張惠芬

［摘? 要］ 教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源，用好教材能夠幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，深化知識理解，對教學(xué)效果起到事半功倍的作用. 教師要深入研究教材，明確教學(xué)目標(biāo)，立足學(xué)情，有效整合教學(xué)內(nèi)容，靈活運(yùn)用教材，滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中激活思維，感受數(shù)學(xué)的價值，落實核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 研究教材；激活思維；三線八角

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源，用好教材對提高教學(xué)效果具有極其重要的作用. 教師應(yīng)深入研究教材內(nèi)容，厘清教材編寫脈絡(luò)，明確教材知識編排的明線和暗線，挖掘教材潛藏的思想方法，領(lǐng)悟教材的價值意蘊(yùn)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 本文以“三線八角”的教學(xué)為例，談一談在教學(xué)中如何靈活使用教材，來激活學(xué)生的思維，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲，促進(jìn)智慧課堂的生成.

教學(xué)實錄

1. 復(fù)習(xí)導(dǎo)入，溫故知新

問題1? 同學(xué)們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些有關(guān)“角”的知識，相信大家一定還有印象，現(xiàn)在你們能說出角的概念嗎？

生1：角的概念有兩種，一種是通過一個公共端點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形，另一種是一條射線OA從原來的位置繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到另外一個位置OB形成的圖形.

師：我們學(xué)過兩條直線相交形成的角與角之間的關(guān)系，誰能說一說圖1中每對角之間有什么關(guān)系呢？

生2：圖1中的四個角互為對頂角或鄰補(bǔ)角，如∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，∠1和∠3則互為對頂角.

師：很好，這些角存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生3：∠1和∠3，∠2和∠4互為對頂角，對頂角相等；∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4以及∠4和∠1互為鄰補(bǔ)角，互為鄰補(bǔ)角的兩個角的和等于180°.

設(shè)計意圖通過角的概念的復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生對角的記憶，激活學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，為新知導(dǎo)入奠定基礎(chǔ).

2. 探究新知，深度學(xué)習(xí)

問題2? 同學(xué)們已經(jīng)熟練掌握了兩條直線相交構(gòu)成的角之間的關(guān)系，那么三條直線相交構(gòu)成的角之間又有怎樣的關(guān)系呢？

生4：三條直線相交按照交點(diǎn)個數(shù)可以分成以下兩種情況.第一種情況，如圖2所示，三條直線相交于一點(diǎn)；第二種情況，如圖3所示，三條直線相交有兩個交點(diǎn).

師：很好，同學(xué)們思考這個問題時采用了數(shù)學(xué)中一種常見的研究方法——分類討論法. 我們能不能將圖2和圖3中的角進(jìn)行分類呢？能否按照我們學(xué)過的對頂角和鄰補(bǔ)角進(jìn)行分類呢？

生5：圖2中的∠1和∠3以及圖3中的∠1和∠5既不屬于對頂角也不屬于鄰補(bǔ)角，因此我們不能按照對頂角和鄰補(bǔ)角進(jìn)行分類，但是我們可以將兩幅圖中的角分為有公共頂點(diǎn)的角和沒有公共頂點(diǎn)的角.

師：非常好，大家進(jìn)行分類討論時，首先要明確的是分類標(biāo)準(zhǔn). 生5發(fā)現(xiàn)對頂角和鄰補(bǔ)角都有公共頂點(diǎn)，因此按照是否有公共頂點(diǎn)分類可以將圖中所有的角都包含進(jìn)去. 在圖3中，直線AB，CD與EF相交構(gòu)成了八個角，今天我們就來重點(diǎn)研究其中沒有公共頂點(diǎn)的角.

請同學(xué)們觀察圖3中的∠1和∠5，∠6，∠7，∠8的位置，∠2和∠5，∠6，∠7，∠8的位置，它們之間具有哪些共同特征？

生6：它們的頂點(diǎn)以及一條邊都在直線EF上.

師：是的，觀察得非常仔細(xì). 因為直線EF與AB，CD相交，所以我們稱直線EF為直線AB，CD的截線. 也可以稱直線AB，CD被直線EF所截.

師：接下來我們一起探究圖3中的∠1和∠5具有怎樣的位置關(guān)系. 大家先觀察這兩個角的邊以及具體的位置關(guān)系.

生7：∠1和∠5都有一條邊在截線EF的左邊，并且∠1和∠5分別在直線AB和CD的上方.

師：是的. 我們可以從圖中觀察到∠1和∠5這兩個角不僅都在截線EF的同一側(cè)，而且都在直線AB，CD的同一方，我們將具有這樣位置關(guān)系的一對角稱為同位角. 我們在圖3中還能發(fā)現(xiàn)具有這種位置關(guān)系的角嗎？

生8：同位角還有∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7.

師：找得很準(zhǔn)確，那么我們找同位角有什么訣竅嗎？請大家總結(jié)尋找同位角的方法.

生9：我認(rèn)為找同位角時可根據(jù)它的定義去確定，先確定兩個角都在截線的左側(cè)或右側(cè)，再確定兩個角在直線AB，CD的上方或下方.

師：這位同學(xué)總結(jié)得非常準(zhǔn)確，我們能否根據(jù)這位同學(xué)總結(jié)的“秘訣”來分析其他沒有公共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系呢？能否仿照同位角的定義給其他角命名呢？

生10：∠1和∠6由于處在截線的兩側(cè)，因此不屬于同位角，但是這兩個角都位于直線AB，CD的上方，因此可以把這兩個角的位置關(guān)系命名為同向錯角.

師：很好，根據(jù)生10的解釋，我們還能在圖3中找出其他同向錯角嗎？

生11：圖3中的同向錯角還有∠2和∠5，∠4和∠7，∠3和∠8.

師：很好，圖3中除了同向錯角和同位角這兩種位置關(guān)系外，還有其他位置關(guān)系嗎？

生12：圖3中還有∠1和∠7以及∠1和∠8的位置關(guān)系不屬于同位角和同向錯角. ∠1和∠7在截線EF的兩邊，并且∠1和∠7分別在直線AB和CD的外側(cè)，所以∠1和∠7的位置關(guān)系可以稱為異向錯角或外錯角.

師：非常好，那么圖3中還有其他外錯角嗎？

生13：還有∠2和∠8.

師：再觀察圖3，還有其他角的位置關(guān)系沒有討論嗎？

生14：∠1和∠8的位置關(guān)系與前面的都不一樣，因為∠1和∠8都在截線EF的同一邊，并且∠1和∠8分別在直線AB和CD的外側(cè)，兩個角這樣的位置關(guān)系，我們可以稱為同旁外角. ∠2和∠7也同樣是同旁外角.

師：剛才我們討論了“三線八角”中的同位角、同向錯角、外錯角以及同旁外角的關(guān)系，現(xiàn)在根據(jù)我們討論的結(jié)果，請大家填寫表1.

師：請同學(xué)們根據(jù)表1的統(tǒng)計，觀察圖3中還有哪些沒有公共頂點(diǎn)，也沒有討論過它們位置關(guān)系的一對角？

生15：根據(jù)表1的統(tǒng)計我們發(fā)現(xiàn)，∠3和∠5，∠3和∠6，∠4和∠5，∠4和∠6的位置關(guān)系還沒有討論.

師：下面讓我們根據(jù)討論同位角、同向錯角、外錯角、同旁外角的經(jīng)驗來分析以上四對角的位置關(guān)系.

生16：因為∠3和∠5在截線EF的兩側(cè)，并且∠3和∠5在被截線AB和CD的內(nèi)側(cè)，根據(jù)剛才的討論經(jīng)驗，可稱∠3和∠5為內(nèi)錯角. ∠4和∠6也是內(nèi)錯角.

生17：由于∠3和∠6在截線EF的同一邊，并且∠3和∠6在被截線AB和CD的內(nèi)側(cè)，因此可稱∠3和∠6為同旁內(nèi)角. ∠4和∠5也是同旁內(nèi)角.

師：很好，現(xiàn)在圖3中所有沒有公共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系我們都討論了. 接下來請同學(xué)們觀看表2，將一對角不同的位置關(guān)系填寫下來.

設(shè)計意圖? 本環(huán)節(jié)中，通過連續(xù)追問的方式引領(lǐng)學(xué)生利用分類討論思想探究“三線八角”中沒有公共頂點(diǎn)的一對角的位置關(guān)系，使學(xué)生理解同位角、同向錯角、內(nèi)錯角、外錯角以及同旁外角和同旁內(nèi)角的概念，并逐步掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)和深度探究.

3. 總結(jié)歸納，提煉升華

師：今天我們用一節(jié)課的時間在合作探究中分析了三條線相交構(gòu)成的沒有公共頂點(diǎn)的一對角的位置關(guān)系——經(jīng)過分類討論一共找到了六種不同的位置關(guān)系，教材主要討論的是表3所示的三種不同的位置關(guān)系. 學(xué)習(xí)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角主要是為學(xué)習(xí)“平行線及其判定”做準(zhǔn)備，而外錯角、同旁外角、同向錯角這三種位置關(guān)系可以在平行線中根據(jù)已知的三種位置關(guān)系（同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角）推導(dǎo)出來.

生18：剛剛老師提到了平行線，我突然想到三條線相交是不是還有其他情形呢？假設(shè)直線AB與直線CD相交，可以再構(gòu)成四個角，所以我覺得應(yīng)該是“三線十二角”，只有當(dāng)直線AB與直線CD不相交時，才是“三線八角”. 而要滿足直線AB與直線CD不相交，應(yīng)該就是這兩條直線平行.

師：生18思考得非常嚴(yán)密，假設(shè)直線AB與直線CD相交，就會構(gòu)成圖4所示的“三線十二角”，那么這十二個角之間又存在怎樣的位置關(guān)系呢？

生19：我們可以用研究圖3的方法，分類討論圖4中的角，即將其分成有公共頂點(diǎn)的角和沒有公共頂點(diǎn)的角兩大類. 根據(jù)已有知識，我們知道有公共頂點(diǎn)的角是對頂角或鄰補(bǔ)角，而沒有公共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系的確定關(guān)鍵是明確截線和兩個角的頂點(diǎn)以及邊的關(guān)系. 其中八個角的頂點(diǎn)與一條邊都在同一條直線上，這條直線就是截線，接下來再確定截線的方向.

師：很好，但是這種討論方法過于煩瑣，我們有無其他更加清晰的討論方法呢？

生20：圖4中的直線相交的情形比圖3更復(fù)雜，如果我們?nèi)匀话凑請D3的情形進(jìn)行分類，顯得比較煩瑣. 我覺得可以截線和被截線分類. 例如，第一類是“EF是截線，AB，CD是被截線”；第二類是“CD是截線，AB，EF是被截線”，以此類推，這樣的分類討論會更加清晰.

師：非常好，同學(xué)們不僅學(xué)會了探究“三線八角”的方法，還總結(jié)和遷移了這種探究方法，能夠熟練運(yùn)用分類討論思想，能靈活使用分類標(biāo)準(zhǔn)探討不同位置的角的關(guān)系，掌握了探究角的位置關(guān)系的“訣竅”，相信同學(xué)們可以將這種討論探究問題的方法應(yīng)用到更多的數(shù)學(xué)問題中.

課例評價

在講述同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的概念時，教師一般會先直接講述概念，使學(xué)生初步認(rèn)識不同位置的角的關(guān)系，接著通過練習(xí)讓學(xué)生掌握和鞏固這些概念. 這樣的教學(xué)方法能夠使學(xué)生基本掌握本節(jié)課的知識點(diǎn)，經(jīng)過反復(fù)練習(xí)也許能達(dá)到熟練的程度. 但是這樣的教學(xué)方法始終使學(xué)生處于被動接受狀態(tài)，學(xué)生只能被教師牽著走，通過強(qiáng)行記憶掌握知識，沒有真正理解“三線八角”的本質(zhì)以及掌握研究“三線八角”的數(shù)學(xué)思想和方法，缺少思維鍛煉，無法點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情，喪失了學(xué)習(xí)興趣. 結(jié)合本節(jié)課案例，筆者有以下幾點(diǎn)感想.

1. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升思維能力

講解“三線八角”的內(nèi)容時，教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論圖2和圖3中的角，不僅使學(xué)生深刻掌握了分類標(biāo)準(zhǔn)和基礎(chǔ)，還幫助學(xué)生提升了思維能力.

2. 整合教材內(nèi)容，提升教學(xué)效果

教師靈活使用教材，沒有按照教材中的內(nèi)容按部就班地教學(xué)，而是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行整合和設(shè)計，踐行“用教材教，而不是教教材”的教育理念. 同時教師對教材中的三種角的位置關(guān)系進(jìn)一步進(jìn)行闡述，拓寬了學(xué)生的視野，使學(xué)生能夠自然地領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，不僅知其然而且知其所以然.

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的工具，是知識的載體，是師生互動的橋梁和紐帶. 在教學(xué)中，教師要研究教材的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，將教材體系轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)體系，使之滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的要求，讓學(xué)生煥發(fā)活力，讓課堂彰顯靈性.