章苗

［摘? 要］ 幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生直觀體驗圖形變化，培養(yǎng)學(xué)生空間意識的重要工具. 幾何畫板的使用，使抽象的圖形變化更加具體形象，從而從感性認識上升到理性認識，激發(fā)課堂的活力，使學(xué)生從親身體驗中生成自我認識，體會數(shù)學(xué)的實質(zhì)和內(nèi)涵，感受數(shù)學(xué)的魅力.

［關(guān)鍵詞］ 幾何畫板；課堂活力；實質(zhì)內(nèi)涵

函數(shù)與幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個重要方面，對于初中階段的學(xué)生剛剛接觸幾何圖形的相關(guān)證明來說，是一個困擾許多學(xué)生的難點. 同時初中階段開始初步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)圖象的變化也常常讓很多學(xué)生“望而生畏”，然而這些內(nèi)容又是初中數(shù)學(xué)教學(xué)和考察的重點內(nèi)容，不容忽視. 圖形的變化較為抽象，學(xué)生缺少實際的體驗和感受，在學(xué)習(xí)過程中只能依靠記憶和模仿，生硬的套用公式或者總結(jié)的規(guī)律進行運用，難以調(diào)動知識進行綜合運用，在遇到復(fù)雜性的綜合題時就變得一籌莫展了. 因此教師要嘗試創(chuàng)造學(xué)生能夠親身感受的平臺，讓學(xué)生體會知識的發(fā)生和發(fā)展，真正開展思維活動，激發(fā)思維碰撞的火花，才能為課堂注入鮮活的生命力.

幾何畫板的使用為教師的教學(xué)提供了一個更加便捷的工具，使圖形變化的呈現(xiàn)更加生動，使數(shù)學(xué)課堂“活”了起來. 幾何畫板能夠使靜止的圖形呈現(xiàn)動態(tài)性，具備非常強大的圖形、圖象變化和動畫演示功能，并且?guī)缀萎嫲迨褂梅奖?，簡明樸素，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了一種便捷的方法. 幾何畫板可以給學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)時提供一種幾何實驗的情境，為教學(xué)中研究幾何圖形的變化提供了更加便捷的平臺. 因此，教學(xué)中研究幾何畫板如何更加有效地使用具有非常重要的價值.

幾何畫板，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶給很多學(xué)生的感受都是枯燥乏味的，為了應(yīng)試被動學(xué)習(xí)，常常容易產(chǎn)生厭倦的不良情緒，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提不起興趣. 事實上，數(shù)學(xué)是一門非常有魅力的學(xué)科，仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)生活中處處都有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的神奇無處不在. 之所以學(xué)生難以感受數(shù)學(xué)之美，是因為在教學(xué)中教師的教學(xué)模式過于僵化，一直停留在“教師講學(xué)生聽”的層面，沒有為學(xué)生創(chuàng)造思考互動的平臺，留給學(xué)生交流練習(xí)的空間非常有限，導(dǎo)致學(xué)生感受不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣. 新課程的學(xué)習(xí)理念要求課程內(nèi)容活動化，學(xué)生能夠在活動中收獲知識，就需要教師在教學(xué)中開展豐富的體驗活動，使學(xué)生增強自身感受，獲得體悟. 幾何畫板能夠向?qū)W生展示圖形變化的全部過程，使圖形、色彩、聲音、文字集于一體，將復(fù)雜、靜止的畫面表現(xiàn)得更加簡便、生動，枯燥的知識變得更加生動和具體，激發(fā)學(xué)生探究的好奇心.

幾何畫板，創(chuàng)設(shè)問題情境

問題是教學(xué)載體，有效的問題情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，使教學(xué)過程更加順暢，課堂氣氛更加融洽. 利用幾何畫板進行問題情境的創(chuàng)設(shè)可以使教學(xué)中的問題更加貼近學(xué)生的實際生活，更加生動具體.

案例1? 九年級“圖形的旋轉(zhuǎn)”.

教師通過多媒體展示出幾個圖形動畫，動畫結(jié)束后，出現(xiàn)了一些圖案（如圖1所示）.

學(xué)生都被這樣驚奇的變化吸引住了，立即產(chǎn)生了濃厚的探究興趣，這樣的導(dǎo)入可以使學(xué)生很快進入學(xué)習(xí)的狀態(tài)，調(diào)動學(xué)生探究的好奇心. 好的開始是成功的一半，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已經(jīng)為課堂教學(xué)的順利展開奠定了基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)動力的驅(qū)使下，學(xué)生能夠結(jié)合具體的學(xué)習(xí)情境，調(diào)動已有的知識，運用思維能力進行分析、聯(lián)想和類比等方法，深入學(xué)習(xí)探索，掌握圖形的“平移”“旋轉(zhuǎn)”等概念和知識，并且會運用知識遷移解決具體問題，學(xué)會怎樣進行自主作圖. 教師引導(dǎo)學(xué)生深入理解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，不僅學(xué)會圖形的旋轉(zhuǎn)知識，并且引領(lǐng)學(xué)生自己設(shè)計圖案，課堂進行展示，讓學(xué)生感受收獲學(xué)習(xí)成果的喜悅.

在本章節(jié)中的中心對稱知識也可以利用幾何畫板進行演示，加強學(xué)生的印象，深入理解變換過程中坐標的變化. 如圖2中，任意移動圖中的點A、B、C以及A′、B′、C′中的任意一點，改變原有線段的長度或者方向，圖中的坐標也會隨之改變，呈現(xiàn)出具體的數(shù)值，可以讓學(xué)生直觀地看到各對應(yīng)點之間的橫坐標和縱坐標之間的變化與原有的橫坐標和縱坐標之間的關(guān)系.

幾何畫板，指引思考方向

學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的增加是從體驗中不斷獲得知識和產(chǎn)生感受的過程，只有從直接的體驗中才能收獲知識學(xué)習(xí)的意義. 因此教師需要創(chuàng)設(shè)學(xué)生體驗的情境和活動，讓學(xué)生能夠從做中學(xué)，實踐和做事的過程就是學(xué)習(xí)的過程.

案例2? “直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué).

本課的教學(xué)內(nèi)容較為抽象，因此學(xué)生在理解直線與圓的不同位置關(guān)系時容易出現(xiàn)較大的困擾，為了便于學(xué)生的理解，筆者在課前要求學(xué)生收集大量相關(guān)的實際素材，從實際生活中查找相關(guān)的資料. 同時筆者在研究具體教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)了相關(guān)的探究問題，嘗試利用幾何畫板制作教學(xué)課件增強感官刺激，加強視覺印象，為理性探究奠定基礎(chǔ). 這一教學(xué)內(nèi)容中，直線與圓的相切關(guān)系是其中的思維難點也是這一課的教學(xué)重點. 課件操作如下：

（1）如圖3所示，畫出一條任意直線l和一個圓O，圓O的半徑為r，過該圓圓心O作直線l的垂線，垂足為E.

（2）拖動直線l或直線l上的任意一點A或點B，使直線與圓的位置發(fā)生改變，學(xué)生可以從不同的位置動態(tài)地觀察直線與圓位置的變化，并讓學(xué)生思考：直線與圓有幾個交點？同時注意觀察圓心到直線的距離，即線段OE的長度的變化，猜想它的長度與圓的半徑之間的關(guān)系.

經(jīng)過實踐操作，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)在圓與直線變化的過程中呈現(xiàn)的規(guī)律和特征：當(dāng)圓心與直線的距離小于圓的半徑時，直線與圓有兩個交點，它們的位置關(guān)系稱為相交；當(dāng)圓心與直線的距離與圓的半徑相等時，直線與圓只有一個交點，它們的位置關(guān)系稱為相切；當(dāng)圓心與直線的距離大于圓的半徑時，直線與圓沒有交點，它們的位置關(guān)系稱為相離.

通過幾何畫板的使用，學(xué)生的觀察更加直接，得到的感受更加深刻，擺脫了依靠生硬的記憶和生硬模仿的學(xué)習(xí)方式，提升了對知識的理解程度.

案例3圓的內(nèi)接四邊形.

教師首先應(yīng)用幾何畫板展示如圖4所示的圖形，引導(dǎo)學(xué)生思考四邊形ABCD與圓O之間的關(guān)系，同時帶領(lǐng)學(xué)生回顧已學(xué)的平行四邊形、菱形、正方形等四邊形的相關(guān)知識. 接著借助幾何畫板學(xué)生開始動手操作，任意畫圓以及圓的內(nèi)接四邊形，通過親手度量四邊形的邊、角等要素，開展小組討論，梳理四邊形的邊、角等與圓的半徑之間的關(guān)系. 經(jīng)過觀察、動手實踐、度量等過程，學(xué)生證明了自己的猜想，得到了相關(guān)的結(jié)論.

以探究性問題引導(dǎo)學(xué)生進行實踐操作，經(jīng)過實驗觀察，總結(jié)形成結(jié)論，這種在問題引導(dǎo)下進行的探究學(xué)習(xí)類似于數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的探究過程. 正是這種探究實踐和精神啟發(fā)學(xué)生能夠主動發(fā)現(xiàn)問題、獨立思考研究，在主動獲取中感受數(shù)學(xué)知識形成的神奇過程，體會數(shù)學(xué)之美，感受知識的發(fā)展和形成. 實踐體驗真理，學(xué)生在自己的親手實踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，拉近數(shù)學(xué)與實際生活的距離，從而主動輕松地掌握數(shù)學(xué)知識.

幾何畫板，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

幾何畫板不僅能夠幫助學(xué)生理解一些圖形的變化和抽象的數(shù)學(xué)概念以及定理，使課堂教學(xué)更加生動外，還能使傳統(tǒng)解題中枯燥乏味的講解更加直觀和立體，使生硬的講解更加生動，可以彌補傳統(tǒng)講解的缺陷.

案例4? 證明等腰三角形底邊上的點到腰的距離與腰上的高之間的關(guān)系.

如圖5所示，等腰三角形ABC中，AB與AC相等，BC上有任意一點D，DE與AB垂直，垂足為E，DF與AC垂直，垂足為F，BH與AC垂直，垂足為H. 證明：DE與DF的和與BH相等.

這是一道經(jīng)典的證明題，難度雖然不大，但是題型經(jīng)典，方法多樣，問題較為開放，對于訓(xùn)練學(xué)生的思維具有非常好的作用. 傳統(tǒng)的解題方式是通過幾何的證明完成的，較為抽象，利用幾何畫板通過平移線段可以讓學(xué)生直觀地觀察圖形之間的變化，強化思維印象.

變化1：當(dāng)延長線或者反向延長線上有一點D，結(jié)論就和剛才不一樣了，即DE與DF的差的絕對值等于BH.

變化2：當(dāng)點D運動到等腰三角形的內(nèi)部設(shè)為點O（如圖6所示），根據(jù)等腰三角形的形狀進行分類討論. 第一種，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀切∮?0度時，三角形三段高的和比腰上的高大. 第二種，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀谴笥?0度時，三角形三段高的和比腰上的高小. 第三種，當(dāng)?shù)妊切问钦切螘r，即每個角都等于60度，就可以得到結(jié)論：正三角形內(nèi)任意一點到三條邊的距離的和都等于等邊三角形的一條高.

變化3：如果這個點不在三角形的內(nèi)部，而運動到等邊三角形的外面時，那么結(jié)論與剛才有所不同，但是研究的方法是一樣的. 下面我們就來進行研究：

如圖7所示，設(shè)正三角形ABC的外面有一點P，點P到正三角形ABC三條邊或者延長線即AB，AC，BC的距離分別為h，h，h，正三角形ABC的高為h，通過觀察和數(shù)據(jù)計算，學(xué)生很容易能夠發(fā)現(xiàn)等邊三角形外一點到邊的距離與等邊三角形的高之間的關(guān)系. 利用幾何畫板使深奧難懂的知識變得較為容易理解，同時提高學(xué)生的抽象思維和概括能力. 學(xué)生通過自己的親手操作后，使本來無形的知識通過現(xiàn)實的有形操作來呈現(xiàn)，便于學(xué)生進行掌握，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也從無趣變得更加生動有趣，學(xué)生對知識的形成感到非常親切，對知識的理解自然水到渠成，學(xué)習(xí)變得輕松愉快.

幾何畫板，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，圖形為數(shù)學(xué)的運算提供了直觀的表現(xiàn)，數(shù)字為圖形的展示提供了依據(jù)，兩者結(jié)合可以使問題的解決更加形象和便捷. 在數(shù)學(xué)的發(fā)展變化中，數(shù)字與圖形在內(nèi)容上是相互聯(lián)系的，兩者相輔相成，互相推進，在一定的條件下還能進行相互轉(zhuǎn)化. 數(shù)形結(jié)合思想使代數(shù)與幾何方法在解題時相互滲透，融合了兩種方法的優(yōu)勢，能夠使形象思維與邏輯思維完美統(tǒng)一. 幾何畫板為數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用提供了平臺，能夠有效將兩者結(jié)合在一起，為解題能力的提高提供了條件.

由于圖形和圖象的靜態(tài)性使原本相互聯(lián)系的知識和事物割裂開來，導(dǎo)致學(xué)生不能從整體上進行觀察，也難以察覺知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，在探究解題路徑時出現(xiàn)了障礙，難以調(diào)動知識進行綜合應(yīng)用. 教學(xué)中通過幾何畫板的應(yīng)用，動態(tài)地展示問題，學(xué)生能夠自然地從整體上觀察事物，克服了靜態(tài)圖形的缺陷，調(diào)動了思維，實現(xiàn)知識的綜合運用.

案例5九年級“相似”一章中研究隨著動點變化引起的三角形內(nèi)接矩形的面積變化.

如圖8所示，在△ABO中，OA邊上任意一點C，以點C為頂點作△ABO的內(nèi)接矩形CDEF，使矩形的一邊CD在OA邊上，點C在邊OA上運動，矩形CDEF的面積也在發(fā)生變化. 設(shè)OC為x，建立x與矩形面積之間的函數(shù)關(guān)系. 當(dāng)x發(fā)生變化時，矩形面積也會相應(yīng)變化，總結(jié)變化規(guī)律. 矩形的面積有最大值嗎？最大值是多少？

利用幾何畫板制圖，建立關(guān)于x與矩形面積之間的函數(shù)關(guān)系，接著利用幾何畫板自動顯示當(dāng)點C運動時，對應(yīng)的動點I（x，S）（S為矩形的面積）的運動軌跡，改變△ABO的形狀，當(dāng)△ABO的底邊OA或者OA邊上的高發(fā)生變化時，拋物線的形狀也隨之變化. 如果已知底邊OA或者OA邊上的高，可以計算出矩形的最大面積.

數(shù)學(xué)中的綜合性復(fù)雜問題需要運用抽象思維能力、邏輯推理能力等，單純依靠教師很難講清楚，利用幾何畫板的強大功能，可以充分運用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)字與圖形充分結(jié)合起來，使學(xué)生被課堂教學(xué)深深地吸引，增強了課堂的趣味，活躍了課堂氛圍，大大激發(fā)了學(xué)生的好奇心，落實了學(xué)生的主體地位.

綜上所述是筆者在教學(xué)中對于如何使用幾何畫板進行的教學(xué)實踐，應(yīng)用幾何畫板與信息技術(shù)相結(jié)合可以大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)的生動性、準確性和趣味性，為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注入新的活力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)課堂“活”了起來. 學(xué)生在幾何畫板的助力下探究問題，真正實現(xiàn)主體地位的落實，有效提高了課堂教學(xué)的實效性，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和綜合素質(zhì)的提高提供了有利的條件.