嚴(yán)天珍

(甘肅省天水市第一中學(xué),甘肅 天水 741000)

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)曾說:問題是數(shù)學(xué)的心臟,數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解[1];數(shù)學(xué)作為一門研究規(guī)律的學(xué)科,毫無疑問數(shù)學(xué)解題教學(xué)有其內(nèi)在的屬性和規(guī)律,而這個(gè)屬性與規(guī)律就是數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)[2].

凹凸性是刻畫連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一,不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)試題命制的熱點(diǎn)[3].回顧近年高考試題發(fā)現(xiàn),基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學(xué)試題頻頻出現(xiàn),但由于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)并沒有對(duì)函數(shù)的凹凸性做具體要求,相關(guān)性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中又分布得較為隱蔽和零散,導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)以整體的視野去統(tǒng)整相關(guān)的內(nèi)容,更難將該思想方法順利遷移到相關(guān)的解題中去.因此,函數(shù)凹凸性的“學(xué)考分離”現(xiàn)象成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考備考中一個(gè)不容忽視的問題.

為此,筆者從高中學(xué)生認(rèn)知水平的前提出發(fā),在介紹函數(shù)凹凸性相關(guān)定義和定理的基礎(chǔ)上,對(duì)近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行示例分析和解題本質(zhì)研究,以期為一線教師的解題教學(xué)和高考備考提供參考和啟示.

1 預(yù)備知識(shí)

定義設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù),若對(duì)[a,b]中任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ∈(0,1)總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為[a,b]上的凸函數(shù);反之,如果總有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為[a,b]上的凹函數(shù).

定理[4]設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在[a,b]上f(x)為凸(凹)函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0(f″(x)≤0).

2 “ f(x)≤kx+b(或≥)”型導(dǎo)數(shù)試題的分析與結(jié)論

例1(2017年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ax+1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)略;(2)因?yàn)閒(x)=(1-x2)ex,所以f′(x)=ex(-x2-2x+1),進(jìn)而有f″(x)=-ex(x2+4x+1)<0在[0,+∞)上恒成立。由定理可知f(x)在[0,+∞)上為凹函數(shù),又因?yàn)閒(x)過點(diǎn)(0,1),所以f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=x+1,因?yàn)閒(x)為[0,+∞)上的凹函數(shù),易知曲線y=f(x)總是在它的任一切線的下方,即f(x)≤x+1,又因?yàn)?當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≤ax+1,所以a的取值范圍為[1,+∞).

評(píng)析含參不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題是高考中的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).解決的方法主要有分類討論和分離參數(shù),分類討論由于分類標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)雜多樣往往不被一線師生所使用,而分離參數(shù)因其思想簡單而易于被學(xué)生接收,但解題過程往往因?yàn)闃?gòu)造函數(shù)復(fù)雜、用到洛必達(dá)法則等困難而半途而廢.因此在解決“f(x)≤kx+b型”函數(shù)問題時(shí),利用函數(shù)的凹凸性并考慮相切的臨界狀態(tài),無疑是一種簡潔有效的辦法.

結(jié)論1 設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù),對(duì)[a,b]中任意兩點(diǎn)x,x0,則有:

(1)f(x)為[a,b]上的凸函數(shù)?f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0);

(2)f(x)為[a,b]上的凹函數(shù)?f(x)≤f(x0)+f′(x0)(x-x0).

不難理解,該定理的幾何意義是:若f(x)為[a,b]上的凸函數(shù),則曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方;若f(x)為[a,b]上的凹函數(shù),則曲線y=f(x)總是在它的任一切線的下方.

回望近年高考,2018年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第21(2)題、2018年高考全國Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)第21(2)題、2019年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第20(2)題、2019年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第20(2)題、2020年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20(2)題、2020年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21(1)題等,都是基于函數(shù)凹凸性命制的,且均可以借助結(jié)論1的思想方法解答.限于篇幅,此處不再做示例分析.

例2 (2020年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21題)已知函數(shù)f(x)=2lnx+1[4].

(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;

構(gòu)造m(x)=f′(x)(x-a)-[f(x)-f(a)],則m′(x)=f″(x)(x-a)

所以g(x)在(0,a)和(a,+∞)上是減函數(shù).

結(jié)論2設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù),x0∈(a,b),則有:

例3 (2020年高考天津卷數(shù)學(xué)第20題)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)(第一問略);

綜上所述,可以得到如下結(jié)論:

結(jié)論3設(shè)f(x)為[a,b]上的三階可導(dǎo)函數(shù),x0∈[a,b],則有:

解題研究一直是中國數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)基本課題[5].解題不僅僅是給出試題的一種或幾種解答,更應(yīng)探求解題本質(zhì),即不斷深究問題,參透題目本質(zhì),實(shí)現(xiàn)以題會(huì)類,真正把解題教學(xué)與“四基四能”的提升、核心素養(yǎng)的形成有機(jī)地統(tǒng)一起來.