肖建平

(廣東省興寧市第一中學(xué),廣東 興寧 514500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1]提出,數(shù)學(xué)建模過程主要包括在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型.在考試環(huán)節(jié)引入數(shù)學(xué)建模是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的主要途徑之一.引導(dǎo)學(xué)生理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)建模,從而解決問題,發(fā)展到“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”,將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界建立映射關(guān)系,成長為思維嚴(yán)謹(jǐn)、勇于創(chuàng)新的新時代青年.

某市2023年高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第22題的命制中依據(jù)現(xiàn)實(shí)情境,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,以能力立意,核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,從而在考查中落實(shí)“立德樹人”的根本目標(biāo).

1 試卷原題

某中學(xué)新建了學(xué)校食堂,每天有近2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐,午餐開放時間約40分鐘,食堂制作了三類餐食,第一類是選餐,學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購;第二類是套餐,已按配套好菜色盛裝好,可直接取餐;第三類是面食,如煮面、炒粉等.為了更合理地設(shè)置窗口布局,增加學(xué)生的用餐滿意度,學(xué)校學(xué)生會在用餐的學(xué)生中對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進(jìn)行問卷調(diào)查,并得到以下統(tǒng)計圖表(表1和圖1).

圖1 頻率分布直示圖

表1 用餐統(tǒng)計表

已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個,就餐高峰期時有200名學(xué)生在等待就餐.

(1)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計,如果設(shè)置12個選餐窗口,4個套餐窗口,4個面食窗口,就餐高峰期時,假設(shè)大家在排隊(duì)時自動選擇較短的隊(duì)伍等待(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同),問:選擇選餐的同學(xué)最長等待時間是多少?這能否讓80%的同學(xué)感到滿意(即在接受等待時長內(nèi)取到餐)?

(2)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計,從等待時長和公平的角度上考慮,如何設(shè)置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化,并給出你的求解過程.

2 原題解答

(2)設(shè)設(shè)置m個選餐窗口,n個套餐窗口,k個面食窗口,則各隊(duì)伍的同學(xué)最長等待時間如下表2:

表2 等待時長表

3 命題優(yōu)化

筆者通過限時做題,覺得這個題目命題意圖很好,能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,而且非常契合數(shù)學(xué)建模的思想,可以通過數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算去解決現(xiàn)實(shí)問題.但筆者認(rèn)為原題的解答過程不夠準(zhǔn)確,題目的設(shè)計也有待商榷.筆者基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,結(jié)合應(yīng)用題的實(shí)際意義和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)及儲備知識,對該題指出以下問題,以供參考.

3.1 表述不直接

問題的文字表述要合理易懂一些.“假設(shè)大家在排隊(duì)時自動選擇較短的隊(duì)伍等待(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同)”,學(xué)生在做題的時候可能會忽略括號內(nèi)的文字,尤其可能忽略掉“各類餐食”,是否可以把文字改寫成“假設(shè)大家在排隊(duì)時自動選擇同一類餐食較短的隊(duì)伍等待”更直接易懂.

3.2 解答不精準(zhǔn)

3.3 排隊(duì)不合心理

如果這個問題“假設(shè)大家在排隊(duì)時自動選擇較短的隊(duì)伍等待(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同)”刪掉括號內(nèi)的內(nèi)容(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長度各自相同),是否更符合就餐學(xué)生急于吃午飯的心理?那么“假設(shè)大家在排隊(duì)時自動選擇較短的隊(duì)伍等待”的解法就不一樣了,學(xué)生等餐的時間會減少.分析:設(shè)每2分鐘完成一輪1×12+4×4+2×4=36人,200=36×5+20,那么需要5輪,余20人,每人一個窗口,所以選餐的同學(xué)最長等待時間是2×5+2=12分鐘.

3.4 窗口設(shè)置比例不合理

3.5 窗口配置優(yōu)化

如果2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐,午餐開放時間約40分鐘,至少需要設(shè)置多少個售飯窗口?分析:以取餐時長最短0.5分鐘計算,需要設(shè)置25個套餐窗口,但是不能滿足學(xué)生的用餐喜好,所以需要增加選餐和面食餐口.那么如何配置選餐、套餐、面食的窗口數(shù)就需要在食堂的成本和滿足學(xué)生的用餐喜好之間做出一個最優(yōu)的方案,而且需要根據(jù)學(xué)生變化的用餐喜好不斷地調(diào)整窗口配置.

4 題目(2022年高一期末聯(lián)考試題)

某市沙田柚根據(jù)色澤、果面、風(fēng)味等評分指標(biāo)打分,得分在區(qū)間(0,25],(25,50],(50,75],(75,100]內(nèi)分別評定為三級柚、二級柚、一級柚和特級柚.某經(jīng)銷商從我市柚農(nóng)手中收購一批沙田柚,共M袋(每袋50 kg),并隨機(jī)抽取20袋分別進(jìn)行檢測評級,得分?jǐn)?shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2所示:

圖2 頻率分布直方圖

(1)求a的值,并用樣本估計該經(jīng)銷商采購的這批沙田柚的平均得分.

(2)該經(jīng)銷商計劃在下面兩個方案中選擇一個作為銷售方案:

方案1:將采購的這批沙田柚不經(jīng)檢測,統(tǒng)一按每袋350元直接售出;

方案2:將采購的這批沙田柚逐袋檢測分級,并將每袋沙田柚重新包裝成5小袋(每小袋10 kg),檢測分級所需費(fèi)用和人工費(fèi)平均每袋20元,各等級沙田柚每小袋的售價和包裝材料成本如表3所示:

表3 沙田柚售價和成本表

假設(shè)這批沙田柚各級比例按前面隨機(jī)抽取的20袋的樣本結(jié)果估計,并可以全部銷售出去,那么該經(jīng)銷商采用哪種銷售方案所得利潤更大?請通過計算說明理由．

4.1 存在問題

通過計算估計該經(jīng)銷商采購的這批沙田柚的平均得分是56.25分,因此區(qū)間設(shè)置不合理,得分75分和100分是同一等級,極差25分,懸殊比較大,不能突出當(dāng)?shù)厣程镨值膬?yōu)質(zhì)性.

4.2 優(yōu)化建議

這道題目的關(guān)鍵是這批沙田柚的平均得分太低,修改數(shù)據(jù)最好的辦法是去市場買一批沙田柚并進(jìn)行評分,這樣才貼合實(shí)際,然后要論證所得的數(shù)據(jù)是否具有代表性和普遍性.這樣才能在考題中無形地達(dá)到宣傳當(dāng)?shù)厣程镨值膬?yōu)質(zhì)性,潤物細(xì)無聲地增進(jìn)學(xué)生的家鄉(xiāng)情結(jié)和自豪感.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教師在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中要滲透數(shù)學(xué)建模思想,培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).李大潛院士指出“數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育”“貫徹素質(zhì)教育最有效、最直接的途徑就是通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)或者舉辦建模競賽”[2].因此,要發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣,提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.