周玉鳳

? 江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)

平面向量是既有大小又有方向的量,同時(shí)具有“數(shù)”與“形”的雙重特點(diǎn),是數(shù)形結(jié)合自然一體的“橋梁”,可以有效“串聯(lián)”起平面向量與其他知識(shí),實(shí)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的交匯與融合.平面向量既可以將幾何問題代數(shù)化,借助坐標(biāo)、符號(hào)、數(shù)量等將推理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算來處理,也可以將代數(shù)問題幾何化,借助幾何意義、圖形等將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為直觀模型來解決.

1 平面向量的實(shí)際應(yīng)用問題

平面向量這一“數(shù)”“形”兼?zhèn)涔ぞ咴趯?shí)際問題中的應(yīng)用,可以使一些相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.合理應(yīng)用平面向量,可使問題的解答更加簡捷,清晰.特別是借助平面向量來解決實(shí)際生活中一些與“力”有關(guān)的應(yīng)用問題.

圖1

例1(多選題)在日常生活中,我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情境,如圖1所示,假設(shè)行李包所受重力為G,兩個(gè)拉力分別為F1,F2,若|F1|=|F2|,F1與F2的夾角為θ,則以下結(jié)論正確的是( ).

B.θ的取值范圍為[0,π]

分析：根據(jù)題目條件,利用行李包為平衡狀態(tài)時(shí)的受力平衡構(gòu)建力的關(guān)系式,通過平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化,結(jié)合兩拉力的夾角θ的取值范圍或確定的取值,與各選項(xiàng)中的條件聯(lián)系加以分析與判斷.

綜上分析,選擇:ACD.

2 平面向量與三角函數(shù)(或解三角形)的綜合問題

三角函數(shù)(或解三角形)和平面向量的綜合問題是近幾年高考數(shù)學(xué)的一個(gè)高頻考點(diǎn)與熱點(diǎn).這類問題的求解,既要求我們具有嫻熟的三角恒等變換技能,又要求能熟練地進(jìn)行平面向量的基本運(yùn)算,特別是平面向量中的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.

分析：根據(jù)題目條件,結(jié)合平面向量的線性關(guān)系式確定線段上三點(diǎn)的比例關(guān)系,利用平面向量的數(shù)量積公式與條件加以轉(zhuǎn)化,確定PC為∠APB的平分線,借助三角形的角平分線定理以及余弦定理的應(yīng)用,最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來確定sin∠PAB的最大值.

點(diǎn)評(píng)：平面向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積等的幾何意義中涉及三角函數(shù)(或解三角形)相關(guān)知識(shí),這也為三角函數(shù)(或解三角形)和平面向量的綜合問題做好了無縫鏈接,實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)之間交互與整合.

3 平面向量與函數(shù)(或不等式、數(shù)列)的綜合問題

平面向量作為數(shù)學(xué)工具,在“數(shù)”的視角與函數(shù)(或不等式、數(shù)列)等知識(shí)層面之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,以“數(shù)”為本,拓展類比,交匯融合起平面向量與函數(shù)(或不等式、數(shù)列)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,創(chuàng)設(shè)更加豐富多彩的綜合應(yīng)用場景.

例3〔2021年全國高考數(shù)學(xué)臨門一卷試卷(二)〕定義向量列a1,a2,a3,……,an從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量(即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量),即an=an-1+d(n≥2,且n∈N*),其中d為常向量,則稱這個(gè)向量列{an}為等差向量列.這個(gè)常向量叫作等差向量列的公差向量,且向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+……+an.已知等差向量列{an}滿足a1=(1,1),a2+a4=(6,10),則向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn=______.

分析：根據(jù)題目條件,結(jié)合等差向量列的創(chuàng)新定義,易知等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式與求和公式對(duì)等差向量列也適合,進(jìn)而分別確定公差向量d與通項(xiàng)公式an,利用對(duì)應(yīng)的求和公式即可求解.

解析：根據(jù)創(chuàng)新定義,類比等差數(shù)列的等差中項(xiàng)的性質(zhì),可得2a3=a2+a4=(6,10),解得a3=(3,5).

類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得等差向量列{an}的通項(xiàng)公式為an=(1,1)+(n-1)(1,2)=(1,1)+(n-1,2n-2)=(1+n-1,1+2n-2)=(n,2n-1).

再類比等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Sn.

4 平面向量與幾何(平面幾何、解析幾何或立體幾何)的綜合應(yīng)用

平面向量作為數(shù)學(xué)工具,在“形”的視角與幾何(平面幾何、解析幾何或立體幾何)知識(shí)層面之間有著密切的聯(lián)系,以“形”為媒,以“形”創(chuàng)設(shè),可以將向量知識(shí)滲透進(jìn)平面幾何、解析幾何或立體幾何等相關(guān)知識(shí)中.

分析：根據(jù)題目條件,確定O,A,B,C四點(diǎn)共面,進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)D的變化情況,從“點(diǎn)D和A,B,C中的一個(gè)重合”與“OD⊥平面ABC”兩個(gè)極端位置來確定AD+BD+CD的取值,進(jìn)而求出其取值范圍,利用選項(xiàng)中的數(shù)值加以分析與判斷.

解析：連接AB,BC,AC.

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量解決此類平面向量與幾何(平面幾何、解析幾何或立體幾何)的綜合問題時(shí),可以選擇建系,使問題坐標(biāo)化,從“數(shù)”的視角將問題巧妙解決;也可直接利用平面向量自身“形”的性質(zhì)來數(shù)形結(jié)合,合理解決.

平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶,溝通“數(shù)”與“形”,是數(shù)形結(jié)合的典范,也為平面向量與其他知識(shí)的交匯融合提供了更多的新穎情境與創(chuàng)新應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)抽象的問題與具體的問題之間的交互與轉(zhuǎn)化,方法巧妙,思維創(chuàng)新,在解決一些具體問題中有奇效,值得借鑒與推廣.在復(fù)習(xí)備考過程中,應(yīng)當(dāng)選擇一些典型的平面向量與實(shí)際應(yīng)用問題、三角函數(shù)(或解三角形)問題、函數(shù)(或不等式、數(shù)列等)問題以及幾何(平面幾何、解析幾何或立體幾何)問題的綜合應(yīng)用進(jìn)行求解訓(xùn)練,提高學(xué)生處理這類綜合問題的能力.Z