文|葉 柱（特級教師）

學(xué)習(xí)過程中，如果建立了結(jié)構(gòu)，就意味著產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)，形成了體系，折射出更深邃、更廣泛的意義。當(dāng)前，之所以推崇“大單元教學(xué)”或“整體教學(xué)”，本質(zhì)上就是為了強(qiáng)化結(jié)構(gòu)，擴(kuò)張課堂的體驗空間，豐富學(xué)生的意義感悟。結(jié)合人教版三年級上冊《集合（重疊問題）》一課的教學(xué)研究，筆者認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力關(guān)注“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”“思維結(jié)構(gòu)”“學(xué)科結(jié)構(gòu)”及“課程結(jié)構(gòu)”的厘清與優(yōu)化。以下為相關(guān)思考，與讀者分享。

一、明晰認(rèn)知結(jié)構(gòu)：從“舊題”到“新問”

在慣常思維里，《集合（重疊問題）》屬于“奧數(shù)”的經(jīng)典內(nèi)容。這一類問題，隨著集合個數(shù)的增加及集合之間關(guān)系的復(fù)雜化，難度系數(shù)會陡然增大，讓人倍感“燒腦”。然而，當(dāng)相關(guān)內(nèi)容“進(jìn)入”現(xiàn)行教材的“數(shù)學(xué)廣角”板塊時，顯現(xiàn)其“大眾化屬性”，強(qiáng)化其“普適性營養(yǎng)”，成為了教師必須直面、亟待解決的現(xiàn)實任務(wù)。

某次，教完例題（如圖1）后，有位學(xué)生質(zhì)疑：“老師，一年級開運(yùn)動會的時候，我們班就有同學(xué)重復(fù)參加兩項比賽了。為什么那時候我們沒做這樣的題……”確實，“重復(fù)參加兩個項目”的現(xiàn)象以前就有，但為什么這類題要到三年級才學(xué)習(xí)呢？顯然，教材的編者肯定是考慮到絕大多數(shù)學(xué)生的年齡特征及接受能力才作此安排的。但透過這位學(xué)生的質(zhì)疑，一個“真相”得以凸顯：“重疊”現(xiàn)象不是“憑空降臨”的新生事物，而是歷來就有的。在這道例題中，如果參加兩項比賽的人員沒有“重疊”，那它就是一年級的簡單加法問題；出現(xiàn)了“重疊”，我們可以把這個問題視為一年級簡單加法問題的“拓展”。這樣思考下來，“重疊問題”的來龍去脈便逐漸清晰了起來。

圖1

前面的課例中，兩位教師都充分溝通了一年級“舊問題”與三年級“新問題”之間的關(guān)聯(lián)與發(fā)展，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以清晰鋪陳。陳佳娣老師著眼創(chuàng)設(shè)“游泳隊”“擊劍隊”的現(xiàn)實情境，自然拋出一個問題：“每班5 人參加游泳隊，3 人參加擊劍隊，一共有多少人參加？”面對這個看似“小菜一碟”的問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，四個班里只有一個班的參加人數(shù)能用“5+3=8”來計算，其他三個班都“另有玄機(jī)”，于是，探索空間便生成了。同樣的，張小麗老師創(chuàng)設(shè)的課堂情境也極富“懸疑”色彩：“一年一度的校園足球節(jié)要開始了。各班參加比賽的人數(shù)要求是顛球4 人、繞樁6 人?？扇?）班只派出了8 人參加比賽，這是怎么回事呢？”在解密真相的過程中，學(xué)生的研究熱情被充分點燃。

研究完“新問題”，對“舊問題”再作一次回眸與審視，也有利于暢通學(xué)習(xí)通路、理順認(rèn)知結(jié)構(gòu)。筆者也曾執(zhí)教《集合（重疊問題）》一課，在新授即將結(jié)束時，呈現(xiàn)三個“舊問題”（如圖2），請學(xué)生判別“是否存在重疊情況”，在新舊溝通中培育了學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”。經(jīng)辨析，他們認(rèn)為“問題3 可能存在重疊情況”，從而自然引出教材“做一做”（如圖3），練習(xí)鞏固水到渠成。

圖2

圖3

圖4

二、理順?biāo)季S結(jié)構(gòu)：從“直觀”到“抽象”

無論教學(xué)如何改進(jìn)，兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律需始終遵循，那就是：基于直觀、適時抽象，有序推進(jìn)認(rèn)知改造。而在《集合（重疊問題）》教學(xué)中，認(rèn)知改造的基本任務(wù)是，引導(dǎo)學(xué)生慢慢熟悉、漸漸把握這類問題的基本特征，積累解決問題的鮮活經(jīng)驗。在這個過程中，教師該如何幫助學(xué)生理順?biāo)季S結(jié)構(gòu)呢？

1.以圖示表征理解

“重疊”是本課的“課眼”，是“新問題”區(qū)別于“舊問題”的關(guān)鍵點，因而也是需要重點聚焦的核心概念。我們看到，在張小麗老師的課堂上，當(dāng)學(xué)生初步萌生“有2 人既參加顛球比賽又參加繞樁比賽，所以，看似需10 人的比賽只要派8 人參加”的想法后，教師及時布置了一個學(xué)習(xí)任務(wù)：“你能不能用自己喜歡的方法把這種含有重疊部分的情況清楚地表示出來呢？”學(xué)生的創(chuàng)意很豐富，課例里呈現(xiàn)了6 種作品。無論是“紀(jì)實”風(fēng)格的作品4，還是“寫意”取向的作品5，都在一定程度上表征出了“重疊”的意味。所展出的學(xué)生作品，又可化身為“強(qiáng)勁的推手”，促進(jìn)學(xué)生的意義理解。陳佳娣老師的課堂上，創(chuàng)設(shè)了“呼啦圈套人”的趣味場景，在“既參加游泳又參加擊劍的同學(xué)怎么站”的現(xiàn)場研討中，也強(qiáng)化了全體學(xué)生對“重疊”的體悟。

2.用語言解讀模型

“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出的“三會”核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵。凝練抽象的數(shù)學(xué)知識，經(jīng)過基于個人理解、指向交流分享的語言描述，會變得更鮮活可感、親和易懂。兩堂課中，在“交集”模型呈現(xiàn)后，兩位教師都很重視組織學(xué)生展開語言描述，充分闡述“重疊區(qū)域”“左側(cè)月牙區(qū)域”“右側(cè)月牙區(qū)域”所表示的含義，在表達(dá)中內(nèi)化模型表象。各有特色的是，陳佳娣老師關(guān)注了“色彩”的強(qiáng)調(diào)作用，而張小麗老師則很重視教師的現(xiàn)場追問及學(xué)生的動手比劃，都取得了理想效果。

3.憑解法支撐策略

從課本內(nèi)容及教參要求看，《集合（重疊問題）》的研究重點是“求幾個集合的總?cè)藬?shù)”。跳出具體算式，整體而言，我們一般能想到兩種思維路徑：一是各集合的人數(shù)之和減去重疊部分；二是將各集合每個區(qū)域的人數(shù)直接相加。這樣的解題策略，是學(xué)生需要掌握的，可以視為本課的基本技能?？v觀課例，兩位教師都很重視解題方法的多樣化引領(lǐng)。比如，陳佳娣老師的課上，學(xué)生就分享了上述兩種方法，并對“為什么要減去1”進(jìn)行了重點討論，突出了“重疊”要點。而在張小麗老師的課堂上，除了上述兩種方法，還出現(xiàn)了“A 集合人數(shù)加B 集合中沒重復(fù)部分人數(shù)”的解題方法。為便于理解，張老師還將解題思路結(jié)合圖示進(jìn)行分解、詮釋，收到了較好效果。當(dāng)然，如果兩位教師能在合適環(huán)節(jié)對幾種解題方法進(jìn)行匯總梳理、點睛歸納，或許會更有利于學(xué)生形成解決問題的一般化策略。

三、展現(xiàn)學(xué)科結(jié)構(gòu)：從“封閉”到“開放”

教材編排的課時，是一個個“節(jié)點”或“截面”。很多個“節(jié)點”或“截面”，才能構(gòu)成知識鏈、知識塊及知識體系。新理念下的數(shù)學(xué)課堂，要葆有開放的視野，由“課時”觀照到“課程”，由“樹木”擴(kuò)展到“森林”，努力向?qū)W生展現(xiàn)更加完備的學(xué)科結(jié)構(gòu)。

張小麗老師的課上，在完成例題的基本部分教學(xué)后，有個拓展設(shè)計堪稱“妙筆”：“如果條件允許，三（1）班還可以派幾人參加比賽，也符合4 人顛球、6 人繞樁的參賽要求？請你分別用韋恩圖及相應(yīng)的算式表示出來?！庇辛饲懊娴姆e累，學(xué)生自然想到在“重疊人數(shù)”上做文章，于是，生成了“6 人、7 人、9 人、10 人”等四種其他情況。其中，“4＋6＝10”屬于“無重疊”的情況，“4＋6－4＝6”屬于“顛球的都參加繞樁”的“全重疊（包含）”的情況。為確定“有無遺漏”，教師適時設(shè)問“有沒有可能是重復(fù)5 人呢？”，讓學(xué)生在反思中領(lǐng)悟到策略范疇的邊界。

陳佳娣老師的教學(xué)組織也有異曲同工之處。兩個集合的多種關(guān)系，被“潛藏”于四個班級的參賽情況里（如表1）。在基于三（1）、三（2）兩個班的參賽情況進(jìn)行基本教學(xué)后，對于三（3）班、三（4）班的參賽情況，教師出示了兩幅集合圖供學(xué)生選擇，從中實現(xiàn)了認(rèn)知視野的拓展。此后，陳老師并沒有止步，而是圍繞“每個班參加兩個項目的總?cè)藬?shù)最多可以是多少？最少可以是多少？”這一核心問題，把所有情況進(jìn)行了匯總，將兩個集合之間的各類關(guān)系進(jìn)行有序梳理，為初中學(xué)段全面研究“集合”知識指引了方向、埋下了伏筆。

表1

評價，引領(lǐng)教學(xué)導(dǎo)向。如果命題設(shè)計也能關(guān)注學(xué)科結(jié)構(gòu)的展現(xiàn)，必能有力推動教學(xué)變革。著眼《集合（重疊問題）》一課的內(nèi)容，筆者曾為區(qū)級畢業(yè)測評命制以下試題（如圖6），獲得了較為理想的評價效度。

圖6

四、完善課程結(jié)構(gòu)：從“數(shù)學(xué)”到“生活”

數(shù)學(xué)課程實施的后半程，是應(yīng)用。數(shù)學(xué)知識作為一種模型，遷移、回歸到鮮活多樣的生活日常里，去詮釋現(xiàn)象、解決問題，從中發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識。張小麗老師在課尾呈現(xiàn)了幾個集合圖，簡潔發(fā)問：“這樣的集合圖你看到過嗎？在解決哪類問題的時候需要用到這個圖呢？”并組織學(xué)生課后查閱資料、尋求答案。顯然，這個任務(wù)并非“噱頭”，其推進(jìn)過程是對課程實施的必要補(bǔ)充，是對課程結(jié)構(gòu)的有效完善。

筆者想起了自己的執(zhí)教經(jīng)歷。當(dāng)時，這節(jié)課應(yīng)邀赴江蘇省揚(yáng)州市進(jìn)行展示。為增加集合知識的現(xiàn)實意義，筆者精心設(shè)計了一組“揚(yáng)州應(yīng)該填哪里”的課堂練習(xí)（如圖7），將“介紹揚(yáng)州風(fēng)貌”與“歷練集合知識”巧妙融合在一起，既落實了知識鞏固、技能訓(xùn)練的基本任務(wù)，又切實發(fā)展了學(xué)生的家國情懷。

圖7

以上，筆者結(jié)合課例思辨，意圖向數(shù)學(xué)教師傳遞這樣的實踐建議：要秉持全局性視野，把握整體性原則，通過創(chuàng)意設(shè)計與精準(zhǔn)施教，切實明晰認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有效理順?biāo)季S結(jié)構(gòu)，充分展現(xiàn)學(xué)科結(jié)構(gòu)，努力完善課程結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生積累起完滿而有深度的成長體驗。