廣東省深圳市寶安區(qū)寶安小學(xué) 陳小玲

計數(shù)原理作為排列組合最基本的思想方法，分為“加法原理”和“乘法原理”。計數(shù)原理的概念，對于小學(xué)低年級的學(xué)生而言，較為抽象且難以理解，因此曹培英教授認(rèn)為“就知識而言，只是滲透與孕伏”。

如何讓小學(xué)生理解這兩個基本原理呢？在北師大版數(shù)學(xué)三年級上冊“搭配中的學(xué)問”中有涉及。本課的核心問題是小丑的服裝搭配問題，即小丑有2 頂帽子和3 條褲子的搭配，一共有多少種不同的搭配方式？運用“加法原理”可以這樣理解，第1 類，第1 頂帽子搭配3條褲子，有3 種不同的方法；第2 類，第2 頂帽子搭配3條褲子，有3 種不同的方法。這兩類可以用算式3+3=6表達。運用“乘法原理”理解，則強調(diào)分步討論，第1 步，選擇2 頂帽子中的其中1 頂，有2 種不同的方法；第2 步，選擇3 條褲子中的其中1 條，有3 種不同的方法。這兩步用算式2×3=6 表達。

以下是筆者在本課教學(xué)中的一些嘗試。

【教學(xué)片段】

（一）服裝搭配，初步感知計數(shù)原理

1.情境導(dǎo)入，自主探究

師：兒童節(jié)當(dāng)天，小丑皮皮接受了到學(xué)校表演的邀請，衣柜里有這些服裝，皮皮想給自己選一頂帽子和一條褲子，可以怎樣搭配呢？

活動1：

請你用學(xué)具擺一擺，可以怎樣搭配？一共有多少種不同的方法？

2. 有序枚舉，初步感知計數(shù)原理

學(xué)生借助學(xué)具擺一擺，有了不同的搭配方法。教師不急于讓學(xué)生分享匯報，而是引導(dǎo)學(xué)生：同學(xué)們都擺好了，找到了不同的搭配方法。咱們把這些方法記錄下來。

活動2：

記一記：用你喜歡的方式（畫一畫、記一記或?qū)懸粚懙龋瑢⒉煌臄[法記錄下來。

算一算：請用算式表達一共有多少種不同的方法。

3.展示交流，滲透計數(shù)原理

師：對比這兩種方法（如圖1、圖2），哪里不一樣？

圖1

生1：第一個同學(xué)漏了一種方法。

師：那他究竟少了哪一種？

生1：少了尖帽子和格子褲子的搭配。

師：請你分析一下，是什么原因?qū)е滤佼嬃艘环N？

生1：可能他還沒畫完。

生2：你看他畫得有點亂，如果他能按照順序畫就不會漏了，先用尖帽子搭配3 條褲子，再用方帽子搭配3 條褲子，3+3=6（種），一共有6 種方法，這樣就不會有錯了。

師：那第二個同學(xué)的呢？

生3：他用第1 頂帽子搭配3 條褲子，第2 頂帽子搭配3 條褲子。

師：同學(xué)們分析得真好??！也就是說，我們在思考問題的時候，要按照一定的順序，才能做到不遺漏，也不重復(fù)。

思考：在教學(xué)中滲透計數(shù)原理的思想方法，首先要引導(dǎo)學(xué)生有序思考，不遺漏、不重復(fù)地找全所有不同的方法。在教學(xué)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷亂序排列及有序排列的對比，感知“有序思考”有助于快速、全面地解決問題。

師：這個同學(xué)記錄的方式（如圖3）跟剛才兩個同學(xué)的有什么不同？

圖3

生1：他們的搭配方法是一樣的，只不過這個同學(xué)用的是連線，第1 頂帽子連3 條褲子，第2 頂帽子連3 條褲子。

師：我們看他的算式是2×3=6（種），這里的2 和3分別表示什么？

生2：2 表示的是2 頂帽子，3 表示3 條褲子，搭配起來就是6 種方法。

思考：相對于逐一畫出每種搭配方法，這種連線的方法顯然更方便。在搭配過程中，學(xué)生已經(jīng)初步具有分類的意識，懂得運用“加法原理”進行解析。

師：再來看這種記錄方式（如圖4），你們能看明白嗎？

圖4

生1：他用三角形表示帽子，用正方形表示褲子。

師：同學(xué)們用畫圖、文字、數(shù)字、圖形等方式記錄了搭配方法。大家認(rèn)為哪種記錄方式更簡便？

生2：用圖形。

師：是的，我們在記錄的時候可以用圖形替代。

思考：相對于象形圖，抽象圖形等記錄方式本質(zhì)是符號記錄方式，不同記錄方式的逐一呈現(xiàn)，使學(xué)生經(jīng)歷具象到抽象的數(shù)學(xué)化過程，激活學(xué)生的符號意識。而符號意識的培養(yǎng)，有助于學(xué)生應(yīng)用計數(shù)原理分析問題，因此也是本課的教學(xué)重點。

師：再來看這個同學(xué)的搭配方法（如圖5），與剛才展示的有什么不同？請小組討論30 秒。

圖5

生1：他用1 條褲子搭配2 頂帽子，再用1 條褲子搭配2 頂帽子，再用1 條褲子搭配2 頂帽子。一共有6種方法。

師：他沒有寫算式，你們認(rèn)為他會用什么算式表達？

生2：2+2+2=6。

生3：2×3=6。

師：剛剛我們也運用了算式2×3=6（指板書），它們表示的意思相同嗎？

生4：剛才是用帽子分別搭配褲子，現(xiàn)在是用褲子搭配帽子。

師：也就是說，前面的方法是先選擇了帽子，再搭配褲子，而后面的方法是先選擇了褲子，再搭配帽子。兩者都可以用算式2×3 表示。

思考：從不同的思考角度詮釋2×3 所表達的意義，分步思考（第一步選擇帽子，第二步選擇褲子；也可以第一步選擇褲子，第二步選擇帽子），滲透乘法原理。

4.增加一條褲子，巧妙滲透乘法原理

師：當(dāng)皮皮拿出帽子和褲子時，他發(fā)現(xiàn)衣柜里還有一條褲子，現(xiàn)在又有多少種不同的方法呢？

生1：剛剛說1 條褲子可以搭配2 頂帽子，也就是說在原來的6 上面再上2 種方法，所以是6+2=8。

師：非常棒！你懂得用遞推的方式，在原來的基礎(chǔ)上增加兩種方法。

生2：還可以用2×4=8。2是2頂帽子，4是4條褲子，1 條褲子可以搭配2 頂帽子，4 條褲子就有8 種搭配方法。

師：說得真好，4 條褲子，搭配2 頂帽子，就可以用2×4=8 來表示。

思考：沒有操作學(xué)具或畫圖，學(xué)生給出算式6+2=8,在原有討論的基礎(chǔ)上遞推，理解在原有的3 個2 的基礎(chǔ)上，再增加一個2，也就有了4 個2。這說明學(xué)生已經(jīng)能自覺地運用計數(shù)原理在腦海里進行圖像表征，并用語言描述。

二、路線搭配，體驗計數(shù)原理的應(yīng)用

1.變換情境，應(yīng)用計數(shù)原理

師：皮皮在學(xué)校表演完了，下午他要趕往動物園參加下一場表演。這是學(xué)校到動物園的路線圖（圖略）。從學(xué)校經(jīng)過少年宮，再到動物園，一共有多少條不同的路線？請你用喜歡的方式記錄所有的路線。

師：對比一下，你們有什么想說的？

生1：我認(rèn)為圖6 的方法比較好，他把路線圖畫出來了，我們就知道路是怎么走的。

圖6

生2：我認(rèn)為圖7 的方法比較好，題目問我們一共有多少條路可以走，而且圖6 已經(jīng)標(biāo)明字母了，走A 路再走C 路或者D 路或者E 路，還可以走B 路，再走C 路或者D 路或者E 路，一共有6 條路線。

圖7

師：算式2×3=6 表示什么意思？

生3：從A 路走，可以選擇3 條路，從B 路走可以選擇3 條路，所以用2×3=6。

思考：低年級的學(xué)生處于具象思維階段，看到地圖抽象出簡單的曲線圖，是抽象思維的初步發(fā)展，而圖7 學(xué)生直接用字母表示，具有一定的符號意識，進一步發(fā)展了抽象思維。圖7 的記錄方式及算式表明學(xué)生懂得運用加法原理解決問題。

2.各增加一條路

師：如果從學(xué)校到少年宮增加一條路，從少年宮到動物園也增加一條路，請思考，從學(xué)校到動物園一共有多少條不同的路線？（如圖8）同桌之間商量。

圖8

生：A 和C、A 和D、A 和E、A 和G,這里就有4 條路， B 也可以和C、D、E、G 一起，有4 條路，F(xiàn) 也是一樣的，所以3×4=12。

生：剛才從學(xué)校到少年宮有2 條路，從少年宮到動物園有3 條路，我們用2×3=6 表示。所以，從學(xué)校到少年宮有3 條路，從少年宮到學(xué)校有4 條路，就用3×4=12 表示。

師：是不是這樣理解，從學(xué)校到少年宮有3 條路，我們?nèi)芜x一條，有3 種方法，從少年宮到動物園有4 條路，任選一條，有4 種方法，一共有3×4=12（條）。

思考：學(xué)習(xí)至此，學(xué)生用枚舉的策略、遷移的策略，說明乘法原理在起作用。課堂上不明示“計數(shù)原理”“加法原理”“乘法原理”等概念，但不影響相關(guān)的知識已經(jīng)滲透。

三、總結(jié)提升，聯(lián)結(jié)計數(shù)原理

師：請同學(xué)們思考“搭配服裝”和“去動物園的路線”這兩個不同的情境，它們有哪些方面是相同的？

生1：都是搭配問題。

生2：記錄搭配的方法是相同的。

生3：比如說，2 頂帽子搭配3 條褲子，可以用2×3=6，2 條路搭配3 條路也可以用2×3=6。

師：雖然情境不同，但都屬于搭配問題，可以用相同的方法記錄，都是可以先選擇帽子，再搭配褲子；或者，先選擇左邊的路，再選擇右邊的路。這就是我們今天學(xué)習(xí)的有關(guān)搭配的知識。

思考：低年級學(xué)生缺乏概括、聯(lián)結(jié)知識的能力，不同情境的對比與歸納，有助于學(xué)生總結(jié)、概括同類知識，讓計數(shù)原理的滲透再次得到加強。

計數(shù)方法中涉及的“加法原理”和“乘法原理”是高中排列組合的基礎(chǔ)，在教材中要到高中才開始學(xué)，但這絲毫不影響在小學(xué)進行這種思想的滲透。在本節(jié)課中，學(xué)生通過動手用實物擺一擺、記一記（用自己的方法記錄擺的過程）、說一說（將自己記錄的方法與同學(xué)交流）的活動，對“加法原理”和“乘法原理”有了初步的感悟。