鐘傳磊，杭魯濱 , ，王明遠(yuǎn)，曲志洋

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海 201620；2.上海市大型構(gòu)件智能制造機(jī)器人技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 201620）

汽車(chē)門(mén)鎖作為車(chē)門(mén)系統(tǒng)內(nèi)部一個(gè)重要的安全部件，其功能可靠性及穩(wěn)定性與乘客使用體驗(yàn)及安全息息相關(guān)。圖1 為高端汽車(chē)側(cè)門(mén)鎖多支鏈機(jī)構(gòu)示意圖，汽車(chē)門(mén)鎖由執(zhí)行模塊、操動(dòng)模塊組成。執(zhí)行模塊主要由棘輪、棘爪和復(fù)位彈簧構(gòu)成[1]，實(shí)現(xiàn)汽車(chē)側(cè)門(mén)上鎖與解鎖功能；操作模塊主要由剛性連桿、彈簧、限位塊以及運(yùn)動(dòng)副組成的剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)支鏈[2]構(gòu)成，其多條支鏈實(shí)現(xiàn)汽車(chē)門(mén)鎖不同功能需求。

圖1 高端汽車(chē)側(cè)門(mén)鎖多支鏈機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram for the interior mechanisms of a vehicle's side door latch

汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)部各支鏈機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)理念涵蓋機(jī)構(gòu)學(xué)、齒輪傳動(dòng)以及間歇?jiǎng)恿W(xué)等[3]。Udriste 等[4]以新型門(mén)鎖功能分解角度，進(jìn)行汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)部支鏈的變自由度變拓?fù)錂C(jī)構(gòu)特征分析；王炎等[5]提出一種可實(shí)現(xiàn)電動(dòng)開(kāi)啟功能的解鎖運(yùn)動(dòng)鏈并進(jìn)行軌跡綜合確定機(jī)構(gòu)尺寸。

柔順多運(yùn)動(dòng)模式機(jī)構(gòu)[6]可實(shí)現(xiàn)多種運(yùn)動(dòng)模式的輸出，具有機(jī)構(gòu)儲(chǔ)能和釋放能量的特點(diǎn)，適合多功能需求的應(yīng)用。Tank 等[7]基于五桿機(jī)構(gòu)與扭簧構(gòu)造了欠驅(qū)動(dòng)多自由度機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了柔順變行程運(yùn)動(dòng)；尹鵬等[8]利用彈簧能量?jī)?chǔ)存特性，引入剛度調(diào)節(jié)柔順機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了足式機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)剛度可調(diào)；王明遠(yuǎn)等[9]提出新型柔順副，構(gòu)造了多種運(yùn)動(dòng)模式變自由度五桿機(jī)構(gòu)作為電動(dòng)開(kāi)啟支鏈，實(shí)現(xiàn)汽車(chē)門(mén)鎖多工況。

柔順機(jī)構(gòu)嵌入汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)部以多運(yùn)動(dòng)模式完成各工況下功能需求，但引入非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)特征[10]，導(dǎo)致鎖內(nèi)各支鏈運(yùn)動(dòng)周期軌跡的重復(fù)性差，乃至將引起各支鏈掃掠空間瞬時(shí)交叉，甚至各支鏈運(yùn)動(dòng)干涉，難以保證汽車(chē)門(mén)鎖的安全性和功能穩(wěn)定性。各支鏈周期軌跡重復(fù)性可視為汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)部運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。

最大Lyapunov 指數(shù)分析是研究欠驅(qū)動(dòng)柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的重要方法之一[11]，表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌跡間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率[12]。基于最大Lyapunov 指數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法[13]，Erkaya 等[14]將間隙機(jī)構(gòu)與柔順機(jī)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，分析關(guān)節(jié)間隙對(duì)于系統(tǒng)輸出穩(wěn)定性影響；侯雨雷等[15]以最大Lyapunov指數(shù)判別機(jī)構(gòu)的混沌運(yùn)動(dòng),并研究不同間隙大小及輸入速度對(duì)機(jī)構(gòu)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。

本文基于新型柔順副構(gòu)造了用于汽車(chē)門(mén)鎖的多模式空間柔順機(jī)構(gòu)；分析了該機(jī)構(gòu)的模式切換、運(yùn)動(dòng)特征點(diǎn)穩(wěn)定性等特性；以最大Lyapunov 指數(shù)為機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性評(píng)價(jià)指標(biāo)，基于Wolf 法計(jì)算特征點(diǎn)位移序列的最大Lyapunov 指數(shù)，優(yōu)選柔順副扭簧剛度，保證新型空間柔順機(jī)構(gòu)在車(chē)門(mén)鎖內(nèi)穩(wěn)定運(yùn)行。

1 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR

不同于平面機(jī)構(gòu)，空間機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)三維軸向傳動(dòng)，布置靈活，具有靈活有效使用空間、工作靈活可靠、運(yùn)動(dòng)多樣等特點(diǎn)，在狹窄受限空間的布置尤其具有優(yōu)越性。

基于以上特點(diǎn)，提出一種多模式空間柔順機(jī)構(gòu)作為汽車(chē)門(mén)鎖電動(dòng)開(kāi)啟支鏈，需要滿(mǎn)足以下特征：

1）根據(jù)不同原動(dòng)件及限位情況，靈捷運(yùn)用汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)空間，多支鏈多運(yùn)動(dòng)模式實(shí)現(xiàn)汽車(chē)門(mén)鎖多種工況。

2）汽車(chē)門(mén)鎖多支鏈共用驅(qū)動(dòng)，電動(dòng)開(kāi)啟支鏈作為主要傳動(dòng)支鏈，其掃掠空間與其他支鏈互不干涉，各工況下互相兼容。

1.1 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 的構(gòu)造和應(yīng)用

本研究團(tuán)隊(duì)前期所提出一種具有力適應(yīng)復(fù)位特性與約束變化特性的新型柔順復(fù)合副[9]，如圖2 所示，其由含槽連桿、滑塊連桿、扭簧組成，形成轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副、扭簧力約束組合的柔順復(fù)合副，旋轉(zhuǎn)中心為G。C、F分別為旋轉(zhuǎn)軸心G在移動(dòng)副滑槽內(nèi)左右運(yùn)動(dòng)限位端點(diǎn)。移動(dòng)旋轉(zhuǎn)復(fù)合柔順副由于受C、F的位移限位與扭簧的柔性力約束復(fù)位作用，具有變自由度特征、柔順力復(fù)位特征。

圖2 新型柔順副示意圖Fig.2 Schematic diagram of a novel compliant joint

基于柔順副構(gòu)造的新型多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 如圖3 所示，嵌入到汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)作為電動(dòng)開(kāi)啟支鏈的實(shí)際應(yīng)用如圖4 所示。

圖3 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic diagram of a multi-mode spatial compliant mechanism

圖4 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)鎖內(nèi)應(yīng)用Fig.4 Application of spatial compliant mechanism with multi-mode motion to the vehicle's side door latch

空間柔順機(jī)構(gòu)所構(gòu)造汽車(chē)門(mén)鎖機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示，汽車(chē)門(mén)鎖機(jī)構(gòu)主要由電動(dòng)開(kāi)啟支鏈與保險(xiǎn)支鏈構(gòu)成。其中電動(dòng)開(kāi)啟支鏈需按時(shí)序操控電動(dòng)開(kāi)啟與保險(xiǎn)支鏈?zhǔn)辜D(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)棘輪脫離鎖柱即汽車(chē)門(mén)鎖解鎖功能；保險(xiǎn)支鏈銜接電動(dòng)開(kāi)啟支鏈與棘爪，起到離合作用。

圖5 空間柔順機(jī)構(gòu)所構(gòu)造汽車(chē)門(mén)鎖機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.5 Schematic diagram of the vehicle's side door latch's interior mechanisms constructed with the spatial compliance mechanism

圖5 中：T1～T4為扭簧產(chǎn)生的力矩；T2作用于棘輪上，為汽車(chē)門(mén)鎖開(kāi)啟提供回復(fù)力；T1、T3分別作用于棘爪盤(pán)、棘爪上，為汽車(chē)門(mén)鎖機(jī)構(gòu)提供復(fù)位力，是開(kāi)啟門(mén)鎖需要克服的力；T4作用于柔順副旋轉(zhuǎn)軸上，具有姿態(tài)回復(fù)保持作用，實(shí)現(xiàn)力順應(yīng)特征；L1與L2為鎖內(nèi)限位擋塊；DE桿在L1與L2范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，DE桿初始位置與L1限位塊接觸。

1.2 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 運(yùn)動(dòng)模式分析

多模式柔順空間機(jī)構(gòu)RRPRSR 依據(jù)鎖內(nèi)工況、驅(qū)動(dòng)以及限位約束的不同，具有RSRRR 運(yùn)動(dòng)模式、RRPRSR 運(yùn)動(dòng)模式和RRPRS 運(yùn)動(dòng)模式和RRRP 運(yùn)動(dòng)模式。多模式空間柔順機(jī)構(gòu)4 種運(yùn)動(dòng)模式在汽車(chē)門(mén)鎖多工況的應(yīng)用說(shuō)明，如表1 所示。

表1 各工況空間柔順機(jī)構(gòu)過(guò)程及其對(duì)應(yīng)的車(chē)門(mén)鎖機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)Tab.1 Kinematical representation and relationship between vehicle's side door latch and spatial compliant mechanism under various working modes

其中，機(jī)構(gòu)RSRRR、RRPRS 與RRRP 運(yùn)動(dòng)模式由于限位與機(jī)構(gòu)剛化等情況，實(shí)現(xiàn)自由度為1 的確定性運(yùn)動(dòng)；機(jī)構(gòu)RRPRSR 運(yùn)動(dòng)模式具有2 個(gè)自由度，在柔順副扭簧力約束條件下實(shí)現(xiàn)力自適應(yīng)性復(fù)位。

多模式空間柔順機(jī)構(gòu)尤其適用于汽車(chē)門(mén)鎖狹小空間內(nèi)部實(shí)現(xiàn)多種工況，其柔順性滿(mǎn)足電動(dòng)開(kāi)啟支鏈與保險(xiǎn)支鏈的兼容性。

2 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)動(dòng)力仿真分析

多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 嵌入門(mén)鎖裝置構(gòu)造高端汽車(chē)門(mén)鎖多功能支鏈；在電動(dòng)開(kāi)啟回復(fù)階段中，機(jī)構(gòu)處于欠驅(qū)動(dòng)工況，其運(yùn)動(dòng)學(xué)回路方程數(shù)少于變量數(shù)，需聯(lián)立動(dòng)力學(xué)方程組求解，而其方程組形式為2 階代數(shù)偏微分方程，模型解析求解尤為困難。故需通過(guò)ADAMS 軟件建立汽車(chē)門(mén)鎖三維模型，仿真分析多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 的運(yùn)動(dòng)性能及動(dòng)力學(xué)性能。

2.1 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 動(dòng)力學(xué)仿真

針對(duì)汽車(chē)門(mén)鎖大密封力300 N 要求，以門(mén)鎖樣機(jī)的尺寸參數(shù)及運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，驗(yàn)證多模式空間柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)用于汽車(chē)門(mén)鎖的可行性和穩(wěn)定性。

在ADAMS 軟件中建立的汽車(chē)門(mén)鎖的仿真模型如圖6 所示，其中紅色虛線(xiàn)為電動(dòng)開(kāi)啟支鏈，藍(lán)色虛線(xiàn)為保險(xiǎn)支鏈。

圖6 多模式空間柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)造的汽車(chē)門(mén)鎖仿真模型Fig.6 The simulation model of the vehicle's latch constructed with the spatial compliance mechanism

由多模式空間柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)造的汽車(chē)門(mén)鎖電動(dòng)開(kāi)啟支鏈仿真參數(shù)如表2 所示。

表2 空間柔順機(jī)構(gòu)幾何和物理參數(shù)Tab.2 Geometric and physical parameters of the spatial compliant mechanism

機(jī)構(gòu)各彈簧參數(shù)的設(shè)置如表3 所示，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，設(shè)新型柔順副扭簧剛度為1 N·mm/°，其具體優(yōu)選取值將在機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性章節(jié)討論。

表3 門(mén)鎖機(jī)構(gòu)內(nèi)部扭簧參數(shù)設(shè)置Tab.3 Interior torsion springs' parameter design for latch mechanism

通過(guò)汽車(chē)門(mén)鎖在不同工況下的運(yùn)動(dòng)仿真，得出汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)部機(jī)構(gòu)各工況下對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)模式的驅(qū)動(dòng)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)速度、自由度及驅(qū)動(dòng)力矩如表4 所示。

表4 門(mén)鎖機(jī)構(gòu)各工況下不同運(yùn)動(dòng)模式的運(yùn)動(dòng)特性Tab.4 Different motion characteristics of the vehicle's side door latch under different working modes

分析多模式空間柔順機(jī)構(gòu)在門(mén)鎖執(zhí)行各工況時(shí)，表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)電動(dòng)開(kāi)啟支鏈電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩最大，運(yùn)動(dòng)過(guò)程為變自由度運(yùn)動(dòng)；其結(jié)構(gòu)上與保險(xiǎn)支鏈耦合，且能實(shí)現(xiàn)多種功能，為鎖內(nèi)最復(fù)雜、最值得研究的支鏈。

2.2 空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 軌跡與相圖分析

用于汽車(chē)門(mén)鎖的多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR滿(mǎn)足多支鏈運(yùn)動(dòng)的兼容性，但當(dāng)機(jī)構(gòu)處于欠驅(qū)動(dòng)狀態(tài)，柔順副扭簧引入非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性，機(jī)構(gòu)產(chǎn)生非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)特性。故柔順副動(dòng)力約束扭簧的剛度kT可作為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的關(guān)鍵參數(shù)。

多模式空間柔順機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究選擇F點(diǎn)作為運(yùn)動(dòng)特征點(diǎn)，主要考慮如下因素：

1）F點(diǎn)位于空間連桿BC上，為柔順副軸線(xiàn)在滑槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)端點(diǎn)，是多模式空間柔順機(jī)構(gòu)變運(yùn)動(dòng)模式的幾何邊界。

2）F點(diǎn)為距離柔順副槽初始位置距離C的最遠(yuǎn)點(diǎn)，也是機(jī)構(gòu)變自由度的幾何邊界，能表征具有力柔順特性的空間幾何軌跡。

3）F點(diǎn)的空間軌跡反映了A轉(zhuǎn)動(dòng)副與B球副的運(yùn)動(dòng)約束，同時(shí)F點(diǎn)也反映D轉(zhuǎn)動(dòng)副、E轉(zhuǎn)動(dòng)副與柔順副滑槽的運(yùn)動(dòng)約束。

電動(dòng)開(kāi)啟過(guò)程中特征點(diǎn)F分段軌跡示意圖如圖7 所示。

圖7 特征點(diǎn)F 分段軌跡示意圖Fig.7 Schematic diagram of characteristic point F sectional trajectory

為進(jìn)一步研究軌跡特性，以點(diǎn)F為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系F-xyz，x軸正方向與D轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)平行方向向下，y軸正方向與G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軸平行。圖7 中，順序號(hào)和箭頭用于表示分段軌跡的順序和方向。在電動(dòng)開(kāi)啟工況下，柔順機(jī)構(gòu)執(zhí)行單自由度確定運(yùn)動(dòng)RSRRR 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式（分段軌跡①）和欠驅(qū)動(dòng)力自適應(yīng)復(fù)位RRPRSR 運(yùn)動(dòng)模式（分段軌跡②和③）。

柔順副剛度kT為該RRPRSR 機(jī)構(gòu)欠驅(qū)動(dòng)力自適應(yīng)復(fù)位運(yùn)動(dòng)模式中提供復(fù)位約束力，對(duì)該機(jī)構(gòu)工作空間及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性有較大影響。分別選取kT為0.5 N?mm/°、1.0 N?mm/°、1.5 N?mm/°、2.0 N?mm/°和5.0 N?mm/°，以機(jī)構(gòu)特征點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行穩(wěn)定性趨勢(shì)研究。ADAMS 軟件仿真作出該機(jī)構(gòu)所對(duì)應(yīng)連續(xù)10 個(gè)運(yùn)動(dòng)周期的特征點(diǎn)三維運(yùn)動(dòng)軌跡，并根據(jù)時(shí)間變量用位移矩陣表示三維運(yùn)動(dòng)軌跡，記作HF，即

式中：x(ti)為 第ti個(gè) 時(shí)間點(diǎn)x方向上的位移；y(ti)為第ti個(gè) 時(shí)間點(diǎn)y方向上的位移；z(ti) 為 第ti個(gè)時(shí)間點(diǎn)z方向上的位移；N為時(shí)間長(zhǎng)度。

當(dāng)軌跡重合度較高時(shí)，難以確切分析出具體多模式分段軌跡，而相圖是狀態(tài)空間的軌跡，可描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。特征點(diǎn)F在不同柔順副扭簧剛度kT下的軌跡及相應(yīng)相圖如圖8 所示。特征點(diǎn)F在不同柔順副扭簧剛度kT下的軌跡表明，各周期可視化顯示整體重合度較高，但在回復(fù)階段RRPRSR 運(yùn)動(dòng)模式中存在兩個(gè)局部混亂區(qū)域。結(jié)合特征點(diǎn)軌跡圖可知，相圖中的波動(dòng)主要來(lái)源于特征點(diǎn)速度的變化。

圖8 扭簧不同剛度kT 下，特征點(diǎn)F 軌跡與相圖Fig.8 Motion trajectories and phases of characteristic point F trajectory with different kT

圖8 中軌跡圖分析如下：

1）當(dāng)柔順副扭簧剛度kT較低時(shí)（見(jiàn)圖8a）和圖8c）），由于該機(jī)構(gòu)復(fù)位過(guò)程速度較快，扭簧約束力過(guò)小，無(wú)法在有限運(yùn)動(dòng)距離內(nèi)抵消復(fù)位慣性力，在特征點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到回復(fù)幅值區(qū)域時(shí)受到?jīng)_擊，出現(xiàn)局部混亂，但復(fù)位零點(diǎn)區(qū)域因扭簧約束力較小，機(jī)構(gòu)在到達(dá)零點(diǎn)后震動(dòng)較小，復(fù)位零點(diǎn)區(qū)域混亂不顯著。

2）當(dāng)柔順副扭簧剛度kT較大時(shí)（見(jiàn)圖8e）、圖8g）和圖8i）），扭簧約束力在有限運(yùn)動(dòng)距離內(nèi)抵消復(fù)位慣性力，回復(fù)幅值區(qū)域局部混亂消失，但復(fù)位零點(diǎn)區(qū)域因扭簧約束力過(guò)大，機(jī)構(gòu)在到達(dá)零點(diǎn)后混亂區(qū)域逐漸增大。

圖8 中相圖分析如下：

1）從相圖中可清晰看出圖7 中3 段分段軌跡特征：分段軌跡①相圖重合度較高；分段軌跡②和③為欠驅(qū)動(dòng)力自適應(yīng)運(yùn)動(dòng)模式，相圖曲線(xiàn)重合度較低。

分段軌跡③中部即復(fù)位緩沖區(qū)域在kT取值較小情況下，由于受到?jīng)_擊速度會(huì)有劇烈波動(dòng)（見(jiàn)圖8b）和圖8d））；在kT取值較大情況下，由于扭簧約束力大大增加，復(fù)位過(guò)程中會(huì)提供較大復(fù)位慣性力，同樣會(huì)在零點(diǎn)區(qū)域造成震動(dòng)沖擊（見(jiàn)圖8j））。

3）在kT取1.5 N?mm/°和2 N?mm/°情況下，相圖穩(wěn)定程度相比其他情況下較高（見(jiàn)圖8f）和圖8h）），是合適的取值區(qū)域，即關(guān)鍵參數(shù)kT選取恰當(dāng)，將提高系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。機(jī)構(gòu)特征點(diǎn)軌跡穩(wěn)定特性研究及關(guān)鍵參數(shù)kT取值范圍確定是該機(jī)構(gòu)研究及應(yīng)用于門(mén)鎖裝置的重要保障。

3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性指標(biāo)Lyapunov指數(shù)的求解方法

機(jī)構(gòu)特征點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡及相圖穩(wěn)定程度難以?xún)H僅由運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)指標(biāo)評(píng)價(jià)，本文提出以帶時(shí)標(biāo)連桿特征點(diǎn)三維空間軌跡構(gòu)造時(shí)變特征點(diǎn)位移序列動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，引用動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)作為穩(wěn)定性指標(biāo)研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

3.1 Lyapunov 指數(shù)求解方法

Lyapunov 指數(shù)作為現(xiàn)代非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)理論中衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定特征的一個(gè)重要量化指標(biāo)，可以描述狀態(tài)空間軌道發(fā)散或收斂的平均指數(shù)率，其指數(shù)大小對(duì)應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞[12]，而Lyapunov指數(shù)主要通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程或時(shí)間序列這兩種方式獲得。

基于動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算，其計(jì)算公式為

式中Lyapunov 指數(shù)λ的數(shù)值主要由函數(shù)F(x)在xi處的雅克比矩陣dF(x)/dx所決定。

空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 整個(gè)電動(dòng)開(kāi)啟過(guò)程的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)難以解析表示，Lyapunov 指數(shù)無(wú)法解析方程式求解。

不同于解析求解Lyapunov 指數(shù)， Wolf[14]提出以實(shí)驗(yàn)或仿真數(shù)據(jù)提取一維時(shí)間序列，重構(gòu)相空間，數(shù)值求解Lyapunov 指數(shù)的方法，可在機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程難以表示時(shí)求解最大Lyapunov 指數(shù)。

3.2 Lyapunov 指數(shù)Wolf 數(shù)值求解法

從一維時(shí)間序列計(jì)算Lyapunov 指數(shù)的過(guò)程包括相空間重構(gòu)、演化距離和指數(shù)求解等步驟。

1）相空間重構(gòu)

基于非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，采用延遲坐標(biāo)法[17]將一維時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)相空間[18]S(m,P)∈Rm×P

式中：m為嵌入維數(shù)；P為相空間向量長(zhǎng)度，P=N-(m-1)τ，τ 為延遲時(shí)間，由自相關(guān)系數(shù)法確定[19]。相空間列向量可表示為

嵌入維數(shù)m可通過(guò)延遲時(shí)間τ與平均周期T求得，表達(dá)式為

式中平均周期T由FTT 法求得[20]。

2）相空間距離計(jì)算

任意兩相點(diǎn)的距離可通過(guò)歐式距離dEuc求得，即

相空間內(nèi)任意兩相點(diǎn)之間平均歐式距離為

3）相空間內(nèi)演化點(diǎn)選取過(guò)程

相點(diǎn)距離及相空間內(nèi)演化距離求解最大Lyapunov指數(shù)的Wolf 數(shù)值法求解過(guò)程示意圖，如圖9 所示。圖中：li為 第i次迭代初始相點(diǎn)距離；l′i為第i次迭代演化距離； θi-1為迭代相點(diǎn)間夾角。在動(dòng)力系統(tǒng)中選取初始距離相近的兩相點(diǎn)，其距離增長(zhǎng)隨時(shí)間呈指數(shù)分布。如圖中黑線(xiàn)所示作為基準(zhǔn)相軌跡s(ti)，藍(lán)線(xiàn)為演化軌跡s1(tni)。

圖9 Wolf 數(shù)值法求解Lyapunov 過(guò)程示意圖Fig.9 Schematic diagram of the Wolf method used to solve the Lyapunov exponents

設(shè)初始相點(diǎn)為s(t1)，初始相點(diǎn)鄰近初始演化相點(diǎn)為s1(tn1)， 兩相點(diǎn)之間的距離l1為

式中：s1(tn1+1)和s(t2)分別為時(shí)間序列相空間中s1(tn1)和s(t1)的下一點(diǎn)（即演化相點(diǎn)）。

在點(diǎn)s(t2)鄰 域范圍內(nèi)搜尋新點(diǎn)s2(tn2)，其迭代過(guò)程中搜尋范圍需滿(mǎn)足距離長(zhǎng)度li與 夾角 θi-1取值范圍，以減小所搜尋新點(diǎn)由于方向與重疊性導(dǎo)致的誤差。搜索條件為：

式中M為總迭代次數(shù)。

6）穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則

當(dāng) λmax＞0 時(shí)，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象，穩(wěn)定性較低，且λmax越 大，穩(wěn)定性越低；當(dāng)λmax＜0 時(shí)，動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)最終趨向于周期運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定性較高；當(dāng)λmax= 0 時(shí)，動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)為周期性穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，具有良好的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，故可選用 λmax作為機(jī)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性指標(biāo)。

4 最大Lyapunov 指數(shù)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

4.1 電動(dòng)開(kāi)啟過(guò)程機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

汽車(chē)門(mén)鎖電動(dòng)開(kāi)啟過(guò)程涉及到多模式空間柔順機(jī)構(gòu)的變自由度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力演變過(guò)程，包括電動(dòng)開(kāi)啟和復(fù)位過(guò)程。以最大Lyapunov 指數(shù)為機(jī)構(gòu)系統(tǒng)穩(wěn)定性判別指標(biāo)，定量分析汽車(chē)門(mén)鎖電動(dòng)開(kāi)啟工況下多模式空間柔順機(jī)構(gòu)RRPRSR 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性?；赪olf 數(shù)值求解法，以電動(dòng)開(kāi)啟工況下機(jī)構(gòu)特征點(diǎn)F空間周期軌跡曲線(xiàn)進(jìn)行相空間重構(gòu)，求解最大Lyapunov 指數(shù)。

根據(jù)2.2 節(jié)所求得的位移矩陣HF，利用歐氏距離將三維軌跡轉(zhuǎn)換為一維時(shí)變位移序列d(t)，即

以Wolf 數(shù)值求解方法，由式（13）求得對(duì)應(yīng)不同扭簧剛度kT特征點(diǎn)F軌跡位移的最大Lyapunov 指數(shù)λmax如圖10 所示。以kT=0.5 N?mm/°為例，其詳細(xì)參數(shù)取值為：m=6、τ=667、P=3 597、N=35 970。從圖10 中可看出，在不同彈簧剛度kT下所選取特征點(diǎn)位移的最大Lyapunov 指數(shù)最終都收斂于正數(shù)。

柔順副扭簧不同剛度kT下，最大Lyapunov 指數(shù)的具體結(jié)果如表5 所示。

表5 扭簧不同剛度kT 對(duì)應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)Tab.5 The largest Lyapunov exponents corresponding to different kT

從 表5 中 可 看 出，kT取1.5 N?mm/°時(shí)，最 大Lyapunov 指數(shù)較小，穩(wěn)定性相較其他取值較高，其結(jié)果與2.2 節(jié)相圖分析相符。

4.2 機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性區(qū)域的搜索與發(fā)現(xiàn)

為進(jìn)一步提高該空間柔順機(jī)構(gòu)機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，在柔順副扭簧剛度kT= 1.5 N?mm/°附近區(qū)域，插值搜索最優(yōu)柔順副扭簧剛度kT取值，以精度ε=10-6計(jì)算其最大Lyapunov 指數(shù)，以提高空間柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

柔順副扭簧剛度kT插值搜索區(qū)域?qū)?yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)結(jié)果如表6 所示，當(dāng)kT= 1.53 N?mm/°時(shí)，其所對(duì)應(yīng)特征點(diǎn)位移的最大Lyapunov 指數(shù)最小且在6 位精度下為0，具有良好的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

表6 kT 插值搜索區(qū)域?qū)?yīng)的最大Lyapunov 指數(shù)Tab.6 The largest Lyapunov exponents corresponding to additional kT values' search regions

當(dāng)柔順副剛度kT= 1.53 N?mm/°時(shí)，所對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)特征點(diǎn)F的軌跡與相圖如圖11 所示，其相圖在速度方向上雖略有波動(dòng)，但軌跡曲線(xiàn)重合性較高，在位移方向上較為穩(wěn)定，與最大Lyapunov 指數(shù)作為穩(wěn)定性指標(biāo)的判定結(jié)果一致。說(shuō)明kT取1.53 N?mm/°時(shí)，該柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)具有較好穩(wěn)定性，適用于汽車(chē)門(mén)鎖內(nèi)部電動(dòng)開(kāi)啟工況。將所求得剛度kT= 1.53 N?mm/°的扭簧安裝于柔順副，以具有柔順副的空間柔順RSRPRR 機(jī)構(gòu)構(gòu)造門(mén)鎖樣機(jī)，如圖12 所示，該門(mén)鎖各工況運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，滿(mǎn)足高端多功能汽車(chē)門(mén)鎖電動(dòng)開(kāi)啟支鏈需求。

圖11 kT =1.53 N?mm/°時(shí)，特征點(diǎn)F 軌跡與相圖Fig.11 The trajectory and phase of characteristic point F when compliance joint stiffness kT = 1.53 N?mm/°

圖12 含多模式空間柔順機(jī)構(gòu)的汽車(chē)門(mén)鎖樣機(jī)實(shí)物Fig.12 Prototype of vehicle's side door latch of the multi-mode spatial compliant mechanism

5 結(jié)論

本文構(gòu)造了一種汽車(chē)門(mén)鎖電動(dòng)開(kāi)啟支鏈的多模式空間柔順機(jī)構(gòu)，以軌跡與相圖定性判斷，結(jié)合最大Lyapunov 指數(shù)定量分析的方法，對(duì)其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了優(yōu)化分析，得出以下結(jié)論：

1）基于新型柔順副提出并構(gòu)造了一種具有多運(yùn)動(dòng)模式的空間柔順機(jī)構(gòu)。該空間柔順機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)4 種運(yùn)動(dòng)模式，以滿(mǎn)足高端汽車(chē)門(mén)鎖多功能需求并與其他支鏈互相兼容。

2）Adams 仿真得出了空間柔順機(jī)構(gòu)相圖與軌跡，定性判斷了柔順副剛度kT對(duì)該空間柔順機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，確定其作為關(guān)鍵參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行研究。

3）本文提出以帶時(shí)標(biāo)連桿特征點(diǎn)三維空間軌跡構(gòu)造時(shí)變特征點(diǎn)位移序列動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，引用動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)作為穩(wěn)定性指標(biāo)研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，用Wolf 數(shù)值法求解計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

4） 將最大Lyapunov 指數(shù)作為機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，以衡量空間柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性；定量分析了不同柔順副剛度kT下，多模式空間柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并從中分析出較優(yōu)取值，保證其鎖內(nèi)應(yīng)用穩(wěn)定性。