劉 倩, 李 劍

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院, 陜西 西安710021)

Navier-Stokes(N-S)方程[1-4]描述的是粘性不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運(yùn)動(dòng)方程,反映了粘性流體流動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律,是粘性不可壓縮流體的經(jīng)典模型。為了使模擬結(jié)果更好地反應(yīng)實(shí)際情況,在相應(yīng)的確定性系統(tǒng)中添加了一個(gè)具有隨機(jī)性且依賴于解的噪聲項(xiàng),所得方程被稱為隨機(jī)Navier-Stokes方程。

為了進(jìn)一步更加高效地求解隨機(jī)N-S方程,應(yīng)用兩重網(wǎng)格算法[10-14]。兩重網(wǎng)格算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在線性和非線性橢圓邊值問題,Xu[10-11]引領(lǐng)了它的發(fā)展,Girault[12]以及Li[13]等使兩重網(wǎng)格算法已經(jīng)擴(kuò)展到穩(wěn)定的N-S方程,使得理論更加完善。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于,若在粗細(xì)網(wǎng)格之間選取適當(dāng)?shù)谋壤?則兩重網(wǎng)格算法的收斂速度與通常的穩(wěn)定有限元方法相同的前提下可以節(jié)省大量的CPU時(shí)間。

本文主要研究伴隨乘性噪聲隨機(jī)N-S問題的Oseen兩重網(wǎng)格有限元算法。研究的方法是基于文獻(xiàn)[7]和Oseen迭代技術(shù)的兩重網(wǎng)格算法[14],即在Euler-Maruyama方法和Taylor-Hood有限元方法的基礎(chǔ)上應(yīng)用Oseen兩重網(wǎng)格算法求解隨機(jī)Navier-Stokes問題。我們?cè)诜€(wěn)定性條件的假設(shè)下提出誤差分析,結(jié)果表明兩重網(wǎng)格有限元方法可以與傳統(tǒng)有限元方法保持相同的誤差階,并且能節(jié)省可觀的計(jì)算量,最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)同樣證實(shí)了理論分析的結(jié)果。

1 隨機(jī)Navier-Stokes方程

假設(shè)空間D是R2中具有Lipschitz連續(xù)邊界的有界開集,考慮DT=[0,T]×D的隨機(jī)Navier-Stokes方程:

(1)

divu=0 inDT

(2)

式中:μ表示粘性系數(shù);u=(u1,u2)表示速度場;p表示壓力場;f表示外力;{W(t),t≥0}表示W(wǎng)iener過程。在DT中,我們賦予初始條件和Dirichlet邊界條件:

u(0)=u0inDT

(3)

u= 0 on ?DT

(4)

首先我們介紹空間符號(hào),(Ω,F,{Ft},P)是伴隨σ代數(shù){Ft}和概率測(cè)度P的概率空間,定義在概率空間的隨機(jī)變量v,E[v]表示其期望。對(duì)于伴隨范數(shù)‖·‖X的賦范線性空間V,定義Bochner空間:

(5)

以及其范數(shù):

(6)

進(jìn)一步介紹離散的空間符號(hào),即定義有限元空間:

(7)

引入雙線性形式:

(8)

和三線性形式:?u,v,w∈X,

(9)

三線性形式有以下性質(zhì):

b(u,v,w)=-b(u,w,v)

(10)

(11)

(12)

對(duì)于任意的(u,p)∈(D(A)∩X,H1(D)∩M),

其Stokes投影算子滿足:

(13)

最后為了對(duì)隨機(jī)項(xiàng)B(·,u)dW作出解釋,本文分別給出Wiener過程W,隨機(jī)積分的定義和性質(zhì),以及問題(1)的變分弱解形式。

定義1.1 設(shè)Q是L2(D)到其本身的非負(fù)對(duì)稱線性算子,假設(shè)Q具有一組本征值和本征函數(shù){(λj,qj)}j≥1,其中{qj}j≥1是L2(D)的正交基。如果{βj(t),t≥0}j≥1是獨(dú)立同分布適應(yīng){Ft}的實(shí)值Wiener過程序列,則定義在(Ω,F,{Ft},P)上的L2(D)值Wiener過程{W(t),t≥0}定義為:

(14)

(15)

(16)

定義1.3[16]設(shè)u0∈L2(Ω,X0)和f∈L2(Ω,L∞([0,T];[L2(D)]d)),對(duì)任意(v,q)∈(X,M)和(u,p)∈L2(Ω,L∞(0,T;X)∩L2(0,T;X)∩C(0,T;Y))×L2(Ω,L2(0,T;M)),隨機(jī)過程{(u(t),p(t)),0≤t≤T}是方程(1)的弱解是指:

(17)

且d(u,q)=0。

2 假 設(shè)

2.1 算子B的假設(shè)

假設(shè)算子B:[0,T]×[L2(D)]d→L2(Ω,K)是H?lder-Lipschitz連續(xù)并且在第二個(gè)參數(shù)上具有線性增長,即對(duì)于任取的u,v∈[L2(D)]d和s,t∈[0,T],都存在一個(gè)常數(shù)C3>0,使得:

‖B(s,v)-B(t,w)‖≤

C3(1+‖v‖L2)

(18)

2.2 隨機(jī)inf-sup條件[7]

(19)

2.3 時(shí)間半離散Euler-Maruyama格式[7]

令N是正常數(shù),其中n=0,1,…,N,τ=T/N且tn=nτ,設(shè)u0=u0,則式(2)的Euler-Maruyama時(shí)間離散格式即對(duì)于任意的(v,q)∈(X,M),求解{(un,pn)∈L2(Ω,X)×L2(Ω,M):0≤n≤N}使得滿足:

(20)

2.4 時(shí)間半離散穩(wěn)定性估計(jì){7}

根據(jù)Euler-Maruyama時(shí)間半離散格式(20),隨機(jī)過程{(un,pn)∈L2(Ω,X)×L2(Ω,M),0≤n≤N}滿足下列穩(wěn)定性估計(jì):

(21)

(22)

式中C4是獨(dú)立于τ的正常數(shù)。

2.5 空間離散穩(wěn)定性估計(jì){7}

滿足下列穩(wěn)定性估計(jì):

(23)

(24)

式中C5是獨(dú)立于τ和h的正常數(shù)。

2.6 時(shí)間半離散的誤差估計(jì){7}

離散過程{(un,pn);1≤n≤N}滿足下列誤差估計(jì):

(25)

(26)

式中C6是獨(dú)立于τ的正常數(shù)。

2.7 空間離散的誤差估計(jì){7}

(27)

(28)

式中:C7是獨(dú)立于τ和h的正常數(shù)。

3 兩重網(wǎng)格算法

在本節(jié)中,文章利用Oseen兩重網(wǎng)格算法求解伴隨乘性噪聲的隨機(jī)Navier-Stokes方程。

1) 求解粗網(wǎng)格上的隨機(jī)Navier-Stokes方程

(29)

2) 求解細(xì)網(wǎng)格上的隨機(jī)Stokes方程

對(duì)于任意的(vh,qh)∈(Xh,Mh),求解逼近解

(30)

為簡便起見,令

接下來基于穩(wěn)定性估計(jì)式(21)～(24),利用Oseen兩重網(wǎng)格算法可得優(yōu)化誤差估計(jì),首先考慮速度的誤差估計(jì)。

(31)

式中:C=C*(C2,C6,C8)是獨(dú)立于τ和h的正常數(shù)。

證明：式(23)減去式(21),依據(jù)條件(2),并且令vh∈X0,選取vh=en+1,對(duì)于任意n≥1得到以下誤差方程:

(32)

(33)

在假設(shè)2.1中算子B的條件下,根據(jù)鞅的性質(zhì),式(13),式(16)和Young不等式,式(32)的隨機(jī)項(xiàng)可以被控制為:

(34)

最后,利用離散Gronwall引理整理得出以下結(jié)論:

(35)

由式(21),式(21)和式(35),利用三角不等式,可得:

(36)

定理證畢。

(37)

式中:C=C*(C2,C6,C9)是獨(dú)立于τ和h的正常數(shù)。

證明:令式(24)減去式(22),取期望及求和(1≤n≤m(m≤N))整理可得:

(38)

由于隨機(jī)離散inf-sup條件,針對(duì)式(38)右邊的每一項(xiàng)進(jìn)行控制,前三項(xiàng)應(yīng)用Young不等式,在定理1的誤差估計(jì)下,對(duì)非線性項(xiàng)運(yùn)用式(11),式(21)和式(22)收斂,由假設(shè)2.1以及式(13)～(16)對(duì)隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行控制可以得到:

C9τ-1H2

(39)

式中C0是Poincare不等式的常數(shù)。

最后,由式(13),式(26)和式(39)利用三角不等式得:

(40)

4 數(shù)值算例

1) 算例1

(41)

gj(x,y)=(c(sin(jπx)+(jπx)3),c(sin(jπy)+(jπy)3))

(42)

在本次測(cè)試中,我們使用以下參數(shù):c=0.1,T=1,μ=0.1,M=10,Nm=1000,τ0=0.001,h0=1/100進(jìn)行數(shù)值模擬。

令τ0和τ分別表示用于生成解析真解和數(shù)值解,顯然τ0?τ。另外,對(duì)于任何1≤n≤N,我們使用以下數(shù)值積分公式計(jì)算誤差:

(43)

(44)

(45)

為了驗(yàn)證時(shí)間收斂速度,我們固定h=1/100,并使用不同的時(shí)間步長τ=0.01,τ=0.02,τ=0.04,τ=0.08來估計(jì)速度時(shí)間近似的L2(AUn)和H1(BUn)范數(shù)誤差和壓力的H1(BPn)范數(shù)誤差,表1和表2說明了分別使用單層有限元方法和Oseen兩重網(wǎng)格算法所得到的速度和壓力近似的收斂速度。 其中速度誤差是在強(qiáng)范數(shù)下測(cè)量的,壓力誤差是在時(shí)間平均范數(shù)下測(cè)量的,數(shù)值結(jié)果清晰地驗(yàn)證了誤差分析預(yù)測(cè)的半階收斂速度。

表1 單層網(wǎng)格有限元方法近似解的時(shí)間離散誤差Tab.1 Time discretization errors of the approximate solutions by one-level finite element method

表2 兩重網(wǎng)格有限元方法近似解的時(shí)間離散誤差

為了驗(yàn)證空間收斂速度,我們固定τ=0.005,并采用不同的空間網(wǎng)格尺寸h=1/20,h=1/40,h=1/80來估計(jì)速度空間近似的L2(AUn)和H1(BUn)范數(shù)誤差和壓力的H1(BPn)范數(shù)誤差,表3和表4顯示了分別使用單層有限元方法和Oseen兩重網(wǎng)格算法在不同空間尺寸h產(chǎn)生的空間離散的收斂速度。顯然,空間收斂速度與理論預(yù)測(cè)一致,保持一階的收斂階。

表3 單層網(wǎng)格有限元方法近似解的空間離散誤差Tab.3 Spatial discretization errors of the approximate solutions by one-level finite element method

表4 兩重網(wǎng)格有限元方法近似解的空間離散誤差Tab.4 Spatial discretization errors of the approximate solutions by two-level finite element method

為了說明Oseen兩重網(wǎng)格算法的高效性,分別運(yùn)用算法1和算法2求解隨機(jī)Navier-Stokes方程,以此來比較兩種方法的求解時(shí)間,通過表5的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),在保證誤差精度與收斂階的前提下,雙重網(wǎng)格算法能夠節(jié)省大量時(shí)間,減少成本,如果網(wǎng)格剖分加細(xì),這種效果會(huì)更加明顯,算法的優(yōu)越性會(huì)更加明顯,在隨機(jī)偏微分方程求解方面具有很好的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)用價(jià)值。

表5 單層網(wǎng)格與兩重網(wǎng)格算法CPU性能比較Tab.5 Comparison of CPU between one-level method and two-level method

2) 算例2

在第二個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,我們計(jì)算了單位平方區(qū)域D=(0,1)2的驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng),選取f=(0,0),無滑移邊界條件只施加在速度u=(1,0)的邊界{(x,1):0

5 結(jié) 論

本文針對(duì)伴隨乘性噪聲的隨機(jī)Navier-Stokes方程,基于時(shí)間離散Euler-Maruyama格式和Taylor-Hood有限元空間離散基礎(chǔ)上,提出相對(duì)應(yīng)的Oseen兩重網(wǎng)格算法,并進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬。

Oseen兩重穩(wěn)定有限元法是求解二維非定常隨機(jī)Navier-Stokes方程的高效方法。表明了Oseen兩重網(wǎng)格有限元方法對(duì)求解隨機(jī)Navier-Stokes方程具有可行性和高效性,它也適用于解決流體力學(xué)中的一些實(shí)際工程問題。

此外,這些方法還可用于求解二維和三維隨機(jī)不可壓粘性流動(dòng),這將在以后的工作中討論。