吳盤龍，王 勇，鐘 俊，何雨飛

（1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094；2.南京理工大學(xué)錢學(xué)森學(xué)院，南京 210094）

多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)將成為未來戰(zhàn)場(chǎng)中的重要作戰(zhàn)模式之一，多導(dǎo)彈之間借助通信系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的協(xié)同感知與探測(cè)，通過協(xié)同制導(dǎo)提高導(dǎo)彈突防能力，利用飽和攻擊提高毀傷效果，從而提高導(dǎo)彈的整體作戰(zhàn)效能。因此，開展多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)方法的研究對(duì)提高目標(biāo)打擊能力和提升實(shí)際作戰(zhàn)水平具有重要意義。協(xié)同制導(dǎo)技術(shù)在實(shí)際戰(zhàn)爭(zhēng)中有著諸多運(yùn)用，例如蘇聯(lián)的SS-N-19 導(dǎo)彈，采用數(shù)枚間隔發(fā)射的方式，一枚引領(lǐng)彈在高軌道飛行以捕獲目標(biāo)，其余在低軌道跟隨，在巡航過程中，導(dǎo)彈共享目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息，若引領(lǐng)彈被摧毀，跟隨彈跟進(jìn)成為引領(lǐng)彈，直至打擊完成；美國(guó)的XM501 巡飛彈，采用無人飛行器集群組網(wǎng)技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)化協(xié)同作戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈或無人機(jī)之間的實(shí)時(shí)信息共享，增強(qiáng)了對(duì)戰(zhàn)場(chǎng)的綜合態(tài)勢(shì)感知能力和火力反應(yīng)速度。在實(shí)際作戰(zhàn)中，往往采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，根據(jù)彈目之間的視線角速率進(jìn)行制導(dǎo)，呈追尾攻擊態(tài)勢(shì)，通常命中目標(biāo)的后方，無法從側(cè)方對(duì)目標(biāo)關(guān)鍵部位進(jìn)行打擊。為了最大限度的發(fā)揮各枚導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能并提高毀傷效果，各枚導(dǎo)彈以期望的不同落角同時(shí)命中目標(biāo)，從而毀傷目標(biāo)的關(guān)鍵部位，對(duì)目標(biāo)形成毀滅性打擊?；诖?，本文研究綜合落角約束、視場(chǎng)角約束以及脫靶量的協(xié)同制導(dǎo)律，使多導(dǎo)彈以不同的落角同時(shí)命中目標(biāo)的不同關(guān)鍵部位，達(dá)到使整體作戰(zhàn)效率最大化的目的。

對(duì)于落角約束的制導(dǎo)律，當(dāng)前已有較多研究成果，文獻(xiàn)[1-2]在視線方向運(yùn)用多智能體協(xié)同控制理論使多枚導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間趨于一致，在視線法向運(yùn)用有限時(shí)間滑?？刂评碚撌箤?dǎo)彈擊中目標(biāo)的同時(shí)滿足落角約束；文獻(xiàn)[3]采用非奇異快速終端滑模方法，設(shè)計(jì)了帶有落角約束的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[4]提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的四階積分滑?？刂品椒?，結(jié)合自適應(yīng)改進(jìn)的超扭矩算法，設(shè)計(jì)了帶有落角約束的滑模制導(dǎo)律。

對(duì)于視場(chǎng)角約束的制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[5]基于非線性模型并推導(dǎo)了終端滑?？刂破?，設(shè)計(jì)了指定命中時(shí)間的視場(chǎng)角約束制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[6]基于三維比例導(dǎo)引律，考慮偏航和俯仰平面的耦合，利用滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了帶視場(chǎng)角約束偏置項(xiàng)的制導(dǎo)律。

對(duì)于時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律，通常分為兩類，第一類是指定攻擊時(shí)間，離線設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，并將其應(yīng)用至每一枚導(dǎo)彈，各導(dǎo)彈之間不需要互相通信[7,8]；第二類是基于比例導(dǎo)引推導(dǎo)出制導(dǎo)律，估計(jì)各枚導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間，利用導(dǎo)彈之間的互相通信，根據(jù)不同導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間的誤差在線修改比例導(dǎo)引系數(shù)，從而使攻擊時(shí)間趨于一致[9]。

目前綜合考慮落角約束、視場(chǎng)角約束和時(shí)間協(xié)同等約束條件的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法較少，且多數(shù)為二維情況。文獻(xiàn)[10]選取積分障礙Lyapunov 函數(shù)，設(shè)計(jì)了具有視場(chǎng)限制的落角約束制導(dǎo)律，并在剩余飛行時(shí)間估計(jì)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律，使得多枚導(dǎo)彈按期望姿態(tài)同時(shí)命中目標(biāo)；文獻(xiàn)[11]基于Lyapunov 方法設(shè)計(jì)了三維落角約束制導(dǎo)律，并在已有制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上附加一擴(kuò)展比例導(dǎo)引項(xiàng)以滿足時(shí)間協(xié)同約束條件，同時(shí)增加一可控開關(guān)修正項(xiàng)以保證始終滿足視場(chǎng)角約束條件。

本文提出了一個(gè)攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的多約束下三維多彈協(xié)同制導(dǎo)律。首先分別在偏航平面和俯仰平面推導(dǎo)了基于二次型最優(yōu)控制理論的落角約束指令，使導(dǎo)彈按期望落角以盡可能小的脫靶量命中目標(biāo)；然后設(shè)計(jì)基于可控開關(guān)反向原加速度指令方法的視場(chǎng)角修正指令，確保目標(biāo)不會(huì)超出導(dǎo)彈視場(chǎng)；最后利用多彈分布式通信設(shè)計(jì)時(shí)變導(dǎo)引系數(shù)，在線調(diào)整各導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間以達(dá)到協(xié)同打擊的目的；仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在彈間分布式通信的場(chǎng)景下能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的多約束協(xié)同打擊，可以在一定程度上降低對(duì)彈間通信的要求；時(shí)變導(dǎo)引系數(shù)采用飽和函數(shù)有效避免了機(jī)動(dòng)抖振現(xiàn)象。

1 三維制導(dǎo)模型

1.1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

在推導(dǎo)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程前，先做出如下假設(shè)：(1)導(dǎo)彈與目標(biāo)均可視為質(zhì)點(diǎn)。(2)導(dǎo)彈與目標(biāo)速度大小為恒定值，加速度矢量與速度垂直，僅改變速度方向。(3)忽略導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)特性。

其中，OXYZ為慣性坐標(biāo)系，OX L YL ZL為視線坐標(biāo)系，OX M YM ZM和OX T YT ZT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈體坐標(biāo)系，V m和Vt分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度，r為導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離，?l和θl分別為彈目視線(LOS)的方位角和俯仰角，?m和θm分別為導(dǎo)彈速度矢量相對(duì)于彈目視線的方位角和俯仰角，? t和θt分別為目標(biāo)速度矢量相對(duì)于彈目視線的方位角和俯仰角，aym和azm分別為導(dǎo)彈在偏航平面和俯仰平面的加速度矢量，ayt和azt分別為目標(biāo)在偏航平面和俯仰平面的加速度矢量。

由圖1 可以得到導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[12]為：

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖Fig.1 Relative motion between missile and target

1.2 代數(shù)圖論

定義導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)為無向圖G=(v,ζ,C)，其中v代表所有導(dǎo)彈節(jié)點(diǎn)的集合，ζ代表所有節(jié)點(diǎn)之間的連線，矩陣C=[cij]∈Rn×n為權(quán)系數(shù)矩陣，若導(dǎo)彈i與導(dǎo)彈j之間能夠進(jìn)行通信，則cij=1，否則cij=0，特別地，cii=0,i∈{1,2…n}。若G為無向圖，有cij=cji。定義圖G對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)，其中矩陣元素為：

導(dǎo)彈之間通信拓?fù)淙鐖D2 所示，當(dāng)通信無向且連通時(shí)，有以下引理成立。

圖2 彈間通信拓?fù)涫疽鈭DFig.2 Communication topology between missiles

引理1[13]：對(duì)于拉普拉斯矩陣L，0 為一特征值，且所有非零特征值均為正數(shù)，所有項(xiàng)為1 的列向量為該矩陣的一個(gè)特征向量，記為I。

引理2[14]：對(duì)任意的x∈Rn，若 IΤx=0，則有xΤLx≥λ(L)xΤx，其中λ(L)表示矩陣L的非零最小特征值。

引理3[15]：考慮非線性系統(tǒng)x˙=f(x,t),x∈Rn，假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)正定、徑向無界的函數(shù)V(x) 和μ＞ 0，λ＞ 0，0＜α＜ 1，并且滿足：

則系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間收斂的。

2 綜合落角約束與視場(chǎng)角約束的協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 考慮落角約束和脫靶量的機(jī)動(dòng)指令

考慮在末制導(dǎo)階段導(dǎo)彈攻角和自身動(dòng)態(tài)特性等因素，θm，?m通常為小角，忽略高階項(xiàng)，可以得出：

其中uz為偽控制量，fz為目標(biāo)機(jī)動(dòng)所帶來的擾動(dòng)，并且難以獲取，通常將其視為干擾量并忽略。根據(jù)式(5)可以得出俯仰平面內(nèi)的狀態(tài)方程為：

終端約束條件為：

記Tg為剩余飛行時(shí)間，有Tg=-r/,則Az與Bz可記為：

選取性能指標(biāo)函數(shù)為：

根據(jù)極大值原理，該線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制[16]為

其中P滿足逆黎卡提微分方程：

因?yàn)閠=tf時(shí)r=rf，rf為導(dǎo)彈命中目標(biāo)的判定距離，則Tg=-(r-r f+r f)/r˙=t f-t+Δtf，有dTg=-dt，解微分方程組(12)得：

又因?yàn)棣f為小量，由式(13)解得：

得到該線性二次型的最優(yōu)控制輸入量為：

根據(jù)式(1)，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)難以獲取，且?m、θm、?t、θt通常為小角，為便于估計(jì)導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間，故可近似認(rèn)為r˙=-Vm，得俯仰平面落角約束制導(dǎo)律為：

同理可得偏航平面的落向約束制導(dǎo)律為

2.2 視場(chǎng)角約束修正指令

導(dǎo)彈視場(chǎng)角σ定義為彈體縱軸方向與視線方向的夾角，彈體縱軸方向近似為速度矢量方向，如圖3所示，視場(chǎng)角與俯仰平面和偏航平面的速度前置角存在如下關(guān)系：

圖3 視場(chǎng)角示意圖Fig.3 Field of view

受導(dǎo)彈視場(chǎng)角限制，導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)過程中可能因視場(chǎng)角超出限制從而丟失目標(biāo)，設(shè)置視場(chǎng)角修正機(jī)動(dòng)指令，當(dāng)視場(chǎng)角達(dá)到一定閾值時(shí)開始對(duì)視場(chǎng)角進(jìn)行修正。視場(chǎng)角修正項(xiàng)為：

其中pσ為視場(chǎng)角開始修正的閾值，σmax為導(dǎo)彈視場(chǎng)角最大值，kσ為視場(chǎng)角修正比例常數(shù)。

將視線角投影至YLOZL平面，如圖4 所示，可得視線方向投影與YL方向的夾角α滿足如下關(guān)系：

圖4 視線角在 YL O ZL平面的投影Fig.4 Τhe projection of LOS in the YL O ZL-plane

將修正指令投影到俯仰平面與偏航平面，可得偏航平面與俯仰平面的視場(chǎng)角修正項(xiàng)分別為：

其中sign()x為符號(hào)函數(shù)。當(dāng)導(dǎo)彈俯角過大時(shí)，需做上仰機(jī)動(dòng)以修正視場(chǎng)角，仰角以及偏航平面同理。

2.3 落角約束與視場(chǎng)角約束下的協(xié)同制導(dǎo)律

為實(shí)現(xiàn)多枚導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)協(xié)同打擊以提高毀傷效果，采用改變比例導(dǎo)引的導(dǎo)引系數(shù)來改變導(dǎo)彈飛行軌跡，進(jìn)而改變導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間。

在俯仰平面進(jìn)行協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)，首先假設(shè)θm為小角度，俯仰平面的機(jī)動(dòng)可近似視為比例導(dǎo)引項(xiàng)與落角約束項(xiàng)之和，在制導(dǎo)初期，各枚導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間誤差較大，導(dǎo)彈通過較大的機(jī)動(dòng)調(diào)整剩余飛行時(shí)間，此時(shí)可忽略落角約束項(xiàng)與視場(chǎng)角修正項(xiàng)，得到剩余飛行時(shí)間估計(jì)[17]為：

由式(16)可令N=4 。參考文獻(xiàn)[18]，設(shè)計(jì)俯仰平面協(xié)同制導(dǎo)律式(23)：

為使各導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間趨于一致，故基于各導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間差平方和構(gòu)造如下的Lyapunov 函數(shù)：

剩余飛行時(shí)間的一致性誤差可寫為：

由于導(dǎo)彈之間的通信拓?fù)錈o向且連通，有：

對(duì)V求導(dǎo)，得：

則有如下不等式成立：

將式(31)代入式(28)中可得V的導(dǎo)數(shù)滿足：

由引理3 可知，各導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至一致。

注：上述推導(dǎo)以導(dǎo)彈之間無向通信為前提，若導(dǎo)彈通信為有向圖，當(dāng)導(dǎo)彈僅與相鄰導(dǎo)彈單向通信時(shí)，仍滿足式(27)，制導(dǎo)律仍成立，仿真也給出了驗(yàn)證。

綜上所述，多約束條件下導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律為：

可以看出，本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可分為三部分，第一部分為比例導(dǎo)引項(xiàng)，使導(dǎo)彈以較小的視線角速率接近目標(biāo)，以減小命中的脫靶量，其中俯仰機(jī)動(dòng)比例導(dǎo)引項(xiàng)的時(shí)變導(dǎo)引系數(shù)使得導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間收斂至一致；第二部分為落角約束項(xiàng)，使導(dǎo)彈按期望的落角與落向命中目標(biāo)，對(duì)目標(biāo)不同關(guān)鍵部位造成毀傷；第三部分為視場(chǎng)角修正項(xiàng)，避免導(dǎo)彈在飛行過程中丟失目標(biāo)視野。

3 仿真驗(yàn)證

以三枚導(dǎo)彈攔截一個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)為例，各導(dǎo)彈以不同的期望落向落角擊中目標(biāo)，仿真初始參數(shù)設(shè)置如表1所示，三枚導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)如圖2 所示，選擇目標(biāo)以ayt=5gcos(πt/2)的余弦機(jī)動(dòng)情況進(jìn)行仿真，并以比例導(dǎo)引作為對(duì)比，對(duì)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證。導(dǎo)彈仿真初始參數(shù)為：g=9.81m/s2,σp=62°,σmax=65°,amax=15g,kσ=2amax，無向圖中k1=0.6，k2=0.2，有向圖中k1=0.55，k2=0.4，通信矩陣為：

表1 仿真初始參數(shù)Tab.1 Initial parameters for the simulation

仿真結(jié)果如圖5-7 所示，脫靶量、制導(dǎo)時(shí)間、落角與落向如表2 所示。

表2 脫靶量、制導(dǎo)時(shí)間與落角落向Tab.2 Miss distance,interception time,impact direction and angle

圖5 本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律仿真結(jié)果（無向圖）Fig.5 Τhe simulation results of the guidance law designed in this paper (undirected graph)

從圖5(a)、圖6(a)、圖7(a)和表2 可以看出，比例導(dǎo)引采取追尾策略，命中目標(biāo)時(shí)落角均為0 °，落向與目標(biāo)飛行方向幾乎一致，只能從目標(biāo)的后方擊中目標(biāo)，本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在命中目標(biāo)時(shí)落角、落向與期望值的誤差均小于0.23 °，滿足落角落向要求，可以保證導(dǎo)彈按期望的落向與落角從不同方位擊中目標(biāo)，以實(shí)現(xiàn)較高的毀傷效果。從圖5(b)可以看出，時(shí)變導(dǎo)引系數(shù)可以較好糾正初始剩余飛行時(shí)間誤差，并以較高的精度收斂。圖5(d)和圖5(e)是各導(dǎo)彈在偏航和俯仰平面的過載變化曲線。由于跟蹤的目標(biāo)做余弦機(jī)動(dòng)，所以導(dǎo)彈偏航平面過載近似呈余弦變化；為實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同打擊，導(dǎo)彈在俯仰平面做較大機(jī)動(dòng)，使剩余飛行時(shí)間趨于一致。圖5(f)表明在飛行過程中視場(chǎng)角修正項(xiàng)保證目標(biāo)始終處于導(dǎo)彈視場(chǎng)內(nèi)；由表2 可以看出，本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)不同方位的協(xié)同打擊，脫靶量在0.5 m 以內(nèi)，彈間通信網(wǎng)絡(luò)為無向圖時(shí)攻擊時(shí)間誤差小于0.05 s，為有向圖時(shí)攻擊時(shí)間誤差小于0.1 s，并有效避免了抖振現(xiàn)象。

圖6 本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律仿真結(jié)果（有向圖）Fig.6 Τhe simulation results of the guidance law designed in this paper (directed graph)

圖7 比例導(dǎo)引制導(dǎo)律仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of proportional guidance law

4 結(jié)論

本文針對(duì)多約束條件下協(xié)同制導(dǎo)問題，基于落角約束的最優(yōu)控制制導(dǎo)律和在線改變導(dǎo)引系數(shù)的分布式協(xié)同制導(dǎo)律，設(shè)計(jì)了綜合考慮落角約束、視場(chǎng)角約束、脫靶量以及時(shí)間協(xié)同等約束條件下的制導(dǎo)律，使得每枚導(dǎo)彈幾乎同時(shí)從不同的方向按期望的落角命中目標(biāo)，能夠滿足戰(zhàn)場(chǎng)上多彈協(xié)同以達(dá)到高毀傷效果的要求。制導(dǎo)律設(shè)計(jì)分為三個(gè)部分：在偏航平面和俯仰平面基于二次型最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了帶有落角約束和脫靶量約束的機(jī)動(dòng)指令，使導(dǎo)彈按期望落角命中目標(biāo)；設(shè)計(jì)可控開關(guān)視場(chǎng)修正項(xiàng)，根據(jù)視場(chǎng)角超出修正閾值的程度調(diào)整目標(biāo)機(jī)動(dòng)，確保目標(biāo)始終處于導(dǎo)彈視場(chǎng)內(nèi)；在多彈分布式通信的場(chǎng)景下，估計(jì)各彈剩余飛行時(shí)間，根據(jù)剩余飛行時(shí)間誤差設(shè)計(jì)時(shí)變導(dǎo)引系數(shù)，在線調(diào)整各導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間以達(dá)到協(xié)同打擊的目的；最后針對(duì)目標(biāo)余弦機(jī)動(dòng)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真表明所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可使導(dǎo)彈按指定落角同時(shí)命中目標(biāo)，并避免了機(jī)動(dòng)抖振現(xiàn)象出現(xiàn)，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律只考慮了落角約束、脫靶量約束、視場(chǎng)角約束與時(shí)間協(xié)同，但彈間通信拓?fù)渥兓褪Ｓ囡w行時(shí)間收斂速度較慢的問題仍值得深入研究。