甘 達，蘭靛靛，2，林鴻森，季佳偉

（1.廈門理工學院 機械與汽車工程學院,福建 廈門 361000；2.福建省客車先進設計制造重點實驗室,福建 廈門 361024）

商用車尤其是貨車承載能力要求高,其懸架剛度較大,減振性能差,路面激勵引起的駕駛室振動問題尤為突出,而且司機駕駛時間長。研究表明［1-2］：如果駕駛員長時間在振動環(huán)境中工作,不但會影響駕駛員的身體健康,出現(xiàn)腰疼、背部酸疼等癥狀,而且極易疲憊,從而引起疲勞駕駛,影響行車安全最終導致交通事故。因此如何有效地隔離和衰減汽車駕駛室內(nèi)的振動,提高駕駛員的乘坐舒適性,一直是國內(nèi)外學者研究的重要研究課題。為了衰減來自路面的各種激勵,車輛的減振系統(tǒng)主要有3個減振環(huán)節(jié),包括輪胎、懸架和座椅,但改變輪胎和懸架的參數(shù)對商用車尤其是貨車的承載能力和操作穩(wěn)定性影響較大［3-4］,而座椅是與駕駛員直接接觸的部件,設計有優(yōu)良減振性能的座椅成本低且見效快,因此,貨車、大客車往往使用減振性能良好的懸架座椅來減少司機所受的振動,進一步提高乘坐舒適性［5-6］。

研究懸架座椅非線性振動特性的文獻往往基于線性化假設,只能近似表達座椅系統(tǒng)具有弱非線性時的動力學。而座椅懸架中包含的彈性元件、阻尼元件、連桿摩擦和碰撞停止等包含了大量的非線性因素［7］,線性化假設帶來了較大誤差,因此,為了能更全面地反映座椅真實的非線性動力學行為,需要用非線性分析方法更加準確地進行懸架座椅的振動特性研究。

目前對于座椅懸架系統(tǒng)非線性研究的文獻較少,但對車輛懸架系統(tǒng)非線性研究的文獻比較多,且相對成熟。由于座椅懸架和車輛懸架在構造和工作原理上有較多的相似性,因此,本文用研究車輛懸架非線性的方法應用于座椅懸架的非線性研究上。

陳曉建等［8］在考慮懸架的阻尼力以及彈簧力非線性的情況下,建立了二自由度四分之一車輛動力學模型,采用增量諧波平衡法（IHBM）分析了激勵比以及非線性剛度系數(shù)對懸架系統(tǒng)動態(tài)特性的影響,得到了各次諧波下的幅頻特性曲線。趙玉壯等［9］針對整車非線性懸架系統(tǒng)提出了反饋線性化卡爾曼濾波算法,將非線性系統(tǒng)進行了精確反饋線性化。Litak等［10］應用Melnikov函數(shù)分析了車輛懸架系統(tǒng)全局同宿軌道非線性參數(shù)臨界值,考慮車輛懸架非線性,并在此基礎上提出了一種對混沌有效的控制方法。上述文獻主要采用諧波平衡法、分步線性化法、多尺度法、等效線性化法等研究非線性振動的近似解析方法,有繁瑣的中間運算,而座椅懸架系統(tǒng)相較于車輛懸架來說,結(jié)構和工作原理更為簡單,適用于計算簡便的非線性方法。

平均法作為非線性振動的近似解析方法的優(yōu)勢在于不僅能簡化計算過程而且能計算幅頻和相頻特性,能利用平均化方程的特性來分析全局運動性態(tài)和受迫振動的穩(wěn)定性。鑒于此,在汽車懸架的非線性振動研究基礎上,將非線性理論應用到某商用車司機座椅懸架的振動特性研究中,建立座椅懸架系統(tǒng)力學模型,采用非線性平均法求解動力學方程得到近似解析解,并得到系統(tǒng)的幅頻響應特性曲線,并在Matlab 中應用四階定步長Runge-Kutta 法求出數(shù)值解,所得結(jié)果與解析解對比驗證,然后分析座椅懸架系統(tǒng)參數(shù)變化對座椅共振曲線的影響,最后對座椅垂直方向振動進行穩(wěn)定性分析,利用李雅普諾夫一次近似穩(wěn)定性理論得出穩(wěn)定性條件。

1 系統(tǒng)模型

路面的振動與沖擊經(jīng)過輪胎、懸架、駕駛室地板、座椅傳遞到車內(nèi)駕駛員,整個振動傳遞系統(tǒng)是一個耦合的、非線性和不確定的系統(tǒng),根據(jù)不同的研究對象,須建立不同的力學模型,為了更好地研究座椅懸架系統(tǒng)的非線性振動特性,排除不同路面激勵、不同輪胎類型和不同整車懸架參數(shù)對座椅振動特性的影響,將人-椅系統(tǒng)從車輛中分離出來,簡化為一個非線性單自由度受迫振動模型,如圖1所示,路面的振動與沖擊經(jīng)過輪胎和整車懸架傳遞到駕駛室,地板的振動作為座椅系統(tǒng)的激勵輸入q,座椅懸架彈簧的彈力為非線性力,如圖1所示,假設系統(tǒng)為弱非線性系統(tǒng),采用三次多項式表示,得出彈簧力的計算公式：

圖1 座椅懸架系統(tǒng)模型

F(x)=kx+εkx3（1）

式中,x為彈簧位移；k為非線性彈簧剛度；ε為非線性小參數(shù)（0<ε<1）,表示彈簧的非線性程度。

對座椅懸架系統(tǒng)進行受力分析,由牛頓第二定律得到支承座椅懸架系統(tǒng)的振動微分方程表示為：

式中,m 為簧載質(zhì)量,c1為座椅懸架的阻尼系數(shù),q為車身地板激勵。

其中w為激勵圓頻率,B為激勵幅值。

2 平均法求解非線性方程組

由于（4）中的ε是小量,根據(jù)平均法的求解步驟,得出（4）的解為：

其中a、θ均為時間t慢變函數(shù)。

由（5）可以導出：

將z=acosφ代入

則將式（7）求導再聯(lián)立式（8）得到：

又有a?cosφ+aθ?sinφ=0 則：

同理可得：

此時認定θ和a在φ的一個周期即2π內(nèi)不發(fā)生變化并將上述式子的右項以一個周期內(nèi)的平均值代替,得出近似的方程組：

積分后得到：

令θ?=0,a?=0 可以得到上述方程組在主共振時的定常解,那么非0平衡點就必須滿足方程：

求解上述方程組,消去θ可得主共振時頻率w與振幅a之間的關系式：

式（16）是關于a2的一元三次方程,可以繪出不同參數(shù)變化的幅頻共振曲線。

3 數(shù)值仿真分析

為了驗證上述平均法的準確性,選擇一組參數(shù),進行數(shù)值仿真分析。如表1 所示,座椅懸架系統(tǒng)基本參數(shù)為：簧載質(zhì)量m=75 kg,非線性彈簧剛度k=30 kN∕m,阻尼系數(shù)c=800 N·s∕m,非線性小參數(shù)ε取0.1,底板激勵振幅B=0.1 m。

表1 座椅懸架系統(tǒng)基本參數(shù)

在Matlab 中進行數(shù)值計算,利用四階定步長龍格-庫塔法計算并得到系統(tǒng)幅頻曲線。如圖2所示,橫坐標為頻率,縱坐標為相對振幅,在定性方面,解析解和數(shù)值解變化的趨勢相同即隨著頻率增大相對振幅增大,到達共振峰以后趨于穩(wěn)定,在定量方面,共振峰高度分別為0.108 和0.102,相差5.5%,共振頻率分別為17.2 Hz和18.6 Hz,相差7.5%,出現(xiàn)誤差是由于在平均法計算過程中用平均值來代替某一量進行計算,所以會出現(xiàn)誤差,但是在可接受范圍（0～10%）內(nèi),從而驗證了平均法計算過程的準確性,說明本文用非線性平均法研究座椅懸架系統(tǒng)的非線性是有效的。

圖2 解析法與數(shù)值法所得幅頻響應曲線

如圖3不同激勵幅值對比可知,系統(tǒng)為弱非線性系統(tǒng),ε取較小值為0.1,非線性彈簧剛度和阻尼系數(shù)均不變,在達到共振峰前系統(tǒng)呈現(xiàn)近似線性特性,并且隨著激勵幅值的增大即B=0.1,0.2,0.4 m時,共振頻率分別為17,15,10在逐漸變小,共振峰為0.36,0.38,0.40 在不斷增大,增大了5.6%和5.3%,因此由于系統(tǒng)的非線性會導致改變激勵幅值對共振頻率和共振峰均產(chǎn)生影響。

圖3 不同激勵幅值的幅頻響應曲線

考慮ε對乘坐舒適性的影響時,保持其他參數(shù)不變,并且保持激勵幅值較大（B=1）,改變參數(shù)ε的取值,使其分別等于0.3,0.6,0.9,得出幅頻曲線如圖4 所示,隨著ε取值的增大,共振頻率不斷增大,當ε為0.3 和0.6 時,兩條曲線振幅相差小于1%,3 條曲線的共振峰值分別為0.119,0.121,0.122,上升了1.7%和0.8%,且曲線擬合,若只考慮相對振幅,ε取值的大小對乘坐舒適性影響很小。

圖4 不同ε 的幅頻響應曲線

在其他參數(shù)不變的情況下,改變非線性彈簧剛度,使其分別為20,40,60 kN∕m時其幅頻響應曲線如圖5所示,共振峰值分別為0.78,0.82,0.92,上升了5.1%和12.2%,隨著非線性彈簧剛度的增加,kε的取值就會增大,非線性程度就越高,座椅相對振幅越大,乘坐舒適性越差。

圖5 非線性彈簧剛度不同的幅頻響應曲線

系統(tǒng)其他參數(shù)保持不變,阻尼系數(shù)c 分別為800,1 200,1 600 N·s∕m 時對振幅的影響如圖6 所示,可以看出,共振頻率分別在15,15 和16 Hz,變化很小,因此可以判斷得出阻尼對共振頻率的影響很小,但是對共振峰值影響很大,共振峰分別為1.1,0.88,0.8,降低了20%和9.1%,阻尼越大,共振峰值越小,并且共振前后,相對振幅變化不大,共振后隨著頻率的增大,相對振幅趨于穩(wěn)定。

圖6 不同阻尼系數(shù)的幅頻響應曲線

4 運動穩(wěn)定性分析

在實際工程問題中常需要判斷系統(tǒng)的某種穩(wěn)態(tài)運動是否是穩(wěn)定的,這需要對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。本文將穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為方程的零解穩(wěn)定性問題,即解的穩(wěn)定性由矩陣的特征值決定［11］,其運動的平均化方程為：

引入擾動變量δ=a-a0和η=θ-θ0,列出方程組在奇點(a0，θ0)附近的一次近似式：

其中sinθ0，cosθ0可由上式解出：

線性擾動的特征方程為：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知,q<0時奇點(a0,θ0)必不穩(wěn)定；q>0 時,若P>0 則奇點漸進穩(wěn)定。在實際情況下,簧載質(zhì)量、非線性彈簧剛度、阻尼系數(shù)等都不可能是負值,對正阻尼情況,c 一定大于0則P>0恒成立,因此得出該系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為q>0,q<0 為不穩(wěn)定條件,q=0 則介于不穩(wěn)定與穩(wěn)定之間。如圖7所示,實線與虛線分別表示穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū),可以看出頻率在3～4 Hz 系統(tǒng)發(fā)生了跳躍現(xiàn)象,該跳躍現(xiàn)象的出現(xiàn)可能是由于在非線性系統(tǒng)中,激勵頻率接近共振頻率時,系統(tǒng)發(fā)生了共振現(xiàn)象,振幅向下突躍,變得極不穩(wěn)定,其原因是由于同一頻率（3～4 Hz）,會出現(xiàn)多個振幅響應,產(chǎn)生多解的情況,之后隨著頻率的增大,系統(tǒng)又趨于穩(wěn)定。

圖7 幅頻響應曲線上的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)

5 結(jié)論

針對某貨車座椅懸架系統(tǒng)建立了系統(tǒng)模型和非線性運動微分方程,用非線性振動理論的平均法求解非線性運動微分方程并導出了座椅的幅頻響應曲線,并用四階定步長龍格-庫塔法進行數(shù)值驗證,最后進行穩(wěn)定性分析,得出以下結(jié)論：

（1）由平均法求解非線性方程組得出的解析解與數(shù)值仿真得出的數(shù)值解在定性方面變化趨勢相同,在定量方面共振峰分別為0.108和0.102 m,相差5.5 %,共振頻率分別為17.2 和18.6 Hz,相差7.5%,在可接受范圍（0～10%）內(nèi),說明平均法適用于研究座椅懸架系統(tǒng)的非線性振動特性。

（2）采用四階定步長龍格-庫塔法計算并得到系統(tǒng)幅頻曲線,對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真分析非線性參數(shù)變化對共振曲線的影響,發(fā)現(xiàn)非線性小參數(shù)ε的取值在一定范圍（0.3～0.9）內(nèi)取值越大,共振頻率越大,共振峰值變化很小僅上升1.7%和0.8%,激勵振幅B取值越大乘坐舒適性越差,共振峰值增加了5.6%和5.3%,在一定范圍內(nèi)（k=20～60 kN∕m）,非線性彈簧剛度k 越大,共振峰越大,上升了5.1%和12.2%,非線性特性逐漸增強,因此選擇盡可能小的k 值可以提高乘坐舒適性,而增大阻尼系數(shù)c的值,共振頻率變化小,共振峰值降低了20 %和9.1%,增加乘坐舒適性。

（3）對座椅運動進行穩(wěn)定性分析,根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得出穩(wěn)定性條件：q>0,并在幅頻特性曲線上繪出穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域,可以看出隨著激勵頻率的增加,頻率在3～4 Hz 系統(tǒng)發(fā)生了非線性跳躍現(xiàn)象,其原因是在這個區(qū)間系統(tǒng)發(fā)生了共振,所得結(jié)果可為座椅懸架系統(tǒng)的優(yōu)化設計和控制提供理論依據(jù)。