孔留貞

(南京工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 南京 211167)

1 預(yù)備知識(shí)

文中所有的環(huán)R都有單位元, 所有的模都是左模,R-Mod為左R-模范疇．不特別聲明時(shí),X,Y,Z為R-Mod的加法滿子范疇, 且X?Y,X?Z．

2) 設(shè)X·是模M的1個(gè)X-分解(或X-余分解), 若對(duì)任意的Y∈X, 序列HomR(Y,X·)(或HomR(X·,Y))是正合的, 則稱X·是proper(或coproper)的[23-25]．

3) 如果R-Mod的1個(gè)子范疇X滿足: 對(duì)任意的正合列0→X′→X→X″→0,X′∈X,X″∈X當(dāng)且僅當(dāng)X∈X, 則稱X是epic-admissible正合[26]．如果X是epic-admissible正合且所有投射模均屬于X, 則稱X投射可解[27]．

6)n和m的最大公因子記為(n,m)．

2 n-SG(,,)-模

若X=Y=Z是投射/內(nèi)射/平坦模范疇, 則n-SG(X,Y,Z)-模是n-強(qiáng)Gorenstein投射/內(nèi)射/平坦模[20]．正合列具有如下性質(zhì):

定理2設(shè)Y⊥X,X⊥Z且⊥1X=X．對(duì)任意M∈R-Mod,n≥1, 下列結(jié)論等價(jià):

1)M∈n-SG(X,Y,Z);

2) 存在1個(gè)正合列

(1)

證明 1) ?2)．設(shè)M是1個(gè)n-SG(X,Y,Z)-模, 若存在1個(gè)正合列(1)滿足HomR(Y,-)-正合和HomR(-,Z)-正合, 則可得正合列

類似地, 對(duì)所有的0≤i≤n-1,有正合列

其中λ′為嵌入, 故可得正合列

2)?3)?5)及2)?4)?5)是平凡的．

5)?1)．對(duì)任意的0≤i≤n-1,有正合列

0→Imfi+1→Xi→Imfi→0．

(2)

下面討論m-SG(X,Y,Z)-模與n-SG(X,Y,Z)-模之間的關(guān)系．文獻(xiàn)[21]例3.2說(shuō)明當(dāng)n不能整除m時(shí),n-SG(X,Y,Z)-模不是m-SG(X,Y,Z)-模．但當(dāng)n|m時(shí), 則有下列結(jié)論．

引理3若n|m, 則n-SG(X,Y,Z)?m-SG(X,Y,Z)．

證明 設(shè)m=kn,k∈Z+,M∈n-SG(X,Y,Z)．存在1個(gè)正合列(1)滿足HomR(Y,-)-正合和HomR(-,Z)-正合．2個(gè)這樣的正合列相連接得到正合列

因該正合列滿足HomR(Y,-)-正合和HomR(-,Z)-正合, 故M∈m-SG(X,Y,Z)．證畢．

為了給出m-SG(X,Y,Z)-模與n-SG(X,Y,Z)-模之間的關(guān)系, 有以下2個(gè)命題．

(3)

圖1 X′0 →M與X0→M的拉回圖

命題51) 若n|m, 則n-SG(X,Y,Z)∩m-SG(X,Y,Z)=n-SG(X,Y,Z);

2) 設(shè)Y⊥X且X在滿同態(tài)的核下封閉．若n|/m,m=kn+j, 其中k∈Z+, 0

證明 1) 由引理3易得．

圖2 Xkn→Kkn與MX→Kkn的拉回圖

圖3 D→MX與M→MX的拉回圖

定理6n-SG(X,Y,Z)∩m-SG(X,Y,Z)=(n,m)-SG(X,Y,Z)．

證明 由命題5和輾轉(zhuǎn)相除易證．

推論7n-SG(X,Y,Z)∩(n+1)-SG(X,Y,Z)=SG(X,Y,Z)．特別地, ∩n≥2n-SG(X,Y,Z)=SG(X,Y,Z)．

推論8[21]n-SG-Proj(R)∩m-SG-Proj(R)=(n,m)-SG-Proj(R), 其中Proj(R)記作投射R-模范疇．