夏啟明 曹鑫月 陸萬順

? 寧夏固原第五中學(xué)

奇偶性作為函數(shù)的重要性質(zhì)之一,對研究函數(shù)圖象和性質(zhì)具有重要作用.但“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié),內(nèi)容較為抽象難懂,為了使學(xué)生更好地理解和掌握,需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程,同時利用多媒體等教學(xué)資源,引導(dǎo)學(xué)生積極探索、合作交流,在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得知識,學(xué)會學(xué)習(xí)并且熱愛學(xué)習(xí).

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

“函數(shù)的奇偶性”是人教A版必修一中第三章第二節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的第2小節(jié).函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì).在本書中,和處理函數(shù)單調(diào)性的方法一樣,先給出幾個特殊函數(shù)的圖象,通過這些圖象去直觀地理解奇偶性,然后利用表格發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化特征,再通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證,由此建立了奇(偶)函數(shù)的概念.

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過軸對稱和中心對稱的圖形,同時,上一課學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性,并從初次學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)中積累了研究函數(shù)的基本方法.

1.3 核心素養(yǎng)目標(biāo)

本節(jié)課通過圖象直觀地感知對稱性,從具體的圖象中抽象出數(shù)學(xué)概念,并用數(shù)學(xué)符號語言揭示規(guī)律和表征,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的核心.

1.4 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):了解奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義和圖象特征,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性.

教學(xué)難點(diǎn):將“圖象關(guān)于y軸(原點(diǎn))對稱”轉(zhuǎn)化為定量的符號語言.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

首先展示圖1所示的圖形.

圖1

教師:生活中并不缺少美,而是缺少尋找美的樂趣.

請大家觀察老師展示的這兩幅圖片,美麗的蝴蝶和我們傳統(tǒng)文化中的京劇變臉,它們有什么共同的特征呢?

生1:它們是軸對稱的.

教師:我們把生活中的美抽象成了數(shù)學(xué)中的對稱,那同學(xué)們想一下,數(shù)學(xué)中有哪些內(nèi)容展現(xiàn)了這樣的對稱呢?

生2:函數(shù)圖象,如f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=x-1的圖象.

教師:類似,我們借助幾何畫板再畫一些函數(shù)的圖象,如f(x)=x-2,f(x)=x3,f(x)=x4的圖象.

設(shè)計(jì)意圖：通過情境創(chuàng)設(shè),學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)來源于生活,發(fā)現(xiàn)于生活,與日常生活密切相聯(lián),從而能夠很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,體會數(shù)學(xué)美.

探究活動1:觀察這些函數(shù)的圖象,根據(jù)它們的特征給這些函數(shù)分類,并說明分類依據(jù).

生3:函數(shù)f(x)=x2,f(x)=x-2,f(x)=x4的圖象都關(guān)于y軸對稱,函數(shù)f(x)=x,f(x)=x-1,f(x)=x3的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形.

教師:請觀察這些函數(shù)的解析式,你能根據(jù)它們的特征給這些函數(shù)取一個特殊的名字嗎?

生4:關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫做偶函數(shù),因?yàn)樗鼈兊闹笖?shù)都是偶數(shù);關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)叫做奇函數(shù),因?yàn)樗鼈兊闹笖?shù)都是奇數(shù).

教師:瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1727年首次提出奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義時,是根據(jù)指數(shù)的奇偶性來定義的,同學(xué)們課下可以查閱有關(guān)資料加深了解.

教師:今天我們共同來探究函數(shù)的奇偶性.

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置問題,引發(fā)學(xué)生的猜想,數(shù)學(xué)史的引入讓學(xué)生更加了解函數(shù)奇偶性定義的發(fā)展過程,將課堂還給學(xué)生,極大地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

2.2 探究新知,形成概念

教師:剛才我們是通過函數(shù)圖象的對稱性來對函數(shù)進(jìn)行分類的,但是當(dāng)我們遇到不熟悉的函數(shù)時,不能快速畫出它的圖象,也就無法判斷函數(shù)的對稱性,那我們又應(yīng)該從哪個角度來判斷呢?

生5:既然從圖象角度無法判斷,那可不可以類比上節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的方法,從代數(shù)的角度來研究函數(shù)的奇偶性呢?

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生學(xué)習(xí)知識的基礎(chǔ)上,結(jié)合最近發(fā)展區(qū),提出一些學(xué)生能夠主動并且可以去解決的問題,激發(fā)學(xué)生的好奇心,讓學(xué)生真正學(xué)會學(xué)習(xí).通過類比、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般的方法,學(xué)生在獲得知識的同時也獲得了學(xué)習(xí)的方法.

探究活動2:如何用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)的對稱性呢?

教師:以f(x)=x2為例,通過幾何畫板演示,同學(xué)們有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢?

生6:當(dāng)自變量互為相反數(shù)時,函數(shù)值相等.(文字語言)

教師:觀察表1中相應(yīng)的函數(shù)值,大家能證明生6的結(jié)論嗎?

表1

生7:對于函數(shù)f(x)=x2,有f(-3)=f(3)=9;f(-2)=f(2)=4;f(-1)=f(1)=1.

教師:這些都是比較特殊的函數(shù)值,不能用局部代表整體,那如何用更加嚴(yán)密的語言來證明呢?

學(xué)生共同回答:要證明對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x,都有f(-x)=f(x).

教師:若對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x,都有f(-x)=f(x),那么其圖象關(guān)于y軸對稱嗎?

生8:函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)也在這個函數(shù)的圖象上.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生主動探究、動手操作,以及能夠合理運(yùn)用文字語言、符號語言表述問題特征的能力,促使學(xué)生的思維水平、問題解決的能力都能得到提升和發(fā)展.

引出偶函數(shù)的定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

2.3 合作探究,類比推理

學(xué)生完成表2.

表2

可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)自變量x取一對相反數(shù)時,相應(yīng)的函數(shù)值也是一對相反數(shù).

學(xué)生合作探究得出,對于函數(shù)f(x)=x,有

f(-3)=-3=-f(x);f(-2)=-2=-f(2);f(-1)=-1=-f(1).

那么類比偶函數(shù)的定義,我們?nèi)绾味x具有上述特征的函數(shù)呢?

生9:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).

教師補(bǔ)充:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

設(shè)計(jì)意圖：通過類比上一節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的方法來研究函數(shù)的奇偶性,從整體上研究函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律特征,為以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

2.4 講練結(jié)合,鞏固新知

例題利用定義,判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;

師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生找出判斷的依據(jù)——定義,根據(jù)定義求出函數(shù)的定義域I后,再判斷兩個條件“①任意x∈I,-x是否屬于I;②f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”是否成立,只有①②同時成立,才能判斷函數(shù)的奇偶性.

預(yù)設(shè)的答案:

解：(1)函數(shù)f(x)=x4的定義域?yàn)镽.

因?yàn)閷θ我鈞∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以函數(shù)f(x)=x4為偶函數(shù).

(2)函數(shù)f(x)=x5定義域?yàn)镽.

因?yàn)閷θ我鈞∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函數(shù)f(x)=x5為奇函數(shù).

追問1:你能總結(jié)利用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟嗎?

學(xué)生討論探究并回答:第一步,求函數(shù)的定義域I.第二步,判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,則函數(shù)不具有奇偶性,結(jié)束判斷;若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,則進(jìn)行第三步.第三步,對任意x∈I,計(jì)算f(-x),若f(-x)=f(x),則為偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù);若f(-x)與f(x)既不相等也不相反,則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

追問2:如果可以作出函數(shù)的圖象,是否還需要利用定義判斷函數(shù)的奇偶性?你能得到其他的判斷方法嗎?

學(xué)生:可以直接根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的奇偶性.如果函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱那么函數(shù)為偶函數(shù);如果函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么函數(shù)為奇函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：例1和追問1能夠幫助學(xué)生理解并掌握應(yīng)用定義判定函數(shù)奇偶性的過程,進(jìn)一步加深對概念的認(rèn)識,在證明過程中提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).追問2能夠引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)的圖象.對于研究函數(shù)性質(zhì)的作用,提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

2.5 歸納小結(jié),布置作業(yè)

教師:回顧本節(jié)課的內(nèi)容,請回答以下幾個問題.

(1)什么是奇(偶)函數(shù)?用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟是什么?

(2)比較奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,說說二者的異同點(diǎn).

師生活動:學(xué)生順利回答了第(1)個問題并指出了奇函數(shù)和偶函數(shù)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

(2)相同點(diǎn):①定義域都關(guān)于原點(diǎn)對稱;②都是函數(shù)的整體性質(zhì).

不同點(diǎn):①偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;②當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時,偶函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值相同,而奇函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值相反.

設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容,學(xué)生更能夠系統(tǒng)地理解和掌握函數(shù)奇偶性的概念和判定,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

本文立足于高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐基礎(chǔ)之上,選取了人教版高中數(shù)學(xué)必修一中的重點(diǎn)之一——“函數(shù)的奇偶性”,進(jìn)行具體的教學(xué)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)實(shí)踐,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)一步落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂中打下了良好的基礎(chǔ).最后,學(xué)生可以通過建立“研究和思考”系統(tǒng),利用所學(xué)到的知識來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題,切實(shí)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中.Z