李祥平

【摘要】二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的綜合問題，不但考查學(xué)生二次函數(shù)和平面幾何的基礎(chǔ)知識，還考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.其中的幾何動態(tài)問題一直是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重，要求學(xué)生求解時需利用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.本文分析探究了二次函數(shù)與幾何圖形的幾種動態(tài)問題，并針對每種動態(tài)問題列舉了一道典型例題進(jìn)行詳細(xì)解答，以期望幫助學(xué)生對函數(shù)與幾何相結(jié)合的知識有更全面的掌握.

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù)；幾何；動態(tài)

1 點(diǎn)動變換問題

例1 將拋物線y=ax2a≠0向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y=ax－h(huán)2+k.拋物線H與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C.已知A－3，0，點(diǎn)P是拋物線H上的一個動點(diǎn).

（1）求拋物線H的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)Q是拋物線H的對稱軸l上的一個動點(diǎn)，在拋物線H上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

分析 動點(diǎn)問題的一般解題思路：①化動為靜，讓運(yùn)動的點(diǎn)在某個時刻停止下來，分析此刻變量間的關(guān)系；②利用好對稱性，如果是二次函數(shù)的題一定要利用好圖象的對稱性；③關(guān)系法：根據(jù)圖形找出已知條件間的關(guān)系，列出方程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.

2 線動變化問題

例2 如圖3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經(jīng)過點(diǎn)A－3，0、B5，0、C0，5.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）把拋物線y=ax2+bx+ca≠0向下平移133個單位長度，再向右平移nn>0個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍.

分析 解決這種運(yùn)動變化型的問題，關(guān)鍵是要掌握在運(yùn)動中分析問題，在變化中進(jìn)行求解.首先，要把握運(yùn)動規(guī)律，尋求運(yùn)動過程中的特殊位置；其次，學(xué)會將動態(tài)問題進(jìn)行靜態(tài)化，即將動態(tài)情境轉(zhuǎn)化為幾個靜態(tài)的情境，從中尋找到變量之間的關(guān)系，用相關(guān)字母去表示幾何圖形中的長度、點(diǎn)的坐標(biāo)等，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.

解 （1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得

9a－3b+c=025a+5b+c=0c=5，解得a=－13b=23c=5，

所以，拋物線解析式為y=－13x+23x+5.

（2）因為y=－13x+23x+5，

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，163，所以將拋物線向下平移133個單位長度，再向右平移nn>0個單位長度后，得到的點(diǎn)M的坐標(biāo)為1+n，1.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk≠0，把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得5k+m=0m=5，解得k=－1m=5，所以，直線BC的解析式為y=－x+5，

令y=1，解得x=4，

新拋物線的頂點(diǎn)M在△ABC內(nèi)，

所以1+n<4，且n>0，解得0