樊 駒，張子山，常昕琦，朱學(xué)毅，陳 佳

（1.天津航海儀器研究所，天津 300131；2.西安電子科技大學(xué) 通信學(xué)院，西安 710068）

海底地形是全球地形的重要組成部分，豐富的海底地形資料在海底板塊運(yùn)動(dòng)、海底構(gòu)造演化活動(dòng)、沉積物遷移變化、水下潛器安全航行、海事搜救、油氣勘探和環(huán)境監(jiān)測(cè)、地形匹配等海洋科學(xué)研究和海洋工程中發(fā)揮著重要作用[1,2]。高質(zhì)量的海底地形信息反映了海床的高精度起伏變化，是進(jìn)行水下科學(xué)研究和生產(chǎn)工作的前提，因此，獲取高精度的海底地形地貌有著十分重要的意義。

傳統(tǒng)的海底地形探測(cè)方法主要利用聲波在水中的傳播和能被海底反射的特性來(lái)確定海底地形，其優(yōu)點(diǎn)是探測(cè)結(jié)果具有高精度和高分辨率[3]。但由于聲波探測(cè)方法測(cè)量深度有限，其測(cè)量精度隨著測(cè)量深度的增加而降低，從而限制了傳統(tǒng)聲波測(cè)深方法在深部測(cè)深中的適用性。另外一種可行的辦法是利用高分辨率海洋重力數(shù)據(jù)對(duì)海底地形進(jìn)行反演。目前利用重力異常數(shù)據(jù)反演海底地形常用的方法主要分為空間域方法和頻率域方法兩大類。頻率域方法雖然計(jì)算效率高，但實(shí)際計(jì)算中離散傅里葉變換代替連續(xù)傅里葉變換會(huì)產(chǎn)生不可避免的截?cái)嗾`差和積分誤差[4]。相比頻率域反演方法，基于空間域的海底地形反演方法精度更高，因此大量的空間域海底地形反演研究工作被進(jìn)行[5,6]。其中，重力地質(zhì)法是過(guò)去十年最常使用的空間域求解方法，其海底地形反演結(jié)果的相對(duì)誤差保持在5%～10%：文獻(xiàn)[7]反演了韓國(guó)西海淺水區(qū)域的海底地形，其反演結(jié)果與船測(cè)水深的均方根誤差為0.6 m；文獻(xiàn)[8]反演了南極洲德雷克海峽的海底地形，其反演結(jié)果與船測(cè)水深的均方根誤差為29 m；文獻(xiàn)[9]反演了東日本海的海底地形，其反演結(jié)果與船測(cè)水深的標(biāo)準(zhǔn)差小于37.8 m；文獻(xiàn)[10]反演了中國(guó)南海的海底地形，與多波束測(cè)深結(jié)果相比，精度可達(dá)100 m；文獻(xiàn)[11]反演了馬里亞納的海底地形，其反演結(jié)果與實(shí)測(cè)水深的標(biāo)準(zhǔn)差為152.9 m；文獻(xiàn)[12]反演了格林蘭島南部以及阿拉斯加南部海域的海底地形，兩者的反演結(jié)果與船測(cè)水深的標(biāo)準(zhǔn)差分別為35.8 m 和50.4 m。雖然重力地質(zhì)法已被廣泛應(yīng)用于大面積海域的地形求解中，但其反演結(jié)果受船測(cè)控制點(diǎn)分布情況以及海底地形復(fù)雜程度影響較大[13]，控制點(diǎn)分布越均勻，反演結(jié)果精度越高，海底地形起伏越大，反演結(jié)果精度越低，因此對(duì)于船測(cè)控制點(diǎn)分布不均勻或者海底地形起伏較大的區(qū)域，空間域重力地質(zhì)法顯然不再適用。

由于基于多波束手段的海底地形測(cè)量深度有限，且基于重力異常數(shù)據(jù)的頻率域反演方法存在精度不足的缺陷，加之空間域重力地質(zhì)法精度依賴于船測(cè)控制點(diǎn)的分布情況，因此為提升海底地形測(cè)量能力，急需開展一種新的基于重力異常信息的空間域高精度海底地形反演方法研究。最小化目標(biāo)函數(shù)反演方法是空間域界面反演中常用的方法，但該方法多用于沉積盆地基底埋深反演[14,15]和莫霍面深度反演[16,17]，對(duì)于地形起伏劇烈的淺部海底地形反演則研究較少。理論上在空間域中求解反演目標(biāo)函數(shù)同樣可以適用于海底地形反演計(jì)算，且該反演方法避免了多波束測(cè)量、頻率域反演方法和空間域重力地質(zhì)法存在的問(wèn)題，因此本文將展開基于重力數(shù)據(jù)的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法研究。由于地球物理反演結(jié)果存在多解性，因此在反演計(jì)算中正則化的目標(biāo)函數(shù)被應(yīng)用去提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性。

反演過(guò)程中影響反演結(jié)果精度但不能直接估計(jì)的參數(shù)稱為超參數(shù)，其包括海水密度與海底地形密度間的密度差、平均海底地形深度以及正則化參數(shù)。這些超參數(shù)相互獨(dú)立，其各自取值的準(zhǔn)確性對(duì)最終反演結(jié)果的合理性有很大影響。對(duì)于正則化參數(shù)求解，常用的兩種方法是L 曲線法和廣義交叉驗(yàn)證法[18]，其以犧牲計(jì)算效率來(lái)獲取最優(yōu)值。對(duì)于密度差求解，目前的方法需要知道反演區(qū)域部分海底地形的深度[16]，對(duì)于無(wú)法獲取水深先驗(yàn)信息的區(qū)域，該方法將不再適用。對(duì)于平均海底地形深度，目前主要是通過(guò)全球地形模型去估算，對(duì)于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)較少的海域，該方法會(huì)產(chǎn)生較大誤差。為了提高超參數(shù)求解的準(zhǔn)確性，本文采用隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法來(lái)確定其最優(yōu)取值[19]。

本文采用高斯-牛頓迭代求解算法，著重對(duì)基于重力數(shù)據(jù)的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法展開研究。在反演過(guò)程中，采用隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取最優(yōu)超參數(shù)來(lái)保證反演精度，構(gòu)建了高精度空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演算法?；谠摲囱菟惴?，對(duì)理論模型進(jìn)行了精度測(cè)試，分析討論了不同超參數(shù)取值策略對(duì)反演結(jié)果精度的影響。最后，將該反演方法用于南海某海域進(jìn)行實(shí)際海底地形反演計(jì)算。

1 海底地形反演方法

在海底地形重力異常正演的基礎(chǔ)上，采用空間域最小化目標(biāo)函數(shù)反演算法，利用重力異常數(shù)據(jù)對(duì)海底地形進(jìn)行反演計(jì)算。對(duì)于海底地形重力異常正演，采用直角坐標(biāo)系下的直立棱柱體模型單元進(jìn)行正演模擬。對(duì)于基于重力異常數(shù)據(jù)的海底地形反演，采用高精度的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)反演算法進(jìn)行求解。該反演算法首先根據(jù)數(shù)據(jù)誤差和正則化項(xiàng)構(gòu)建反演目標(biāo)函數(shù)，然后采用高斯-牛頓迭代法最小化目標(biāo)函數(shù)對(duì)反演參數(shù)擾動(dòng)量進(jìn)行求解。該反演過(guò)程中涉及到的最優(yōu)超參數(shù)通過(guò)使用隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法來(lái)確定，基于最優(yōu)超參數(shù)的反演結(jié)果為最佳的海底地形反演結(jié)果。

1.1 正演模擬

對(duì)于形狀不規(guī)則的海底地形重力異常正演，其首先將正演目標(biāo)體剖分成直立棱柱體模型單元，然后按照其對(duì)應(yīng)的重力異常正演計(jì)算公式計(jì)算各個(gè)模型單元對(duì)所有測(cè)點(diǎn)的重力異常響應(yīng)，最后按照位場(chǎng)的疊加原理將所有模型單元在測(cè)網(wǎng)上產(chǎn)生的重力異常響應(yīng)相加得到最終的海底地形重力異常正演結(jié)果。由于海底地形重力異常正演是指相對(duì)于平均海底地形起伏部分的重力異常正演，因此在實(shí)際正演計(jì)算中，如果海底地形深度淺于平均海底地形深度，則用于正演模擬的直立棱柱體模型單元的頂深為海底地形深度，底深為平均海底地形深度，其與海水密度間的密度差為正值；如果海底地形深度深于平均海底地形深度，則用于正演模擬的直立棱柱體模型單元的頂深為平均海底地形深度，底深為海底地形深度，其與海水密度間的密度差為負(fù)值。

建立圖1 所示的Z軸向下為正的直角坐標(biāo)系進(jìn)行重力異常正演計(jì)算，其中直立棱柱體場(chǎng)源σ和觀測(cè)點(diǎn)Q分別用坐標(biāo)(ξ,η,ζ)和(x,y,z)表示，則具有常密度Δρ的直立棱柱體σ(ξ1＜ξ2,η1＜η2,ζ1＜ζ2)在任意觀測(cè)點(diǎn)Q(x,y,z)產(chǎn)生的重力異常Δg(x,y,z)正演計(jì)算公式可表示為：

圖1 直立棱柱體σ 和觀測(cè)點(diǎn)Q 在直角坐標(biāo)系中的幾何定義Fig.1 Geometrical definition of a rectangular prism σ with an observation point Q in Cartesian coordinate system

其中，G是萬(wàn)有引力常數(shù)，

由式(1)可知，海底地形重力異常正演結(jié)果與海底地形深度呈非線性關(guān)系，其可以簡(jiǎn)化為：

其中，m是海底地形參數(shù)向量，f是將海底地形參數(shù)向量投影到重力異常值的非線性函數(shù)。

1.2 最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演

1.2.1 反演目標(biāo)函數(shù)

由于基于重力數(shù)據(jù)的海底地形反演問(wèn)題往往具有多解性和不穩(wěn)定性，所以正則化反演理論被應(yīng)用來(lái)提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性和合理性。該正則化反演通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)求解，其反演目標(biāo)函數(shù)表示為[20]：

其中? d(m)為數(shù)據(jù)項(xiàng)，也稱之為數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)；?s(m)為模型項(xiàng)，也稱之為穩(wěn)定泛函項(xiàng)（吉洪諾夫正則化項(xiàng)），影響反演結(jié)果的光滑程度；α為正則化參數(shù)，用于控制數(shù)據(jù)項(xiàng)和模型項(xiàng)之間的權(quán)重。對(duì)于數(shù)據(jù)項(xiàng)，其通常表示為：

其中d為觀測(cè)重力異常數(shù)據(jù)。對(duì)于模型項(xiàng)，其通常表示為[16]：

其中R是有限差分矩陣：

1.2.2 反演求解方法

由于該目標(biāo)函數(shù)關(guān)于海底地形深度m是非線性的，因此可以通過(guò)使用高斯-牛頓迭代最優(yōu)化反演算法去最小化目標(biāo)函數(shù)。該方法通過(guò)不斷求解地形參數(shù)擾動(dòng)向量用以在迭代過(guò)程中不斷更新地形參數(shù)向量，直到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。

對(duì)于高斯-牛頓迭代方法，第k次迭代的地形參數(shù)擾動(dòng)向量Δmk能通過(guò)求解下列線性方程組得到：

其中Hk是目標(biāo)函數(shù)的海森矩陣，?Pk是目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，兩者分別表示為：

其中A是敏感矩陣（雅克比矩陣），但其計(jì)算和存儲(chǔ)量較大，為提高效率，文獻(xiàn)[16]用布格板近似起伏海底地形的重力響應(yīng)，此時(shí)新的敏感矩陣被表示為：

其中I 是單位矩陣。

最終，通過(guò)第k次地形參數(shù)擾動(dòng)向量Δmk迭代后的第k+1 次地形參數(shù)向量為：

1.3 超參數(shù)選取

在傳統(tǒng)超參數(shù)選取方法中，除正則化參數(shù)是從一系列待選取值中選出最優(yōu)值外，海水密度與海底地形密度間的密度差和平均海底地形深度這兩個(gè)值均是在反演計(jì)算前已經(jīng)確定的固定值，其準(zhǔn)確性極大依賴于先驗(yàn)信息的可靠性，本文將超參數(shù)取固定值的取值策略稱為超參數(shù)取值策略一。與超參數(shù)取值策略一不同，隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法則是給所有超參數(shù)賦予一定的取值區(qū)間，然后在一系列的取值范圍內(nèi)選取最優(yōu)超參數(shù)，該方法極大減少了超參數(shù)取值準(zhǔn)確性對(duì)先驗(yàn)信息的依賴，增加了反演結(jié)果的可靠性，本文將按照隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取超參數(shù)的取值策略稱為超參數(shù)取值策略二。

本文重點(diǎn)采用超參數(shù)取值策略二來(lái)提高海底地形反演結(jié)果精度，使用該策略之前需要將觀測(cè)數(shù)據(jù)分離成獨(dú)立的兩部分，并對(duì)超參數(shù)進(jìn)行初始化。觀測(cè)數(shù)據(jù)分離是指將觀測(cè)數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集dinv和檢驗(yàn)集dtest兩個(gè)獨(dú)立的部分，訓(xùn)練集用于反演計(jì)算，而檢驗(yàn)集則用于選擇最優(yōu)的超參數(shù)。訓(xùn)練集和檢驗(yàn)集的位置分布如圖2 所示，其中訓(xùn)練集依然位于規(guī)則網(wǎng)格點(diǎn)上，其網(wǎng)格間距變?yōu)樵瓉?lái)的2 倍。超參數(shù)初始化是指按照超參數(shù)可能存在的分布區(qū)間對(duì)本文提到的三個(gè)超參數(shù)進(jìn)行一系列賦值。

圖2 用于交叉驗(yàn)證的訓(xùn)練集（空心圓）和檢驗(yàn)集（實(shí)心圓）Fig.2 Sketch of a data grid separated into the training (open circles) and testing (black dots) data sets in hold-out cross validation

在采用隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法的過(guò)程中，首先使用一系列初始化的超參數(shù)對(duì)訓(xùn)練集dinv進(jìn)行反演計(jì)算，得到一系列的海底地形m，對(duì)于每個(gè)海底地形反演結(jié)果，其均采用高斯-牛頓迭代法最小化目標(biāo)函數(shù)對(duì)反演參數(shù)擾動(dòng)量進(jìn)行求解，最終通過(guò)多次迭代求解反演參數(shù)擾動(dòng)量來(lái)不斷修正海底地形反演結(jié)果以得到最終解；然后將反演得到的一系列海底地形結(jié)果m進(jìn)行重力異常正演，得到對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)重力異常dpre；接著計(jì)算各個(gè)預(yù)測(cè)重力異常dpre與檢驗(yàn)集dtest之間的均方誤差MSE；最后選擇最小的MSE 對(duì)應(yīng)的超參數(shù)為最優(yōu)的超參數(shù)，最優(yōu)超參數(shù)對(duì)應(yīng)的反演結(jié)果則為最優(yōu)的海底地形反演結(jié)果。在選取最優(yōu)超參數(shù)的過(guò)程中，需要應(yīng)用兩次隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法，第一次用于選取最優(yōu)的正則化參數(shù)，第二次則用于選取最優(yōu)的密度差和平均海底地形深度。在選取最優(yōu)正則化參數(shù)的過(guò)程中，密度差和平均海底地形深度取值可以為任意的固定值，在選取最優(yōu)密度差和平均海底地形深度的過(guò)程中，正則化參數(shù)取值為第一次隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取的最優(yōu)正則化參數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算中，首先需要對(duì)重力異常數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波、分場(chǎng)等數(shù)據(jù)預(yù)處理，然后將預(yù)處理后的觀測(cè)數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集和檢驗(yàn)集，并對(duì)海水密度與海底地形密度間的密度差、平均海底地形深度、正則化參數(shù)這三個(gè)超參數(shù)初始化，最后使用隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法來(lái)確定最優(yōu)的超參數(shù)取值及其對(duì)應(yīng)的反演結(jié)果，最終基于隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取超參數(shù)的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演算法的流程圖如圖3 所示。

圖3 反演算法流程圖Fig.3 Flow chart of inversion algorithm

2 理論模型測(cè)試

為了檢驗(yàn)基于隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證策略的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形重力反演方法的精度，理論模型測(cè)試部分分別采用超參數(shù)取值策略一和超參數(shù)取值策略二兩種不同的超參數(shù)取值策略進(jìn)行了精度測(cè)試，其中超參數(shù)取值策略一中的固定超參數(shù)值為超參數(shù)取值策略二中超參數(shù)取值范圍內(nèi)的隨機(jī)取值。在精度測(cè)試中，選取理論模型海底地形深度為參考值，用來(lái)計(jì)算反演海底地形結(jié)果的誤差，選用相對(duì)誤差作為評(píng)估反演結(jié)果精度的指標(biāo)。

2.1 模型概述

針對(duì)不同形態(tài)的海底地形設(shè)計(jì)了深淺不同、地形起伏程度不同的兩個(gè)接近真實(shí)海底地形形態(tài)的海底地形理論模型（簡(jiǎn)單模型和復(fù)雜模型），并正演得到其對(duì)應(yīng)的重力異常信息，以此為基礎(chǔ)完成理論模型模擬仿真反演測(cè)試。簡(jiǎn)單模型是平均深度為2 km 且具有一個(gè)波峰波谷的模擬仿真海底地形模型，其波峰深度為1 km，波谷深度為4.6 km，代表了深度較淺且起伏程度較弱的海底地形展布，其空間位置分布如圖4(a)所示。以2.67 g/cm3為海底地形密度，以1 g/cm3為海水密度，簡(jiǎn)單模型在水平面上的正演重力異常如圖4(b)所示。復(fù)雜模型是平均深度為3 km 且具有多個(gè)波峰波谷的模擬仿真海底地形模型，其最小波峰深度為0.9 km，最大波谷深度為5.3 km，代表了深度較深且起伏程度劇烈的海底地形展布，其空間位置分布如圖4(c)所示。以3 g/cm3為海底地形密度，以1 g/cm3為海水密度，復(fù)雜模型在水平面上的正演重力異常如圖4(d)所示。

圖4 理論模型空間分布及其重力異常Fig.4 Spatial distribution of theoretical model and its gravity anomaly

2.2 精度測(cè)試

利用空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，以圖4(b)(d)所示的重力異常為觀測(cè)數(shù)據(jù)分別對(duì)簡(jiǎn)單模型和復(fù)雜模型進(jìn)行模擬仿真海底地形反演計(jì)算，在每個(gè)模型計(jì)算中通過(guò)使用兩種不同的超參數(shù)取值策略去檢測(cè)不同超參數(shù)取值策略對(duì)反演結(jié)果精度的影響，其反演結(jié)果的誤差統(tǒng)計(jì)見表1。

表1 理論模型測(cè)試誤差統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Error statistics table of theoretical model test

2.2.1 簡(jiǎn)單模型測(cè)試

基于簡(jiǎn)單模型的反演計(jì)算1 采用超參數(shù)取值策略一進(jìn)行海底地形反演計(jì)算，參與反演計(jì)算的正則化參數(shù)取值為10-5，參與反演計(jì)算的密度差參數(shù)取值為1.71 g/cm3，參與反演計(jì)算的平均海底地形深度參數(shù)取值為2.5 km。最終基于空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，得到了如圖5(a)所示的海底地形反演結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的重力異常如圖5(b)所示，兩者與理論仿真地形模型及其重力異常之間的差值分別如圖5(c)(d)所示。從中可以看出，雖然反演結(jié)果的重力異常與理論仿真模型的重力異常擬合較好，但反演的海底地形結(jié)果與理論仿真模型埋深之間卻存在明顯的誤差，其中反演的海底地形深度分布范圍大于理論仿真模型的埋深范圍，兩者間存在0.57 km 的最大誤差，最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差為26.1124%。基于簡(jiǎn)單模型的反演計(jì)算2 采用超參數(shù)取值策略二進(jìn)行海底地形反演計(jì)算，參與反演計(jì)算的正則化參數(shù)取值范圍為10-17～102，參與反演計(jì)算的密度差參數(shù)取值范圍為1.47～1.87 g/cm3，參與反演計(jì)算的平均海底地形深度參數(shù)取值范圍為1～3 km。最終基于空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，獲得的最優(yōu)正則化參數(shù)、最優(yōu)密度差和最優(yōu)平均海底地形深度分別為10-12、1.67 g/cm3和2 km，得到了如圖6(a)所示的海底地形反演結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的重力異常如圖6(b)所示，兩者與理論仿真地形模型及其重力異常之間的差值分別如圖6(c)(d)所示。從中可以看出，反演結(jié)果的重力異常與理論仿真模型的重力異常間的擬合程度要優(yōu)于反演計(jì)算1 中的數(shù)據(jù)擬合情況，且反演的海底地形結(jié)果與理論仿真模型埋深間的誤差遠(yuǎn)小于反演計(jì)算1 中的反演結(jié)果誤差，此時(shí)誤差整體在±0.06 km 的范圍內(nèi)，而扣除邊界誤差外的地形誤差整體在±0.02 km 的范圍內(nèi)，最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差為0.2466%。

圖5 基于超參數(shù)取值策略一的簡(jiǎn)單模型反演結(jié)果及誤差Fig.5 Inversion result of the simple model based on the first strategy used to take the hyperparameters and its error

圖6 基于超參數(shù)取值策略二的簡(jiǎn)單模型反演結(jié)果及誤差Fig.6 Inversion result of simple model based on the second strategy used to take the hyperparameters and its error

2.2.2 復(fù)雜模型測(cè)試

為了測(cè)試該反演算法的魯棒性，將其應(yīng)用于更接近真實(shí)海底地形展布的復(fù)雜模型進(jìn)行海底地形反演計(jì)算?；趶?fù)雜模型的反演計(jì)算3 采用超參數(shù)取值策略一進(jìn)行海底地形反演計(jì)算，參與反演計(jì)算的正則化參數(shù)取值為10-3，參與反演計(jì)算的密度差參數(shù)取值為1.95 g/cm3，參與反演計(jì)算的平均海底地形深度參數(shù)取值為2.5 km。最終基于空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，得到了如圖7(a)所示的海底地形反演結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的重力異常如圖7(b)所示，兩者與理論仿真地形模型及其重力異常之間的差值分別如圖7(c)(d)所示。從中可以看出，雖然反演結(jié)果的重力異常與理論仿真模型的重力異常擬合較好，但反演的海底地形結(jié)果與理論仿真模型埋深之間卻存在明顯的誤差，其中反演的海底地形深度分布范圍小于理論仿真模型的埋深范圍，兩者間存在-0.6 km 的最大誤差，最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差為17.2603%?；趶?fù)雜模型的反演計(jì)算4 采用超參數(shù)取值策略二進(jìn)行海底地形反演計(jì)算，參與反演計(jì)算的正則化參數(shù)取值范圍為10-17～102，參與反演計(jì)算的密度差參數(shù)取值范圍為1.8～2.2 g/cm3，參與反演計(jì)算的平均海底地形深度參數(shù)取值范圍為2～4 km。最終基于空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，獲得的最優(yōu)正則化參數(shù)、最優(yōu)密度差和最優(yōu)平均海底地形深度分別為10-11、2 g/cm3和3 km，得到了如圖8(a)所示的海底地形反演結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的重力異常如圖8(b)所示，兩者與理論仿真地形模型及其重力異常之間的差值分別如圖8(c)(d)所示。從中可以看出，反演的海底地形結(jié)果與理論仿真模型埋深之間的誤差和反演結(jié)果的重力異常與理論仿真模型的重力異常之間的誤差均遠(yuǎn)小于反演計(jì)算3 中的反演結(jié)果誤差和數(shù)據(jù)誤差，此時(shí)反演的海底地形誤差除邊界誤差外整體在±0.04 km 的范圍內(nèi)，最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差為0.6456%。

圖7 基于超參數(shù)取值策略一的復(fù)雜模型反演結(jié)果及誤差Fig.7 Inversion result of complex model based on the first strategy used to take the hyperparameters and its error

圖8 基于超參數(shù)取值策略二的復(fù)雜模型反演結(jié)果及誤差Fig.8 Inversion result of complex model based on the second strategy used to take the hyperparameters and its error

通過(guò)采用超參數(shù)取值策略一的簡(jiǎn)單模型反演計(jì)算1、采用超參數(shù)取值策略二的簡(jiǎn)單模型反演計(jì)算2、采用超參數(shù)取值策略一的復(fù)雜模型反演計(jì)算3 和采用超參數(shù)取值策略二的復(fù)雜模型反演計(jì)算4 可知，基于空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法的海底地形反演結(jié)果的合理性強(qiáng)烈依賴于超參數(shù)的取值，基于超參數(shù)取值策略一獲得的海底地形反演結(jié)果的相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于5%，使得海底地形反演結(jié)果偏離其真實(shí)地形深度，如反演計(jì)算1 和反演計(jì)算3 中的結(jié)果所示，而基于超參數(shù)取值策略二獲得的海底地形反演結(jié)果的精度則較高，其相對(duì)誤差遠(yuǎn)小于5%，如反演計(jì)算2 和反演計(jì)算4 中的結(jié)果所示。精度測(cè)試表明，相比超參數(shù)取固定值的取值策略，基于隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取最優(yōu)超參數(shù)的取值策略能顯著提高海底地形反演結(jié)果的精度，且對(duì)于復(fù)雜模型，基于超參數(shù)取值策略二的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法同樣可以獲得較高的海底地形反演精度。同時(shí)理論模型測(cè)試結(jié)果顯示，反演結(jié)果的邊界位置存在明顯誤差，該現(xiàn)象體現(xiàn)了邊界效應(yīng)對(duì)反演結(jié)果精度的影響，因此在實(shí)際反演計(jì)算中應(yīng)采取擴(kuò)邊的方式來(lái)減弱邊界效應(yīng)對(duì)反演結(jié)果精度的影響。

3 實(shí)際數(shù)據(jù)反演

為了進(jìn)一步測(cè)試基于隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證策略的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法對(duì)實(shí)際重力異常數(shù)據(jù)的反演能力，選取圖9(b)所示的南海某海域?qū)崪y(cè)重力異常為重力觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行實(shí)際海底地形反演計(jì)算，反演計(jì)算中同樣分別采用超參數(shù)取值策略一和超參數(shù)取值策略二進(jìn)行了反演結(jié)果精度比較，同時(shí)在實(shí)際計(jì)算中采取了擴(kuò)邊的方式來(lái)減小邊界效應(yīng)對(duì)反演結(jié)果精度的影響。為了計(jì)算最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差，從全球地形數(shù)據(jù)庫(kù)中截取對(duì)應(yīng)研究區(qū)的海底地形作為參考值，參考值精度優(yōu)于50 m，其海底地形展布如圖9(a)所示。

圖9 南海某海域參考海底地形及其觀測(cè)重力異常Fig.9 Reference submarine topography and observation gravity anomaly of a certain area of the South China Sea

3.1 超參數(shù)選取

在基于超參數(shù)取值策略一的反演計(jì)算中，參與反演計(jì)算的正則化參數(shù)取值為10-3，參與反演計(jì)算的密度差參數(shù)取值為1.95 g/cm3，參與反演計(jì)算的平均海底地形深度參數(shù)取值為2.5 km。在基于超參數(shù)取值策略二的反演計(jì)算中，根據(jù)先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，參與反演計(jì)算的正則化參數(shù)取值范圍為10-5～1，參與反演計(jì)算的密度差參數(shù)取值范圍為1.64～1.7 g/cm3，參與反演計(jì)算的平均海底地形深度參數(shù)取值范圍為3～6 km，最終基于空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，獲得的最優(yōu)正則化參數(shù)取值為 4.6×10-5，最優(yōu)密度差取值為1.66 g/cm3，最優(yōu)平均海底地形深度取值為5.5 km。

3.2 反演結(jié)果分析

基于超參數(shù)取值策略一和超參數(shù)取值策略二分別反演得到了如圖10(a)和圖11(a)所示的海底地形反演結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的重力異常分別如圖10(b)和圖11(b)所示，兩者與理論仿真地形模型及其重力異常之間的差值分別如圖10(c)(d)、圖11(c)(d)所示，反演結(jié)果的誤差統(tǒng)計(jì)見表2。

表2 南海某海域海底地形反演結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Error statistics table of inversion result of a certain area of the South China Seat

圖10 基于超參數(shù)取值策略一的南海海域反演結(jié)果及誤差Fig.10 Inversion result of a certain area of the South China Sea based on the first strategy used to take the hyperparameters and its error

圖11 基于超參數(shù)取值策略二的南海海域反演結(jié)果及誤差Fig.11 Inversion result of a certain area of the South China Sea based on the second strategy used to take the hyperparameters and its error

從中可以看出，雖然兩種不同超參數(shù)取值策略下反演結(jié)果的預(yù)測(cè)重力異常與觀測(cè)重力異?；疽恢拢珒烧叩暮５椎匦畏囱萁Y(jié)果卻存在明顯差異。其中基于超參數(shù)取值策略一的海底地形反演深度遠(yuǎn)大于參考地形埋深，反演的海底地形結(jié)果與參考地形埋深間存在0.8 km 的最大誤差，最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差為7.4948%。而基于超參數(shù)取值策略二的海底地形反演結(jié)果則具有較高精度，反演的海底地形深度分布在1.7～5.6 km 范圍內(nèi)，整體深度分布在5.5 km 附近。但在東部和西南部存在兩個(gè)明顯的淺水區(qū)域，其中東部的淺水區(qū)域海底地形最淺可達(dá)2.3 km，而西南部的淺水區(qū)域海底地形最淺可達(dá)1.7 km，反演的海底地形結(jié)果與參考地形埋深間主要存在±0.5 km 的誤差，其中東南部的海底地形反演結(jié)果精度要整體高于西北部的海底地形反演結(jié)果，東南部海底地形反演誤差僅為0.2 km，最終反演結(jié)果的相對(duì)誤差為4.8524%。進(jìn)一步選取剖面緯度1 為5.10 °、剖面經(jīng)度1 為130.98 °和剖面緯度2 為5.18 °、剖面經(jīng)度2 為130.74 °四條海底地形剖面來(lái)展示兩種不同超參數(shù)取值策略下反演結(jié)果的局部誤差，分別如圖12(a)(b)、圖13(a)(b)所示。

圖12 淺部區(qū)域剖面反演結(jié)果及其誤差Fig.12 Profile inversion result of shallow region and its error

圖13 深部區(qū)域剖面反演結(jié)果及其誤差Fig.13 Profile inversion result of deep region and its error

緯度5.10 °和經(jīng)度130.98 °兩條海底地形剖面代表了淺部區(qū)域的反演情況，其中基于超參數(shù)取值策略一的海底地形反演結(jié)果顯示淺部區(qū)域的反演地形結(jié)果與參考地形間的誤差分布在0～0.8 km 的范圍內(nèi)，反演結(jié)果的相對(duì)誤差分別為10.9733%和9.2293%，而基于超參數(shù)取值策略二的海底地形反演結(jié)果則顯示淺部區(qū)域的反演地形結(jié)果與參考地形間的誤差僅分布在±0.5 km 的范圍內(nèi)，反演結(jié)果的相對(duì)誤差分別為2.9747%和6.9152%。緯度5.18 °和經(jīng)度130.74 °兩條海底地形剖面代表了深部區(qū)域的反演情況，其中基于超參數(shù)取值策略一的海底地形反演結(jié)果顯示深部區(qū)域的反演地形結(jié)果與參考地形間的誤差分布在0～0.7 km的范圍內(nèi)，反演結(jié)果的相對(duì)誤差分別為7.0584%和8.5665%，而基于超參數(shù)取值策略二的海底地形反演結(jié)果則顯示深部區(qū)域的反演地形結(jié)果與參考地形間的誤差同樣僅分布在±0.5 km 的范圍內(nèi)，反演結(jié)果的相對(duì)誤差分別為4.7116%和1.5317%?？梢钥吹剿臈l海底地形剖面的誤差特征與海底地形反演結(jié)果的整體誤差特征一致，誤差結(jié)果分別如圖12(c)(d)、圖13(c)(d)所示。實(shí)際數(shù)據(jù)反演結(jié)果進(jìn)一步表明，在提高海底地形反演結(jié)果精度方面，基于隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取最優(yōu)超參數(shù)的取值策略相比超參數(shù)選取固定值的取值策略具有明顯優(yōu)勢(shì)。雖然基于超參數(shù)取值策略二的南海某海域?qū)嶋H海底地形反演結(jié)果的相對(duì)誤差整體保持在5%以內(nèi)，但部分區(qū)域的反演結(jié)果存在較大誤差，如經(jīng)度=130.98 °剖面顯示的反演結(jié)果，這可能是由于計(jì)算海底地形反演結(jié)果相對(duì)誤差時(shí)選取的參考海底地形本身精度不高造成的。

4 結(jié)論

本文提出了基于重力數(shù)據(jù)的空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形反演方法，該反演方法采用隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取最優(yōu)超參數(shù)來(lái)保證反演精度，最終構(gòu)建了高精度空間域最小化目標(biāo)函數(shù)海底地形重力反演算法。精度測(cè)試表明，該反演方法對(duì)超參數(shù)取值具有較強(qiáng)依賴性，相比超參數(shù)取固定值的取值策略，基于隨機(jī)子抽樣交叉驗(yàn)證法選取最優(yōu)超參數(shù)的取值策略能顯著提高海底地形反演結(jié)果的精度，且對(duì)于多種海底地形模型，基于該超參數(shù)取值策略的反演結(jié)果的相對(duì)誤差均可以保持在5%以內(nèi)。理論模型測(cè)試展示了該反演方法能夠保證精度的準(zhǔn)確性。南海某海域?qū)嶋H海底地形反演結(jié)果的相對(duì)誤差小于5%，該結(jié)果從實(shí)際數(shù)據(jù)反演的角度進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法具有更高的精度。