛度的影響及不對中與結構參數(shù)耦合時對剛度的影響。

1 雙列角接觸球軸承擬靜力學建模及求解

為了對雙列角接觸球軸承在不同軸承參數(shù)結構下進行剛度性能預測,首先需要建立力學分析模型。本文所研究的軸承為背靠背布置的雙列角接觸球軸承,軸承的外圈固定,內(nèi)圈相對于外圈以轉(zhuǎn)速n繞x軸旋轉(zhuǎn)。內(nèi)圈受到徑向載荷Fr、軸向載荷Fa和力矩載荷M,在外載荷的作用下,內(nèi)圈相對于外圈將出現(xiàn)徑向位移δr、軸向位移δa、角位移θ。

1.1 初始參數(shù)的確定

采用Newton-Raphson迭代法對最終的平衡方程進行求解,Newton-Raphson 迭代法對初值非常敏感,與最終結果誤差較大的初值可能會造成迭代不收斂。為減少迭代次數(shù),提高結果準確性,首先應該確定軸承內(nèi)圈相對于外圈的位移初值,如圖1所示。

圖1 初始位移示意圖

1.1.1 確定徑向位移和軸向位移初值

角接觸球軸承受到軸向載荷時其接觸角會增大,Harris［13］給出了靜態(tài)下角接觸球軸承受到軸向載荷作用時接觸角α的關系式。

鄧四二等［14］給出徑向和軸向聯(lián)合載荷作用下雙列軸承的各自最大載荷的求解方法,可求得雙列角接觸球軸承在聯(lián)合載荷作用下內(nèi)圈的軸向位移初值δa和徑向位移初值δr。

1.1.2 確定內(nèi)圈相對于外圈的角位移初值

宋麗等［15］給出了角接觸球軸承內(nèi)圈相對于外圈自由偏轉(zhuǎn)角的計算公式：

1.2 聯(lián)合載荷作用下雙列角接觸球軸承擬靜力學分析

載荷作用下雙列角接觸球軸承內(nèi)部載荷將直接決定軸承的剛度特性,目前大多數(shù)軸承分析中,僅考慮載荷分布較為單一,本文擬分析徑向載荷、軸向載荷和力矩載荷聯(lián)合作用下的雙列角接觸球軸承的剛度特性。

1.2.1 定義坐標系

為了準確描述雙列角接觸球軸承各部件的載荷分布和運動特性,建立了4 種坐標系：空間慣性坐標系、軸承內(nèi)圈方位坐標系、球方位坐標系、球-滾道接觸坐標系。

1.2.2 載荷位移關系

聯(lián)合載荷作用下,軸承內(nèi)部零件會產(chǎn)生位移,引起球的載荷分布變化。在慣性坐標系中,內(nèi)圈的幾何中心矢量為：

球幾何中心在慣性坐標系中的矢量為：

式中,r 為球心到軸承軸線的距離,φ為球的方位角。在內(nèi)圈方位坐標系中,球心相對于內(nèi)圈幾何中心的矢量為。內(nèi)圈相對于外圈的方位角為：

在內(nèi)圈方位坐標系中,內(nèi)圈曲率中心相對于內(nèi)圈幾何中心的矢量為：

其中,R為內(nèi)圈溝曲率軌跡圓半徑。

球心相對于內(nèi)圈曲率中心的矢量在中球的方位坐標系表示為：

由式（6）可計算球與內(nèi)圈接觸的接觸角為：

雙列角接觸球軸承球與內(nèi)圈的接觸變形為：

根據(jù)Hertz 點接觸理論可得,球與內(nèi)圈在左列的接觸載荷為（外圈為O,右列為2）：

1.2.3 雙列角接觸球軸承的運動分析

雙列角接觸球軸承在運轉(zhuǎn)時球會以一定的轉(zhuǎn)速繞軸承軸線公轉(zhuǎn),同時又以另一轉(zhuǎn)速繞自身的軸線自轉(zhuǎn)。根據(jù)Gupta［16］的研究,求球的自轉(zhuǎn)速度ωx、ωZ和公轉(zhuǎn)速度θ?時,需要建立3個方程進行聯(lián)立求解,第一個方程由控制套圈（假設外圈控制,用o 表示）純滾動點x0的滑動速度為0 得到；第二個方程由控制套圈上沿-z軸方向上相對自旋角速度為0 得到；第三個方程由對于允許自旋的套圈,球與套圈只在x0=0 處接觸,此處滑動速度為0得到。

1.2.4 擬靜力學平衡方程的建立

在得到球的自轉(zhuǎn)速度和公轉(zhuǎn)速度后,就可計算球的離心力和摩擦力。對于接觸角大于0 的軸承,當球繞兩相交的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)時,球會受到陀螺力矩的作用。

如圖2 所示,對于某一位置的球,如果外圈為控制套圈,可假設球的陀螺力矩Mgj被球與外滾道之間的摩擦力完全阻止,如果內(nèi)圈為控制套圈,則假設球的陀螺力矩平均地被球與內(nèi)外滾道之間的摩擦力所阻止。所以,對于外滾道控制,λij=0,λoj=2；對于內(nèi)滾道控制,λij=1,λoj=1。則球與滾道之間的摩擦阻力為：

圖2 球受力分析圖

式中,Fgij為角φj處球與內(nèi)滾道之間的摩擦力,Fgoj為角φj處球與外滾道之間的摩擦力。

雙列角接觸球軸承左列角位置φj處的平衡方程：

在球受力平衡的基礎上建立內(nèi)圈受力平衡方程。經(jīng)過受力分析可得：

其中Fa1、Fa2、Fr1、Fr2分別為左列和右列角位置φj處球?qū)?nèi)圈的軸向力和徑向力；M1,M2分別為左列和右列角位置φj處球?qū)?nèi)圈的力矩。

2 雙列角接觸球軸承剛度矩陣計算

通過以上分析,可對雙列角接觸球軸承進行剛度計算。本文在雙列角接觸球軸承擬靜力學模型建立的基礎上,通過偏微分運算計算上述剛度矩陣。相對來說,剛度矩陣對角線上的剛度項意義更大,本文主要研究徑向剛度Kr、軸向剛度Ka和角剛度Kθ。

3 結果與分析

在上述模型的基礎上,以SKF3208A-2Z（其基本結構參數(shù)如表1 所示）為例,對雙列角接觸球軸承剛度特性展開研究。

表1 雙列角接觸球軸承基本結構參數(shù)

3.1 模型對比驗證

以SKF3204A為例,用本文所提出的模型進行載荷分析,并與商業(yè)軟件Romax 的分析結果進行對比,以驗證模型的正確性。如圖3 和圖4 所示,關于該型號軸承的載荷分布分析結果,兩者相差不大,從而可以驗證上文雙列角接觸球軸承擬靜力學分析模型的正確性。

圖3 Romax載荷分析結果

圖4 本文模型計算結果

3.2 軸承外圈固定和內(nèi)圈固定時結構參數(shù)對軸承剛度影響的分析比較

軸承不對中角度和結構參數(shù)對軸承剛度有著很大的影響,探究軸承不對中角度和不對中與結構參數(shù)耦合時對雙列角接觸球軸承剛度的影響,可對雙列角接觸球軸承的設計提供有效的參考。本文在相對傾斜角0.01°,軸向力3 000 N,徑向力3 000 N,力矩10 Nm,轉(zhuǎn)速1 000 r∕min 的工況下,研究外圈固定時結構參數(shù)對軸承剛度的影響。

3.2.1 內(nèi)外圈相對傾斜角對軸承剛度的影響

如圖5 所示,在相對傾斜角允許的變化范圍內(nèi),隨著傾斜角的增大,軸承的3 個剛度都會減小,且角剛度在傾斜角到達一定角度后停止變化。相對傾斜角的增大會直接導致軸承接觸角的減小,軸承承受載荷的能力減小,從而使軸承剛度減小。

圖5 剛度隨相對傾斜角變化

3.2.2 外滾道曲率半徑系數(shù)對軸承剛度的影響

如圖6所示,隨著外滾道曲率半徑系數(shù)值的增大,軸承的軸向剛度和角剛度會逐漸減小,而軸承的徑向剛度會逐漸增大。因為外滾道曲率半徑系數(shù)值的增大會引起鋼球與外滾道密合度的減小,從而鋼球和外滾道之間的接觸角也會隨之減小,造成軸承剛度的變化。

圖6 剛度隨外滾道曲率半徑系數(shù)變化

3.2.3 內(nèi)滾道曲率半徑系數(shù)對軸承剛度的影響

如圖7所示,隨著內(nèi)滾道曲率半徑系數(shù)值的增大,軸承的軸向剛度、徑向剛度和角剛度都會逐漸減小,軸向剛度減小的速度略小于徑向剛度減小的速度。內(nèi)滾道溝曲率系數(shù)值增大會導致鋼球與內(nèi)滾道之間密合度的減小,從而使軸承的軸向剛度、徑向剛度和角剛度都出現(xiàn)不同程度的下降。因此在雙列角接觸球軸承設計中,通常溝曲率半徑系數(shù)值的選取不宜過大。

圖7 剛度隨內(nèi)滾道曲率半徑系數(shù)變化

3.2.4 軸向間隙對軸承剛度的影響

如圖8 所示,隨著軸向間隙的增大,軸向剛度和角剛度逐漸減小,徑向剛度逐漸增大。這是因為隨著軸向間隙的增大會同步有接觸角的減小,從而會導致軸承角剛度的減小；同時會有承載軸向載荷能力的減弱和承載徑向載荷能力的加強,產(chǎn)生如圖8 所示的軸向剛度的減小和徑向剛度的增大。

圖8 剛度隨軸向間隙變化

3.2.5 徑向間隙對軸承剛度的影響

如圖9 所示,隨著徑向間隙的增大,徑向剛度和角剛度的值整體會出現(xiàn)減小的趨勢,軸向剛度值會略有增加。這是因為徑向間隙的增大會使外圈接觸角增大,內(nèi)圈接觸角減小,從而使軸承承載軸向載荷能力的增加和承載徑向載荷能力的減小,但是引起的剛度值變化很小。

圖9 剛度隨徑向間隙變化

3.2.6 預載荷對軸承剛度的影響

預載荷對軸承剛度的影響可以通過預變形表現(xiàn)出來,如圖10 所示。在圖中,隨著預變形的增加,軸向剛度、徑向剛度和角剛度的值都會隨之增大。預載荷的作用會提前讓滾動體和內(nèi)外圈間產(chǎn)生彈性變形,使它們間的接觸面積增加,內(nèi)外圈接觸角也會增大,使軸承可以承受的接觸載荷增大,進一步會引起3種剛度值的增大。

圖10 剛度隨預變形變化

4 結論

本研究在雙列角接觸球軸承擬靜力學分析的基礎上,建立了雙列角接觸球軸承的剛度模型,并且研究了結構參數(shù)對雙列角接觸球軸承剛度的影響,研究結果表明,隨著內(nèi)外圈相對傾斜角的增大,雙列角接觸球軸承的軸向剛度,徑向剛度和角剛度都會減小。隨著內(nèi)溝道曲率半徑系數(shù)的增大,雙列角接觸球軸承的軸向剛度、徑向剛度和角剛度均逐漸減?。浑S著外溝道曲率系數(shù)的增大,雙列角接觸球軸承的軸向剛度和角剛度均逐漸減小,而徑向剛度略有增加。隨著軸向間隙的增大,軸承的軸向剛度和角剛度逐漸減小,徑向剛度逐漸增大；隨著徑向間隙的增大,軸承的徑向剛度和角剛度會有所減小,軸向剛度略有增加。隨著預載荷的增加,軸承的軸向剛度,徑向剛度和角剛度都會有所增加。軸承剛度實際工作中較難獲得,本研究運用模型建立出一套完整的剛度測量體系,為生產(chǎn)設計提供了便利。