曹洪

中考試卷中的綜合與實踐試題，通常采用項目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，要求考生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提升發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的水平，發(fā)展學(xué)習(xí)能力. 現(xiàn)以近年中考試卷中的綜合與實踐試題為例來說明.

例1 （2022·山西）綜合與實踐

【問題情境】在Rt△ABC中，[∠BAC=90°]，[AB=6]，[AC=8]. 直角三角板[EDF]中[∠EDF=90°]，將三角板的直角頂點[D]放在[Rt△ABC]斜邊[BC]的中點處，并將三角板繞點[D]旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊[DE]，[DF]分別與邊[AB]，[AC]交于點[M]，[N].

【猜想證明】

（1）如圖1，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點[M]為邊[AB]的中點時，試判斷四邊形[AMDN]的形狀，并說明理由；

【問題解決】

（2）如圖2，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)[∠B=∠MDB]時，求線段[CN]的長；

（3）如圖3，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)[AM=AN]時，直接寫出線段[AN]的長.

分析：（1）由三角形中位線定理可得MD[?]AC，可證[∠A=∠AMD=∠MDN=90°]，即可求解；（2）過點N作NG⊥CD于點G，由勾股定理可求出[BC]的長，由中點的性質(zhì)可得[CG]的長，由相似三角形即可求解；（3）連接MN，AD，過點N作NH⊥AD于H，通過證明點A，M，D，N四點共圓，可得[∠ADN=∠AMN=45°]，由直角三角形的性質(zhì)可求出[HN]的長，即可求解.

解：（1）四邊形[AMDN]是矩形. 理由如下：∵點[D]是[BC]的中點，點[M]是[AB]的中點，∴MD[?]AC，[∴∠A+∠AMD] = 180°. ∵∠A = 90°，[∴∠AMD] = 90°. ∵[∠A] = [∠AMD] = [∠MDN] = 90°，[∴]四邊形[AMDN]是矩形.

（2）如圖2，過點[N]作[NG⊥CD]于[G].

∵[AB=6]，[AC=8]，[∠BAC=90°]，[∴BC=AB2+AC2=10].

∵點[D]是[BC]的中點，[∴BD=CD=5].

∵[∠MDN=90°=∠A]，[∴∠B+∠C=90°]，[∠BDM+∠1=90°]，

∵[∠B] = [∠BDM]，[∴∠1=∠C]，[∴DN=CN].

又∵NG⊥CD，[∴DG=CG=52].

∵易證△CGN[∽]△CAB，∴[CGCN=ACBC]，[∴][52CN=810]，[∴CN=258].

（3）如圖3，連接[MN]，[AD]，過點[N]作[HN⊥AD]于[H].

∵[AM=AN]，[∠MAN=90°]，[∴∠AMN=∠ANM=45°].

∵[∠BAC+∠EDF=180°]，[∴]點A，M，D，N四點共圓，[∴∠ADN=∠AMN=45°].

∵[NH⊥AD]，[∴∠ADN=∠DNH=45°]，[∴DH=HN].

∵BD = CD = 5，[∠BAC=90°]，[∴AD=CD=5]，[∴∠C=∠DAC]，

易證△AHN[∽]△CAB，[∴HNAH=ABAC=34]，[∴AH=43HN].

∵[AH+HD=AD=5]，[∴DH=HN=157]，[AH=207]，

[∴AN=AH2+HN2=22549+40049=257].

點評：本題是三角形綜合題，主要考查三角形中位線定理、矩形的判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵.

例2 （2022·甘肅·蘭州）綜合與實踐：

【問題情境】

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖4，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點. 試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【思考嘗試】

（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題. 請在圖4中補全圖形，解答老師提出的問題.

【實踐探究】

（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖5，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題.

【拓展遷移】

（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：

如圖6，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，連接DP. 知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值. 當(dāng)AB = 4時，請你求出△ADP周長的最小值.

分析：（1）取AB的中點F，連接EF，利用同角的余角相等說明∠CEP = ∠FAE，再根據(jù)“ASA”證明△AFE≌△ECP，得AE = EP；（2）在AB上截取AF = EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP = ∠FAE，則△FAE ≌ △CEP（SAS），再說明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延長線于G，連接AG和PG，則△DCG是等腰直角三角形，可知點D與G關(guān)于CP對稱，則AP + DP的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG，即可得出答案.

解：（1）AE = EP. 理由如下：取AB的中點F，連接EF.

∵F，E分別為AB，BC的中點，∴AF = BF = BE = CE，

∴∠BFE = 45°，∴∠AFE = 135°.

∵CP平分∠DCG，∴∠DCP = 45°，∴∠ECP = 135°，∴∠AFE = ∠ECP.

∵AE⊥PE，∴∠AEP = 90°，∴∠AEB + ∠PEC = 90°.

∵∠AEB + ∠BAE = 90°，∴∠PEC = ∠BAE，

∴△AFE ≌ △ECP（ASA），∴AE = EP.

（2）如圖5，在AB上截取AF = EC，連接EF，

由（1）同理可得∠CEP = ∠FAE.

∵AF = EC，AE = EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP = ∠AFE.

∵AF = EC，AB = BC，∴BF = BE，∴∠BEF = ∠BFE = 45°，

∴∠AFE = 135°，∴∠ECP = 135°，∴∠DCP = 45°.

（3）如圖6，作DG⊥CP，交BC的延長線于G，連接AG和PG.

由（2）可知，∠DCP = 45°，∴∠CDG = 45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點D與G關(guān)于CP對稱，∴AP + DP的最小值為AG的長. ∵AB = 4，∴BG = 8，由勾股定理得AG = 4[5]，∴△ADP周長的最小值為AD + AG = 4 + 4[5].

點評：作輔助線構(gòu)造全等三角形、由對稱將線段位置進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.