北京市朝陽(yáng)區(qū)教育科學(xué)研究院 張 浩

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)主題。在高考評(píng)價(jià)體系中，數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索是數(shù)學(xué)學(xué)科考查的兩個(gè)學(xué)科素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力是其中兩項(xiàng)關(guān)鍵能力；生活實(shí)踐情境、數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境是其中兩類(lèi)試題情境，它們與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究的關(guān)系尤為密切。

北京高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持以立德樹(shù)人為中心，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力為兩個(gè)著力點(diǎn)，通過(guò)生活實(shí)踐情境考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用，通過(guò)探索創(chuàng)新情境考查數(shù)學(xué)探究和理性思維，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。

一、對(duì)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究的考查

（一）生活實(shí)踐情境與數(shù)學(xué)建模的考查

生活實(shí)踐試題情境需要考生將問(wèn)題情境與學(xué)科知識(shí)、方法建立聯(lián)系，應(yīng)用學(xué)科工具解決問(wèn)題。它關(guān)注與其他學(xué)科和社會(huì)實(shí)踐的關(guān)聯(lián)，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的重要載體。數(shù)學(xué)建模能力是能在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，能對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。

北京高考數(shù)學(xué)中的生活實(shí)踐情境緊密結(jié)合時(shí)代特點(diǎn)，聯(lián)系社會(huì)生活，從真實(shí)問(wèn)題出發(fā)，關(guān)注跨學(xué)科素材，融入數(shù)學(xué)建模，呈現(xiàn)出選材應(yīng)用性、信息多樣性、視角靈活性等特征，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的文化價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值。

（二）探索創(chuàng)新情境與數(shù)學(xué)探究的考查

數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新試題情境包括推演數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)探究、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等問(wèn)題情境，關(guān)注與未來(lái)學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)和數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的更深入的探索，是考查數(shù)學(xué)抽象的重要載體，指向了考查學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)探究素養(yǎng)。數(shù)學(xué)探究能力表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方法，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。

北京高考數(shù)學(xué)中的探索創(chuàng)新情境基于核心概念，關(guān)注學(xué)科本質(zhì)，再現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，體現(xiàn)基本思想方法，考查數(shù)學(xué)探究能力，呈現(xiàn)出背景有內(nèi)涵、形式有新意、設(shè)問(wèn)有層次等特征，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究試題例析

（一）數(shù)學(xué)建模試題舉例

例1（2020年北京卷第15題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改。設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝f（t），用的大小評(píng)價(jià)在［a，b］這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱。已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖1所示。

圖1

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在［t1，t2］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0，t1］，［t1，t2］，［t2，t3］這三段時(shí)間中，在［0，t1］的污水治理能力最強(qiáng)。

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______。

例題分析見(jiàn)表1。

表1 2020年北京卷第15題分析

例2（2021年北京卷第8題）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱(chēng)為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）。24h降雨量的等級(jí)劃分如表2。

表2 24h降雨量等級(jí)

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm、高為300mm的圓錐形雨量器。若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖2所示），則這24h降雨量的等級(jí)是（ ）。

圖2

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

例題分析見(jiàn)表3。

表3 2021年北京卷第8題分析

（二）數(shù)學(xué)探究試題舉例

例3（2019年北京卷理科第8題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋｜x｜y就是其中之一（如圖3），給出下列三個(gè)結(jié)論：

圖3

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3。

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）。

A．① B．② C．①② D．①②③

例題分析見(jiàn)表4。

好產(chǎn)品也需要好服務(wù)，不僅要針對(duì)農(nóng)村、農(nóng)業(yè)和農(nóng)民生產(chǎn)好的產(chǎn)品，還要與時(shí)俱進(jìn)轉(zhuǎn)變銷(xiāo)售方式和模式，做好售后服務(wù)。比如，農(nóng)村電商平臺(tái)利用互聯(lián)網(wǎng)將傳統(tǒng)的趕集搬到網(wǎng)上，通過(guò)線下的實(shí)體體驗(yàn)，在線上完成交易，讓農(nóng)民坐在家里上網(wǎng)趕集就可以買(mǎi)到貨真價(jià)實(shí)的好產(chǎn)品，較好地解決了農(nóng)村物品價(jià)高貨次的問(wèn)題，既降低了商品的流通成本，又節(jié)約了社會(huì)資源，交易的商品得到了農(nóng)民的認(rèn)可和贊許，發(fā)展前景十分令人看好。

表4 2019年北京卷理科第8題分析

例4（2019年北京卷理科第12題）已知l，m是平面α外的兩條不同直線。給出下列三個(gè)論斷：

①l⊥m； ②m／／α； ③l⊥α。

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：___。

例題分析見(jiàn)表5。

表5 2019年北京卷理科第12題分析

例5（2021年北京卷第21題）設(shè)p為實(shí)數(shù)。若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng){an}為Rp數(shù)列：

①a1＋p≥0，且a2＋p＝0；

②a4n－1＜a4n（n＝1，2，…）；

③am＋n∈｛am＋an＋p，am＋an＋p＋1｝（m＝1，2，…；n＝1，2，…）。

（Ⅰ）如果數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為2，－2，－2，－1，那么{an} 是否可能為R2數(shù)列？說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若數(shù)列｛an｝是R0數(shù)列，求a5；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。是否存在Rp數(shù)列{an}，使得Sn＞S10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由。

例題分析見(jiàn)表6。

表6 2021年北京卷第21題分析

三、對(duì)試題的思考

情境性試題通過(guò)提供一定的情境型材料，要求學(xué)生置身于具體的情境中，在充分理解材料的基礎(chǔ)上，回憶、再現(xiàn)、關(guān)聯(lián)、應(yīng)用已有的知識(shí)和方法，尋求解決問(wèn)題的途徑，它是關(guān)鍵能力考查的重要載體。

（一）生活實(shí)踐情境要取材真實(shí)情境，體現(xiàn)育人價(jià)值

生活實(shí)踐情境打通課程知識(shí)與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、跨學(xué)科內(nèi)容的藩籬，結(jié)合數(shù)學(xué)文化與中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，體現(xiàn)時(shí)代特征，展示科學(xué)技術(shù)、人文社科等領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)元素，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科及生產(chǎn)生活之間的聯(lián)系，知曉如何用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，體悟建模思想。情境中不一定直接呈現(xiàn)出模型，而是通過(guò)數(shù)學(xué)抽象建構(gòu)數(shù)學(xué)模型；材料中用多種形式（圖、表、數(shù)據(jù)、符號(hào)語(yǔ)言等）呈現(xiàn)信息，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生在信息時(shí)代應(yīng)具備的閱讀理解、信息整理再加工等能力的考查。

比如，2018年理科第4題給出“十二平均律”，關(guān)注音樂(lè)中的數(shù)學(xué)；2021年第18題以核酸檢測(cè)方法為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)化作用；2022年第7題選取氣體狀態(tài)與溫度、壓強(qiáng)的聯(lián)系為情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是刻畫(huà)自然規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和工具。北京市各區(qū)縣自主命題中也非常關(guān)注生活實(shí)踐情境，見(jiàn)表7。

表7 近年北京各區(qū)自主命題中的部分生活實(shí)踐情境

解答此類(lèi)問(wèn)題是分析和解決問(wèn)題能力的高層次表現(xiàn)，同時(shí)這些素材也具有教育意義，能潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生了解生活中的數(shù)學(xué)模型，自覺(jué)從數(shù)學(xué)角度理解科學(xué)前沿、時(shí)代發(fā)展等的深刻內(nèi)涵，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值。

（二）探索創(chuàng)新情境要突出理性思維，發(fā)揮選拔功能

探索創(chuàng)新情境，挖掘有意義的真實(shí)研究過(guò)程，關(guān)注概念和知識(shí)的形成過(guò)程，創(chuàng)設(shè)多元化設(shè)問(wèn)形式（如繪圖、舉例、選擇、判斷、求證、說(shuō)明等），使學(xué)生在情境中通過(guò)操作試驗(yàn)、方案選擇或猜想推理，將相關(guān)方法遷移和應(yīng)用來(lái)嘗試證明，考查學(xué)生的研究探索能力、獨(dú)立思考能力、嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、敢于質(zhì)疑、勇于探索的科學(xué)精神。設(shè)置開(kāi)放性試題、結(jié)構(gòu)不良試題、綜合創(chuàng)新試題，有利于選拔理性思維能力較強(qiáng)的學(xué)生。

比如，2018年理科第13題是解答不唯一的填空題，以函數(shù)的單調(diào)性為載體，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)放思考構(gòu)造出函數(shù)反例，具有發(fā)散性、探索性和創(chuàng)新性，考查嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性思維和批判質(zhì)疑的意識(shí)。2019年理科第17題第三問(wèn)是開(kāi)放性問(wèn)題，從不同角度基于數(shù)據(jù)分析可以得出不同結(jié)論。2020年起創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)不良試題，其探索性強(qiáng)，思維過(guò)程開(kāi)放，對(duì)思維要求的層次高，有助于考查發(fā)散思維、創(chuàng)新思維和批判性思維。

再如，綜合創(chuàng)新題（第21題）具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，承載著高考數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能，通過(guò)引入新概念或新定義，設(shè)置指向探究的層級(jí)化任務(wù)，逐步考查對(duì)陌生的情境和知識(shí)的理解。此類(lèi)試題通常以數(shù)列、集合、向量等為載體，選材往往有深刻背景，如2018年源于2元域上線性空間的內(nèi)積概念，2019年基于遞增子列設(shè)計(jì)問(wèn)題。北京市各區(qū)縣自主命題也不乏類(lèi)似的背景，如2023年西城區(qū)一模與2元域上線性空間的內(nèi)積定義有關(guān)，2023年?yáng)|城區(qū)期末出現(xiàn)子列的概念。此外，各區(qū)也在探索使用更多背景命制試題，如2022年朝陽(yáng)區(qū)一模的新定義源自加性組合學(xué)中的和集，2022年房山區(qū)一模引入無(wú)界數(shù)列的概念等。這些內(nèi)容取自真實(shí)數(shù)學(xué)情境，學(xué)生在感知、體驗(yàn)、探索的過(guò)程中，深刻理解其本質(zhì)，綜合運(yùn)用邏輯推理、合情推理能力以及學(xué)科思想創(chuàng)造性地分析和解決問(wèn)題，并按照邏輯用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言有條理、有層次地論證，整個(gè)過(guò)程可視作數(shù)學(xué)研究的縮影。

這些情境引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次認(rèn)識(shí)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探究，為學(xué)生搭建了施展才華的舞臺(tái)，為學(xué)生的智慧發(fā)展預(yù)留了充足的空間。

四、結(jié)語(yǔ)

當(dāng)學(xué)習(xí)者面對(duì)生活實(shí)踐情境或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題時(shí)，能夠在正確的思想價(jià)值觀念的指導(dǎo)下，合理運(yùn)用科學(xué)思維方式與方法，認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題的綜合品質(zhì)就是素養(yǎng)的體現(xiàn)。評(píng)價(jià)中的生活實(shí)踐試題情境和探索創(chuàng)新試題情境與教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)及數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是一脈相通的，要“以數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)為引子，融合不同知識(shí)模塊的內(nèi)容進(jìn)行綜合性考查”，既要關(guān)注橫向的學(xué)科內(nèi)外知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，也要關(guān)注縱向的學(xué)科思維方式的整合。高考數(shù)學(xué)中的這些情境能更好地考查學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮考試的區(qū)分選拔功能，同時(shí)還能引導(dǎo)教師教學(xué)中重視價(jià)值引領(lǐng)，展示學(xué)生的理性思維、應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力以及批判質(zhì)疑、勇于探究等綜合品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。