陳國興

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間、信息等概念的學(xué)科。數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”與“形”分別對應(yīng)數(shù)量關(guān)系與幾何圖形，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兩項(xiàng)重要的內(nèi)容?！皵?shù)”“形”在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一。在初中階段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想是落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)任務(wù)的重要一環(huán)，而建設(shè)智慧教室，借助信息技術(shù)、互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)等，打造直觀化、具象化的課堂，可以極大增強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)效性。

一、智慧教室與數(shù)形結(jié)合思想

（一）智慧教室

智慧教室是以信息化技術(shù)與多媒體融合為載體，利用智慧學(xué)習(xí)設(shè)備打造的新型教室。其由兩個核心部分組成：一是有形的物理空間，二是無形的數(shù)字信息空間。在智慧教室開展教學(xué)時，師生通過無線局域網(wǎng)絡(luò)和多種類型的“智慧屏幕”，可以同時獲取資源，隨時進(jìn)行互動，從而打造新型教學(xué)環(huán)境。

（二）數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形結(jié)合在一起，借助數(shù)量的精確性描述，闡釋幾何圖形的某些屬性，或借助圖形的直觀性描述，闡釋數(shù)量之間的關(guān)系，達(dá)到“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)”與“形”是兩個關(guān)鍵部分，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了直觀與抽象的統(tǒng)一，有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將形象思維與抽象思維有機(jī)結(jié)合。

二、智慧教室環(huán)境下培養(yǎng)初中生數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐

（一）電教設(shè)備呈現(xiàn)，直觀認(rèn)識數(shù)形結(jié)合

有學(xué)者曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！笨梢姅?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性。而智慧教室具備了直觀呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合過程的條件，在智慧教室環(huán)境下，教師在教學(xué)中應(yīng)從學(xué)生的形象思維出發(fā)，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。例如，在教授人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第九章第三節(jié)“一元一次不等式組”相關(guān)內(nèi)容時，教師可以利用電教設(shè)備，完整呈現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解決一元一次不等式組中的應(yīng)用，讓學(xué)生直觀地感受數(shù)形結(jié)合的思維過程。

1.呈現(xiàn)主題，具象了解。教師可以向?qū)W生展示問題，讓學(xué)生以數(shù)軸形式求出下列不等式組的解集：

在解題過程中，學(xué)生結(jié)合學(xué)過的不等式知識，在數(shù)軸上會發(fā)現(xiàn)以上不等式組的解集未出現(xiàn)重合，從而從“形”的角度對一元一次不等式組獲得一定的認(rèn)知。隨著解題的深入，學(xué)生會總結(jié)出規(guī)律，即數(shù)大取大、數(shù)小取小、大小與小大時在中間找解、大大小小情況無解，從“數(shù)”的角度對一元一次不等式組產(chǎn)生更深的認(rèn)知。

2.抽象符號，數(shù)形結(jié)合。教師可以利用電教設(shè)備，將上述不等式組用符號表達(dá)，并以數(shù)軸還原解集（圖1）。教師還可以在多媒體屏幕上以動畫形式，呈現(xiàn)還原解集過程中的每一個步驟，確保每一個步驟與數(shù)量關(guān)系對應(yīng)，使學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合的思維過程。

3.基礎(chǔ)實(shí)踐，直觀體驗(yàn)。教師可以提出問題：“假設(shè)不等式x-2＜a有正整數(shù)解，能否借助數(shù)軸確定a的取值范圍？”問題提出后，學(xué)生會通過數(shù)軸快速確定a的范圍。在此基礎(chǔ)上，教師可以逐步深化問題：“若不等式的正整數(shù)解有3個，該如何在數(shù)軸上確定？”在解答問題的過程中，學(xué)生先確定0≤x＜a+2，而解為正整數(shù)有3個，通過數(shù)軸可以看出在滿足條件下a+2應(yīng)介于3與4之間（圖2）。為保證解為3個，a+2不能等于3，若等于3則只能保證有2個正整數(shù)解，a+2為4時則能夠滿足題目條件，因此，可以確定的取值范圍為3＜a+2≤4，拆分成不等式組? ? ? ? ? ? ? ? ?，經(jīng)過計(jì)算得出1＜a≤2。

在以上三個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中，教師在電教設(shè)備的輔助下，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)在解決數(shù)學(xué)問題時運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的方法，感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，有助于學(xué)生在完整、直觀的感知過程中，客觀、全面地認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想。

（二）智慧課堂互動，發(fā)展數(shù)形結(jié)合思維

智慧教室環(huán)境下的智慧課堂，是通過多媒體融合打造的高端課堂形態(tài)，能夠?yàn)閹熒犹峁┒喾N渠道。教師在教學(xué)實(shí)踐中要充分利用智慧課堂的優(yōu)勢，與學(xué)生開展深度互動，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想看待問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維。例如，在人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十二章第三節(jié)“角的平分線的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要掌握的知識包括通過三角形的角平分線構(gòu)造全等三角形、證明三角形全等。在教學(xué)過程中，教師可以充分利用智慧教室中的電教設(shè)備，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂互動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維。

1.電子白板互動。教師可以在電子白板上向全班學(xué)生呈現(xiàn)如下例題，引發(fā)學(xué)生思考。例題1：“在△ABD中，已知∠C為90°，AD是∠BAC的平分線，與BC相交于點(diǎn)D。其中AB=10，S△ABD=15，求CD長?！?/p>

2.學(xué)生響應(yīng)系統(tǒng)。教師可以利用手持設(shè)備詢問學(xué)生關(guān)于解答例題1的思路。這樣，學(xué)生可以單獨(dú)回答教師的問題，避免干擾其他同學(xué)的思路。在此過程中，教師可以將知識條件體現(xiàn)在題目的圖示中，更深入地挖掘題目的已知信息，幫助學(xué)生更直觀地理解已知條件與數(shù)量關(guān)系。

3.互動投影。在確定解題思路后，學(xué)生可以利用手勢在電子白板顯示的課件上通過拖拽、畫圖等方式完成操作，將自身基于數(shù)形結(jié)合思想的思考呈現(xiàn)在電子白板上（圖3）。其他學(xué)生有了新的解題思路時，也可以在電子白板上利用不同顏色的線條或文字進(jìn)行表達(dá)，給予學(xué)生充分參與課堂的機(jī)會。

4.平板電腦互動。學(xué)生可以按照上個環(huán)節(jié)確定的解題思路，在平板電腦上寫出解題過程并上傳至學(xué)習(xí)平臺，教師與其他學(xué)生均可同步看到答案。基于此，學(xué)生之間可以實(shí)現(xiàn)共享和交流，并在此過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的表述，加深對數(shù)形結(jié)合的理解。

在智慧課堂，多樣化的互動途徑能夠?yàn)閷W(xué)生提供體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的契機(jī)，促進(jìn)學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合展開豐富且有深度的交流，從而保證學(xué)生充分參與課堂，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思維的有效發(fā)展。

（三）人機(jī)交互練習(xí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識

在練習(xí)中感知數(shù)形結(jié)合，是學(xué)生快速形成數(shù)形結(jié)合意識，自覺利用數(shù)形結(jié)合思考與解決問題的重要路徑。在智慧教室環(huán)境下，人機(jī)交互練習(xí)方式擺脫了枯燥、機(jī)械的傳統(tǒng)練習(xí)模式，有利于激發(fā)學(xué)生的練習(xí)興趣。在此過程中，教師要高效分享資源、實(shí)時互動，密切關(guān)注不同層次學(xué)生的練習(xí)需求。教師在傳遞習(xí)題資源時，可以設(shè)置不同難度的模塊，告知學(xué)生可以根據(jù)需求先從基礎(chǔ)模塊做起，攻克基礎(chǔ)題目后再挑戰(zhàn)中級題目，在進(jìn)階式的練習(xí)中持續(xù)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識。

例如，在教授人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊第二十六章“反比例函數(shù)”之后，教師可以在線上學(xué)習(xí)平臺上傳包含反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識、與一次或二次函數(shù)結(jié)合、與幾何圖形結(jié)合、與實(shí)際生活結(jié)合的練習(xí)題。其中，基礎(chǔ)知識及與一次或二次函數(shù)結(jié)合的習(xí)題為基礎(chǔ)題目，與幾何圖形結(jié)合的習(xí)題為中級題目，與實(shí)際生活結(jié)合的習(xí)題為高級題目。學(xué)生在學(xué)習(xí)平臺上找到習(xí)題庫后，點(diǎn)擊對應(yīng)標(biāo)題即可獲取習(xí)題資源。在學(xué)生做題的過程中，教師通過線上平臺可以隨時掌握學(xué)生的答題情況。當(dāng)觀察到全部學(xué)生完成了基礎(chǔ)習(xí)題、絕大多數(shù)學(xué)生完成了中級習(xí)題，且10分鐘時間內(nèi)高級習(xí)題正確率未上升時，教師可以直接在線上平臺切換角色，選擇一名做對習(xí)題的學(xué)生當(dāng)“小老師”，在學(xué)習(xí)平臺上演示高級習(xí)題的解題思路、過程，方便學(xué)生彼此借鑒數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，彌補(bǔ)知識和認(rèn)識上的不足。

（四）多屏協(xié)同共享，發(fā)散數(shù)形結(jié)合思維

智慧教室環(huán)境下，教學(xué)空間與資源不再受限，教師在課堂上可以基于多屏共享拓寬學(xué)生視野，從多方面滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力。例如，在人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第二十四章第二節(jié)“點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，為了延伸課堂，教師可以基于教師用屏、小組用屏和學(xué)生用屏，引導(dǎo)學(xué)生探索知識，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思維解答問題。

首先，在教師用屏上，呈現(xiàn)核心知識點(diǎn)與數(shù)學(xué)問題。教師可以將學(xué)生自主繪制的思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)在教師用屏上，并設(shè)置如下題目。

例題2：如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O直徑，已知AD=CD.

1.根據(jù)圖a，求證∠ABC=2∠ACD；

2.如圖b，過點(diǎn)D作⊙O切線，交BC延長線于點(diǎn)P，假設(shè)tan∠CAB=，BC=1，求PD長。

其次，在小組用屏上（教室墻面上安裝的可觸摸一體機(jī)），要求學(xué)生以小組探究形式解決題目。學(xué)生可以應(yīng)用小組用屏，將數(shù)量與圖形之間的關(guān)系直觀地呈現(xiàn)在屏幕上。例如，有小組在解決例題2時，通過小組用屏直接連接OD與OC，發(fā)現(xiàn)了解題突破口。但有小組經(jīng)過反復(fù)嘗試未能發(fā)現(xiàn)解答∠ABC與∠ACD之間關(guān)系的突破口。此時，學(xué)生可以點(diǎn)擊屏幕上的“提示”功能鍵，教師在收到消息后，可以及時為該小組傳遞資源給予提示，如其他組的解題思路等。

最后，在學(xué)生用屏上，教師可以通過局域網(wǎng)共享各個小組的探究成果，以視頻的方式呈現(xiàn)小組探究中的一系列學(xué)習(xí)行為，實(shí)現(xiàn)深層交互，從而提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維。如大多數(shù)小組在解決例題2時做了輔助線OD，但有個別學(xué)生提出“不做輔助線的情況下能否求解”這一問題。針對該問題，各小組重新梳理圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，探索新的解題方法，進(jìn)一步加深了對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

（作者單位：福清市高山育才中學(xué)）