劉勝男

? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

高考對于向量部分知識(shí)點(diǎn)的考查中,數(shù)量積運(yùn)算占比極大,解決平面向量數(shù)量積問題主要有公式法和坐標(biāo)法這兩種常規(guī)方法.本文中介紹一種新的解法,利用極化恒等式解決一般方法不容易計(jì)算的數(shù)量積問題,特別在“求取值范圍”問題中有著廣泛應(yīng)用.“極化恒等式”這一內(nèi)容源自大學(xué)數(shù)學(xué)“泛函分析”,它表明數(shù)量積可以由它誘導(dǎo)出的范數(shù)來表示,把極化恒等式降維至二維平面,則可以非常巧妙地建立起向量數(shù)量積與向量模長之間的聯(lián)系,即僅用向量模長表示向量的數(shù)量積,從而實(shí)現(xiàn)向量和幾何、向量和代數(shù)的精妙結(jié)合.

1 極化恒等式

極化恒等式標(biāo)準(zhǔn)形式:對于兩個(gè)非零向量a,b,有

圖1

推廣1如圖1,在ABCD中,有

在平行四邊形中,可以用它來解決一些與數(shù)量積范圍或最值相關(guān)的問題,同時(shí)保留了更直觀的幾何意義.當(dāng)然,也可以在三角形中構(gòu)造極化恒等式,這也是極化恒等式的第二個(gè)推廣.

圖2

2 極化恒等式的優(yōu)越性

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：從例1及其變式的解法可以發(fā)現(xiàn),使用常規(guī)坐標(biāo)法步驟繁瑣,在計(jì)算上花費(fèi)時(shí)間較長,還可能會(huì)由于疏忽導(dǎo)致做錯(cuò),而采用極化恒等式法,只需找到三角形邊的中點(diǎn),可以代入公式,題目便迎刃而解.把平面向量數(shù)量積這種抽象的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題進(jìn)行求解,可以簡化計(jì)算.解法2體現(xiàn)出極化恒等式在計(jì)算向量的數(shù)量積中的優(yōu)越性.

3 極化恒等式的應(yīng)用舉例

題型1：定值問題.

圖5

題型2：范圍問題.

圖6

題型3：求參問題.

圖7

圖8

4 總結(jié)

數(shù)學(xué)解題不是簡單的做題訓(xùn)練,它更像是知識(shí)的再創(chuàng)造.解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要一環(huán),學(xué)會(huì)了解題意味著學(xué)生不僅具備了解決新問題的能力,同時(shí)也培養(yǎng)了他們的邏輯思維、創(chuàng)造性思維和問題解決的技能.利用極化恒等式可以求數(shù)量積的值、界定數(shù)量積的取值范圍、探求數(shù)量積的最值、處理長度問題,以及解決一些綜合性問題.因此,教師站在更高層面,為學(xué)生講解一類新的解題模型是有必要的[1].