顧新輝

(南通師范高等?？茖W(xué)校,江蘇 南通 226006)

基金項(xiàng)目：本文系第四期江蘇省年度職業(yè)教育教學(xué)改革研究課題“面向師范生的STEM教育課程開發(fā)實(shí)踐與研究”的研究成果之一(課題編號:ZYB357/2019/03/05)

大多數(shù)一年級的學(xué)生在數(shù)字運(yùn)算的表現(xiàn)上,經(jīng)驗(yàn)與掌握程度較為不足.學(xué)生對于等號概念的意義理解較為困難,這與等號概念的呈現(xiàn)方式、教材中對等號概念學(xué)習(xí)課時數(shù)及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平有密切關(guān)系.所以,教師在進(jìn)行課程安排時,需建構(gòu)適切的模型呈現(xiàn)多元的等號概念內(nèi)涵,以此將抽象的問題具體化,便于學(xué)生更好地掌握等號概念.本文以天平平衡模型為例,談?wù)勌炱狡胶饽Ｐ驮诘忍柛拍顚W(xué)習(xí)中的建構(gòu)、鞏固及擴(kuò)展學(xué)生的等號概念的作用.

1 通過操作活動,把抽象的等號概念學(xué)習(xí)具體化

通常,模式識別并非某個個體的隨意猜想,而是采取掃描或者逐項(xiàng)查核才能正確.因此,只能在同時處理許多特征的認(rèn)知結(jié)果下才會發(fā)生[1].不同的情境特征可能呈現(xiàn)不同的模式特征,對于一年級學(xué)生來說,相似情境更易于對其引起注意,從而辨識出特殊的特征.天平模型的便利之處在于提供給學(xué)生一個極為清晰的辨識模式.天平模型是一年級學(xué)生掌握等號概念的辨識情境、事件及經(jīng)驗(yàn)的初始知識.

將天平具體平衡的情境改成“想象”平衡的情境,將動手操作改為思維操作,在腦海中呈現(xiàn)“兩邊一樣”“單邊操作”“雙邊操作”這些問題,發(fā)展直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)[2].在此過程中,教師應(yīng)指引學(xué)生書寫符合“反身性”“單邊運(yùn)算”“雙邊運(yùn)算”的算式.課上等學(xué)生寫出正確的算式后,再要求學(xué)生結(jié)合天平平衡的情境,闡述等式的意義,而后呈現(xiàn)算式,希望能利用實(shí)物表征和說明算式的情境.例如7=7,學(xué)生要在左邊托盤上放上7個積木,右邊也應(yīng)該同樣如此,表示兩邊相等;或7+6=5+8,學(xué)生操作天平:左邊托盤上有7個積木,右邊托盤上有5個積木,左邊又放上6個積木,變成13個積木,右邊也要有13個積木才會“相等”,所以右邊托盤上還要放上8個積木.上述活動內(nèi)容以“等號”相關(guān)的知識加以引導(dǎo),讓學(xué)生認(rèn)識由簡單到復(fù)雜,通過操作活動激發(fā)其學(xué)習(xí)動機(jī).

具體而言,通過操作活動實(shí)現(xiàn)等號概念學(xué)習(xí)具體化,可通過以下幾個階段實(shí)現(xiàn):第一,告知學(xué)生天平平衡可以代表“=”,也可將平衡時的數(shù)量操作過程及結(jié)果用算式呈現(xiàn),例如天平兩邊皆無積木時會呈現(xiàn)平衡,此時可寫成0=0;第二,呈現(xiàn)天平,讓學(xué)生操作,詢問學(xué)生當(dāng)兩邊托盤一樣高(平衡)時,代表何種意義?學(xué)生明白兩邊放的積木數(shù)量呈現(xiàn)“相等”(反身性,A=A兩邊為相同的對象);第三,再呈現(xiàn)天平不平衡的現(xiàn)象,詢問學(xué)生如何讓它“平衡”.學(xué)生嘗試著操作兩邊托盤的積木數(shù)量,以解決問題,了解天平的平衡可表示托盤兩邊數(shù)量“相等”的概念.如,左邊托盤有8個積木,右邊托盤放5個積木,怎么操作,兩邊才會平衡?學(xué)生將右邊托盤再放上3個積木,總共等于8個,也可寫成8=5+3.再分別呈現(xiàn)“托盤兩邊一樣”“托盤單邊操作”“托盤雙邊操作”的問題,提供學(xué)生思考操作.在此過程中,教師應(yīng)指引學(xué)生書寫反應(yīng)“反身性”“單邊運(yùn)算”“雙邊運(yùn)算”的算式表示.等學(xué)生寫出正確算式后,要求學(xué)生結(jié)合天平平衡的情境,說明等式的意義.

2 通過啟發(fā)性引導(dǎo),促使學(xué)生思考具體活動的數(shù)學(xué)化

在小學(xué)階段,通常一個概念學(xué)習(xí)主要可劃分為:感知→體驗(yàn)→思維→應(yīng)用這四個階段,為了解學(xué)生對等號概念的掌握程度,活動過程可借助于恰當(dāng)?shù)膯栴}進(jìn)行啟發(fā).如在感知等號意義的過程中,可提出“從天平兩端放置的積木,你看到什么變化?”“左右兩邊的積木數(shù)量有什么不同?”等問題,鼓勵學(xué)生對問題情境加以觀察,從不平衡或變化中,識別相等概念的情境.而在體驗(yàn)等號概念的意義的過程中,則從情境的變化中,要求學(xué)生記錄,并思考如何將相等的關(guān)系呈現(xiàn).在思維過程中,數(shù)學(xué)知識便可以從經(jīng)驗(yàn)中獲得,學(xué)生需要把既有的知識與能力和特殊情境加以整合.以6+4=7+3 是否正確為例,學(xué)生可運(yùn)用數(shù)字合成和分解的模型,通過等號兩邊數(shù)字增減變化的辨識與經(jīng)驗(yàn)獲得答案,亦可通過運(yùn)算結(jié)果驗(yàn)證兩邊是否相同,而獲得等號的意義.在該階段,可通過啟發(fā)式詢問學(xué)生:你會采用何種方式來幫助計(jì)算?在應(yīng)用過程中,則要求學(xué)生能夠以等號概念的關(guān)系實(shí)施問題解決,詢問學(xué)生:你能不能想辦法快速算出答案?總之,通過天平平衡四個階段活動的表現(xiàn)與反應(yīng)加以分析、探討,可推論學(xué)生在每種等號概念情境學(xué)習(xí)的狀況.

同時,等號概念教學(xué)的內(nèi)涵,還包括為問題情境里的各元素呈現(xiàn)適切的配對關(guān)系.思考問題情境里主要的特征或者觀察概念周圍已經(jīng)發(fā)展的事件,思考的知識促進(jìn)個體創(chuàng)造現(xiàn)在問題的心智模型.通過現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的闡述與表現(xiàn),可將之前一般情境辨認(rèn)的經(jīng)驗(yàn),轉(zhuǎn)移到知識的思考模式上.例如以數(shù)字20的合成為例,學(xué)生需同時注意兩數(shù)字合成后等于20的事實(shí),其中,若有一數(shù)字改變,則另一數(shù)字也需同時改變,即滿足□+▲=20.若學(xué)生經(jīng)引導(dǎo)后能發(fā)現(xiàn)此法則,則教師可幫助學(xué)生歸納:一組數(shù)字逐漸增加時,另一組數(shù)字則會逐漸遞減的模式變化,同時了解分解與合成過程中的數(shù)字相互關(guān)系.

3 通過強(qiáng)化等號概念的意義,發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維

對等號概念或運(yùn)算能力的習(xí)得和轉(zhuǎn)化而言,符號化的問題結(jié)構(gòu)表達(dá)是最基本的[3],因此必須提供不同情境的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能掌握等號概念,在于如何運(yùn)用模型進(jìn)行建構(gòu)與推理,如果等號問題情境屬于物理狀態(tài),那么就需要創(chuàng)造視覺表征,以促進(jìn)空間思考的模型建構(gòu);若等號問題情境屬于數(shù)字或數(shù)量,為了推理,就需要建構(gòu)一種問題情境的模型.因此,針對等號概念的轉(zhuǎn)化,需將重點(diǎn)集中在“具體表征與抽象數(shù)字”和“情境新穎與熟悉的問題”之間明確連結(jié)的教學(xué),才能幫助學(xué)生從不同的情境中,通過思考、計(jì)劃與執(zhí)行等過程整合等號概念的學(xué)習(xí).表1呈現(xiàn)的是等號概念教學(xué)情境的內(nèi)容.

表1 不同類型的情境與等號概念學(xué)習(xí)

一年級學(xué)生所學(xué)的等號概念包含數(shù)字分解、合成能力、以10為主的位值概念,以及運(yùn)算后獲得的數(shù)字保留概念.以天平平衡作為載體,結(jié)合等號“反身性”“單邊運(yùn)算”“雙邊運(yùn)算”概念的教學(xué)情境(如5=5,6=4+2,4+2=5+1),配合實(shí)物操作和數(shù)字關(guān)系的辨別、思考、計(jì)劃與執(zhí)行等模型知識,展現(xiàn)不同情境下的等號概念.

首先,提供呈現(xiàn)在等號兩邊運(yùn)算結(jié)果的情境.通過天平平衡情境,熟練等號單邊數(shù)字的分解與合成能力,在單邊運(yùn)算的情境里,學(xué)生通過天平“平衡”的觀察,把天平平衡與等號概念進(jìn)行連結(jié),理解等號可表示“兩邊相等”的概念.同時教師提供與引導(dǎo)等式記錄的方式,讓學(xué)生理解并呈現(xiàn)問題情境的運(yùn)算結(jié)果,可置于等號的左邊或右邊.

其次,幫助學(xué)生了解等號表示兩邊對象一樣的意義.學(xué)生利用運(yùn)算方式判斷算式是否具有相等關(guān)系,在數(shù)字分解與合成的過程中,若受限于計(jì)數(shù)技巧不熟練及認(rèn)知資源不足,那么等號概念的理解將會變得困難.換言之,要對兩邊運(yùn)算命題產(chǎn)出正確解答,“等號單邊”運(yùn)算能力是基本的要求,單邊運(yùn)算能力是學(xué)生擴(kuò)展等號概念其它意義的基礎(chǔ),也是幫助學(xué)業(yè)成績較低的學(xué)生驗(yàn)證雙邊運(yùn)算結(jié)果的必要能力.運(yùn)用等號解決問題的能力會受到學(xué)生對數(shù)字分解與合成能力掌握程度的影響,特別是運(yùn)用等號對開放式問題的等號算式的解決.因此,在等號概念的教學(xué)過程中,不僅要強(qiáng)調(diào)概念性的知識,還要配與一定的程序性知識訓(xùn)練,借助模型發(fā)展等號的概念和意義,使等號概念更為豐富.

當(dāng)進(jìn)入等號反身性教學(xué)情境時,因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具有“等號代表兩邊對象相等”的認(rèn)識,教師可通過引導(dǎo)學(xué)生思考“兩邊對象相等”的含義,讓學(xué)生明白等號是對象本身,也可以是具有相同運(yùn)算結(jié)果的對象.但不論對象是通過運(yùn)算得到的結(jié)果,還是本身的投射,即便是存在“0”的情境出現(xiàn)時,均是等號“反身性”的意義.

最后,驗(yàn)證等號兩邊可同時進(jìn)行運(yùn)算,強(qiáng)化等號兩邊數(shù)字運(yùn)算的能力.兩邊運(yùn)算的情境,一般開始的時候會受限于計(jì)算解題所需的認(rèn)知資源,因此,需要熟練運(yùn)算數(shù)字技巧后方可進(jìn)行.在實(shí)際教學(xué)中,可以先呈現(xiàn)“等號單邊運(yùn)算”與“等號反身性”的情境教學(xué),等學(xué)生理解等號是具有“兩邊對象相等”的關(guān)系概念后,再進(jìn)入雙邊運(yùn)算的教學(xué)情境.若無堅(jiān)實(shí)的運(yùn)算能力和正確的等號關(guān)系概念作為基礎(chǔ),貿(mào)然地接觸雙邊運(yùn)算教學(xué)活動,將會造成觀念混淆且易在學(xué)習(xí)上產(chǎn)生挫折.

總之,人類學(xué)習(xí)的困難之處在于如何應(yīng)用抽象的范疇去知覺真實(shí)世界的事物,模型便是一種紐帶,它能提供被知覺現(xiàn)象的表征,并于限制的內(nèi)在范疇下加以說明.利用天平平衡的模型來組織一年級學(xué)生理解等號概念學(xué)習(xí),能夠有效地表征等號概念的特點(diǎn),進(jìn)而幫助學(xué)生發(fā)展等號的符號意識和代數(shù)思維,將現(xiàn)實(shí)世界與客觀符號進(jìn)行有效連結(jié),使學(xué)生更好地掌握和利用等號概念實(shí)施問題解決.