基于C3連續(xù)PH曲線的短線段拐角實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?/h1>
2023-12-04 12:54:18張立強(qiáng)許洋洋閆業(yè)翠
計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng) 2023年11期
謝 健,張立強(qiáng),許洋洋,閆業(yè)翠
(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620)
0 引言
數(shù)控機(jī)床在加工復(fù)雜零件時(shí),通常利用計(jì)算機(jī)輔助制造(CAM)軟件對(duì)刀具路徑進(jìn)行離散化處理,生成連續(xù)的短線段,并采用基本的G01指令對(duì)路徑進(jìn)行插值[1]。根據(jù)短線段的長(zhǎng)度,G01指令的移動(dòng)范圍從幾微米到幾十毫米不等。加工過程中,由于短線段路徑拐角處的切向和法向的不連續(xù),會(huì)導(dǎo)致機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的加速度和躍度波動(dòng),引起刀具的振動(dòng),破壞零件的表面光滑度,降低加工質(zhì)量和加工效率。為解決該問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者常采用軌跡光順技術(shù)對(duì)連續(xù)短線段的拐角進(jìn)行平滑處理,即利用高階樣條曲線插補(bǔ)拐角生成平滑的刀具路徑,再進(jìn)行速度規(guī)劃[2-5],使機(jī)床的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)平滑轉(zhuǎn)接,從而實(shí)現(xiàn)高效率,低振動(dòng)的數(shù)控加工。
軌跡光順技術(shù)中常用的樣條曲線有NURBS曲線[6-7]、B樣條[8-9]和Bezier曲線[10]。但是由于上述樣條曲線的弧長(zhǎng)與曲線參數(shù)之間沒有確定的解析關(guān)系,拐角光順?biāo)惴ㄖ械幕￠L(zhǎng)必須使用迭代數(shù)值算法[11-12]來估計(jì)。弧長(zhǎng)精度要求越高,計(jì)算量越大,計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)間越長(zhǎng),不利于實(shí)時(shí)應(yīng)用。而Pythagorean-Hodograph(PH)曲線[13]提供了弧長(zhǎng)與曲線參數(shù)之間確定的解析關(guān)系,弧長(zhǎng)計(jì)算量小,運(yùn)算時(shí)間短,因此在實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ㄑ芯恐幸鹆藦V泛的關(guān)注。JAHANPOUR[14]提出了基于C2連續(xù)的五次PH曲線的高速輪廓加工算法。SHI等[15-17]提出了基于五次PH曲線的拐角光順?biāo)惴?并結(jié)合動(dòng)態(tài)前瞻速度規(guī)劃算法實(shí)現(xiàn)了機(jī)床運(yùn)動(dòng)的平滑轉(zhuǎn)接。FAROUKI等[18]提出了基于G2連續(xù)的七次PH曲線拐角光順?biāo)惴?。目前多?shù)基于PH曲線的拐角光順?biāo)惴▋H限于G2和C2的二階連續(xù),雖然在一定程度上提高了計(jì)算效率,但光順后的C2連續(xù)路徑只能保證機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的加速度連續(xù)。C2連續(xù)與C3連續(xù)相比[19],機(jī)床運(yùn)行過程中的躍度存在較大波動(dòng),這種躍度曲線的不連續(xù)和高振幅會(huì)導(dǎo)致機(jī)床運(yùn)動(dòng)的不平穩(wěn),影響加工質(zhì)量。因此,構(gòu)造C3連續(xù)的PH曲線,對(duì)于實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ň哂兄匾饬x。
綜上所述,為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)拐角光順?biāo)惴ㄖ械膶?shí)時(shí)性與機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù),本文提出了基于C3連續(xù)PH曲線的實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?。該算法通過在線性刀具路徑之間插入設(shè)計(jì)的對(duì)稱PH曲線來實(shí)現(xiàn)。在綜合考慮最大近似誤差和線性段長(zhǎng)度約束的前提下,求解計(jì)算控制點(diǎn)的位置,以實(shí)現(xiàn)PH曲線和線性段銜接點(diǎn)處的C3連續(xù)。并采用五次多項(xiàng)式的柔性加減速曲線對(duì)光順后的刀具路徑進(jìn)行速度規(guī)劃和插補(bǔ),實(shí)現(xiàn)了機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。最后對(duì)所提算法進(jìn)行仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,通過對(duì)比C2連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴▉眚?yàn)證本文算法的有效性。
1 C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?/h2>1.1 PH曲線
設(shè)L(t)=(x(t),y(t))表示平面上一條Bezier曲線,定義為:
(1)
當(dāng)L(t)滿足以下條件時(shí),稱為PH曲線:
x′(t)=u2(t)-v2(t),
y′(t)=2u(t)v(t),
(2)
(3)
參數(shù)速度σ(t)表示為:
(4)
根據(jù)u(t)和v(t)的系數(shù)可以得到σ(t)的系數(shù):
i=0,…,n-1。
(5)
參數(shù)速度σ(t)是L(t)關(guān)于t的變化率,對(duì)σ(t)積分,可得到弧長(zhǎng)s關(guān)于參數(shù)t的多項(xiàng)式函數(shù):
(6)
此外,PH曲線對(duì)應(yīng)的曲率為:
(7)
1.2 C3連續(xù)過渡PH曲線的構(gòu)造
本節(jié)通過在兩個(gè)連續(xù)的短線段之間插入一個(gè)對(duì)稱PH曲線進(jìn)行拐角過渡,提出了C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?。設(shè)計(jì)的對(duì)稱PH曲線表示為:
(8)
為了構(gòu)造C3連續(xù)的PH曲線,引入六次Bernstein多項(xiàng)式為:
(9)
其中Bi(i=0,1,…,13)為控制點(diǎn),由C3連續(xù)的幾何特征、用戶定義的誤差極限和線性段長(zhǎng)度約束共同確定。
如圖1所示,P0、P1和P2為3個(gè)連續(xù)的位置坐標(biāo)。所設(shè)計(jì)的PH曲線分別通過第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)B0和B13,并與控制多邊形的第一條線段B0B1和最后一條線段B12B13相切。為了保證平滑樣條曲線與原始線性刀具路徑銜接點(diǎn)處的位置和切向連續(xù)性,需調(diào)整控制點(diǎn)B0、B1位于線性段P0P1上,控制點(diǎn)B12、B13位于線性段P1P2上。
為了在銜接點(diǎn)B0(t=0)和B13(t=1)處實(shí)現(xiàn)加速度和躍度的連續(xù)性,確保刀具路徑的C3連續(xù)。需要滿足的充要條件為[20]:
(10)
如圖1所示,因?yàn)樵O(shè)計(jì)的樣條曲線是對(duì)稱的,所以由控制點(diǎn)組成的控制多邊形也是對(duì)稱的,可以得到如下等式:
(11)
結(jié)合式(2)、式(9)～式(11),式(8)中的控制點(diǎn)具有以下關(guān)系:
(12)
由式(12)可知,控制點(diǎn)之間的相對(duì)位置被確定?？紤]到PH曲線的對(duì)稱性,由控制點(diǎn)組成的向量表示如下:
(13)
(14)
(15)
如圖2所示,Pt1,Pt2是線性刀具路徑與B6B7延長(zhǎng)線的交點(diǎn),用于計(jì)算l和d之間的長(zhǎng)度關(guān)系。
(16)
(17)
在ΔPt1Pt2P1中,結(jié)合式(17),可得
(18)
因此,結(jié)合式(17)和式(18),l和d之間的長(zhǎng)度關(guān)系如下:
(19)
1.3 最大近似誤差約束
由于構(gòu)造的PH曲線是對(duì)稱的,最大近似誤差emax發(fā)生在PH曲線的中點(diǎn)(L(0.5))和P1之間,如圖1所示。結(jié)合式(8)和式(15),最大近似誤差emax計(jì)算如下:
(20)
將式(15)和式(19)代入式(20)中,則最大近似誤差emax表達(dá)式為:
(21)
由式(21)中最大近似誤差emax的表達(dá)式可知,最大近似誤差emax僅由控制多邊形長(zhǎng)度l決定。在用戶定義的誤差極限ε的約束下,可以得到控制多邊形的長(zhǎng)度l計(jì)算如下:
(22)
1.4 線性段長(zhǎng)度約束
在構(gòu)造過渡PH曲線的過程中,除了最大近似誤差emax會(huì)影響控制多邊形的長(zhǎng)度,拐角兩側(cè)的線性段長(zhǎng)度也會(huì)對(duì)控制多邊形的長(zhǎng)度產(chǎn)生影響。在實(shí)際加工過程中,可能會(huì)出現(xiàn)如圖3所示的因線性段長(zhǎng)度不足,從而導(dǎo)致構(gòu)造的相鄰PH曲線出現(xiàn)輪廓重疊的現(xiàn)象。
因此,控制多邊形的長(zhǎng)度l被約束為:
(23)
結(jié)合式(22)與式(23),構(gòu)造的過渡PH曲線的控制多邊形長(zhǎng)度l被約束為:
(24)
由式(24)可知,縮短控制多邊形的長(zhǎng)度l會(huì)導(dǎo)致最大近似誤差減小,因此在式(24)的約束條件下,最大近似誤差始終在用戶定義的誤差極限范圍內(nèi)。
1.5 PH曲線的弧長(zhǎng)計(jì)算
已知弧長(zhǎng)函數(shù)s(t)的系數(shù)與參數(shù)速度σ(t)的系數(shù)σi(i=0,1,…,12)有關(guān)。根據(jù)式(5),參數(shù)速度的系數(shù)σi(i=0,1,…,12)可以用ui,vi(i=0,1,…,6)的系數(shù)表示為:
i=0,…,12。
(25)
結(jié)合u0,…,u6和v0,…,v6的關(guān)系,式(25)中的系數(shù)σi(i=0,1,…,12)表示為:
(26)
通過將參數(shù)速度的系數(shù)σk代入式(6),PH曲線的弧長(zhǎng)s(t)計(jì)算如下:
(27)
1.6 實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ǖ膽?yīng)用
1.6.1 算法流程
C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴鞒倘鐖D4所示,包括以下3個(gè)步驟:首先讀取相鄰拐角數(shù)據(jù)點(diǎn)信息(連續(xù)3個(gè)位置點(diǎn)P0、P1、P2)并輸入用戶定義的誤差極限ε,由式(24)確定PH曲線的控制多邊形長(zhǎng)度l。接著將控制多邊形的長(zhǎng)度l代入式(15)和式(26)中分別計(jì)算出PH曲線的控制點(diǎn)Bi和參數(shù)速度系數(shù)σi。最后將控制點(diǎn)Bi代入式(8)和式(7)分別求出PH曲線L(t)和曲率κ(t)的解析式,并將參數(shù)速度系數(shù)σi代入式(27)中,求出弧長(zhǎng)s(t)。
此外,所提出的實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ㄊ且远S平面刀具路徑為例進(jìn)行介紹的,但是該算法是可以直接應(yīng)用在三維空間刀具路徑的拐角光順中,因?yàn)槿S路徑中每?jī)蓚€(gè)相鄰短線段都在一個(gè)二維平面上,而拐角光順過程實(shí)際上仍然在二維平面上進(jìn)行。
1.6.2 柔性加減速規(guī)劃
針對(duì)連續(xù)短線段構(gòu)成的刀具路徑,采用本文算法,在拐角處可以獲得C3連續(xù)的PH曲線。如圖5所示,光順后的刀具路徑由紅色的PH曲線和藍(lán)色的線性段構(gòu)成。由于PH曲線的中點(diǎn)是局部最大曲率點(diǎn),因此該點(diǎn)的進(jìn)給速度應(yīng)該被約束到局部最小。為了避免加速度和躍度超過機(jī)床設(shè)定的Amax和Jmax,引起機(jī)床振動(dòng),將PH曲線中點(diǎn)的進(jìn)給速度約束為[4]:
(28)
式中:Fmax為最大進(jìn)給速度,κi為PH曲線中點(diǎn)的曲率,Ts為一個(gè)采樣周期,γmax、Amax、Jmax分別為最大弓高誤差、系統(tǒng)設(shè)定的最大加速度和最大躍度。通過式(28)確定每個(gè)區(qū)間起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的進(jìn)給速度后,利用圖6所示的五次多項(xiàng)式柔性加減速曲線[2]對(duì)光順后的C3連續(xù)刀具路徑進(jìn)行速度規(guī)劃與插補(bǔ),實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。
2 仿真與實(shí)驗(yàn)
2.1 仿真分析
為了驗(yàn)證本文所提C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ǖ挠行?在MATLAB R2018a平臺(tái)上進(jìn)行仿真分析。實(shí)際的刀具路徑不一定是平面輪廓,往往由空間中順序連接的短線段構(gòu)成。首先采用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性三維軌跡來說明拐角光順效果。三維軌跡是一個(gè)空間封閉五角星,設(shè)置誤差極限為0.05mm,拐角光順后的效果如圖7所示。五角星軌跡經(jīng)拐角光順后,插補(bǔ)點(diǎn)的曲率隨弧長(zhǎng)的變化如圖8所示?？梢钥闯鼍植壳首畲簏c(diǎn)出現(xiàn)在樣條曲線的中點(diǎn)處,體現(xiàn)了PH曲線對(duì)稱分布的特點(diǎn)。
為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的普適性,采用一個(gè)包含多種拐角特征(銳角、直角和鈍角)的平面蝶形輪廓軌跡進(jìn)行仿真驗(yàn)證。蝶形輪廓軌跡總長(zhǎng)為463.70mm,共有30個(gè)拐角。設(shè)置誤差極限為0.05 mm,拐角光順后的效果如圖9所示。從拐角局部放大圖可知,最大近似誤差出現(xiàn)在PH曲線的中點(diǎn)處,通過Y軸的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可知光順后的平滑路徑與原始線性路徑之間的最大近似誤差被約束到用戶定義的誤差極限0.05 mm內(nèi)。
軌跡光順技術(shù)中常采用非均勻有理B樣條 (Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS) 曲線和B樣條進(jìn)行拐角光順,但曲線的弧長(zhǎng)和曲線參數(shù)之間沒有確定的解析關(guān)系,若要得到足夠精確的弧長(zhǎng),需要設(shè)置更小的估算誤差,這大大增加了弧長(zhǎng)的計(jì)算量,不適合實(shí)時(shí)應(yīng)用。而本文所采用的PH曲線,弧長(zhǎng)可解析計(jì)算,減少了計(jì)算量,提高了計(jì)算效率。
為驗(yàn)證本文算法的實(shí)時(shí)性,分別采用C2連續(xù)的NURBS曲線[6]、C3連續(xù)的B樣條[9]和本文算法對(duì)蝶形軌跡進(jìn)行拐角光順。弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間如表1所示,其中TN、TB和TPH分別表示采用相應(yīng)拐角光順方法后計(jì)算整條刀具路徑弧長(zhǎng)所需要的平均時(shí)間(計(jì)算10次),ε表示不同的誤差極限約束。由表1可知,本文所提的拐角光順?biāo)惴ɑ￠L(zhǎng)計(jì)算時(shí)間明顯較短,算法效率最高。每一個(gè)拐角的弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間約為0.05ms。對(duì)于一個(gè)插補(bǔ)周期為0.5ms至4ms的典型CNC系統(tǒng)來說,本文的拐角光順?biāo)惴ㄍ耆珴M足實(shí)時(shí)性的要求[22]。
表1 蝶形軌跡弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間
文獻(xiàn)[17]中基于PH曲線的C2連續(xù)算法只能保證加速度的連續(xù),本文提出的C3連續(xù)拐角光順?biāo)惴ㄅcC2連續(xù)算法相比,可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。為了證明所提算法在拐角處可以獲得更加平滑的躍度曲線。本文對(duì)兩種拐角光順?biāo)惴ê蟮牡毒呗窂讲捎孟嗤乃俣纫?guī)劃與插補(bǔ)方法進(jìn)行驗(yàn)證。仿真中設(shè)置的參數(shù)如表2所示。
表2 仿真參數(shù)
由于蝶形軌跡為平面輪廓,這里僅對(duì)X,Y軸的躍度曲線進(jìn)行對(duì)比分析。如圖10所示,C2連續(xù)拐角光順?biāo)惴ú逖a(bǔ)后的躍度曲線存在突變且躍度波動(dòng)較大,甚至在某些拐角處超過了最大躍度極限。而本文算法插補(bǔ)后的躍度曲線比C2算法更加平滑,如圖11所示。
對(duì)比兩種算法在6個(gè)典型拐角處的Y軸躍度最大值,如表3所示。本文算法較C2算法躍度波動(dòng)平均降低了44.3%,躍度曲線更加平滑,驗(yàn)證了本算法可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)躍度連續(xù)的有效性。
表3 Y軸躍度對(duì)比
在實(shí)際加工中,本文所提算法可以實(shí)現(xiàn)不間斷的進(jìn)給運(yùn)動(dòng),而傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法在路徑拐角處的進(jìn)給速度必須減速為零,降低了加工效率。通過對(duì)比本文算法與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法和上述C2連續(xù)算法在加工相同蝶形輪廓軌跡的速度曲線來說明算法的加工效率。如圖12所示,點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)方法的加工總時(shí)間為9.862 s,C2連續(xù)算法的加工總時(shí)間為8.019 s,而本文算法的加工總時(shí)間為7.671 s,相對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法和C2連續(xù)算法加工時(shí)間分別減少了28.6%和4.6%。有效說明本文算法在確保機(jī)床各軸連續(xù)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上提高了加工效率。
2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為了驗(yàn)證所提算法可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的加速度和躍度連續(xù),將上述光順?biāo)惴捎谡n題組開發(fā)的開放式數(shù)控系統(tǒng)中。該數(shù)控系統(tǒng)包含上位機(jī)和下位機(jī)兩個(gè)部分,上位機(jī)是基于Windows XP +RTX8.1實(shí)時(shí)控制軟件在PC機(jī)上開發(fā)的,可以提供實(shí)時(shí)計(jì)算和多線程計(jì)算,下位機(jī)是一臺(tái)運(yùn)動(dòng)控制卡(固高GTS-800-PG)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用如圖13所示的的江蘇厚道HD-V185F三軸立式加工中心進(jìn)行銑削加工實(shí)驗(yàn)。毛坯材料為7050-T7451鋁合金,尺寸為200×180×15 mm。刀具選用硬質(zhì)合金球頭銑刀,銑削深度為0.5 mm。實(shí)驗(yàn)設(shè)備參數(shù)和刀具參數(shù)如表4所示,實(shí)驗(yàn)刀具路徑采用上述仿真中的蝶形輪廓,最大進(jìn)給速度為80 mm/s,最大加速度為800 mm/s2,最大躍度為50 000 mm/s3,最大近似誤差極限為0.05 mm,最大弓高誤差為0.001 mm,采樣周期為0.5 ms。銑削加工效果如圖14所示。
表4 設(shè)備參數(shù)和刀具參數(shù)
實(shí)驗(yàn)過程中,通過上位機(jī)插補(bǔ)可以直接得到插補(bǔ)指令、合成速度與各軸的速度分量。為了進(jìn)一步得到相應(yīng)的加速度和躍度曲線,需要對(duì)得到的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)按照采樣周期做關(guān)于時(shí)間的運(yùn)算處理。加工過程中的插補(bǔ)命令如圖15所示,各規(guī)劃區(qū)間的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線如圖16所示。圖15中的藍(lán)色和綠色曲線分別表示X、Y軸的實(shí)時(shí)插補(bǔ)命令。從圖16可知速度曲線、加速度曲線和躍度曲線均平滑連續(xù)。
各軸的加速度曲線,躍度曲線分別如圖17和圖18所示。由圖17的加速度曲線放大圖可知,各軸的加速度曲線均連續(xù),且實(shí)際加工中的最大加速度小于實(shí)驗(yàn)設(shè)定的最大加速度800 mm/s2。由圖18的躍度曲線放大圖可知,各軸的躍度曲線均連續(xù),且最大躍度小于實(shí)驗(yàn)設(shè)定的最大躍度50 000 mm/s3。這表明本文提出的C3連續(xù)拐角光順?biāo)惴☉?yīng)用在上述實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)時(shí)加工中能夠確保機(jī)床平穩(wěn)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng),減少機(jī)床振動(dòng),提高零件的加工質(zhì)量。
3 結(jié)束語
本文針對(duì)加工過程中,因連續(xù)短線段路徑拐角處的切向和法向不連續(xù)導(dǎo)致的機(jī)床各軸加速度和躍度波動(dòng)問題,提出了C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?。該算法通過在相鄰短線段間插入滿足最大近似誤差和線性段長(zhǎng)度約束的PH曲線,實(shí)現(xiàn)了直線段與PH曲線銜接點(diǎn)處C3連續(xù)的平滑過渡。并采用五次多項(xiàng)式的柔性加減速曲線對(duì)光順后的C3連續(xù)路徑進(jìn)行速度規(guī)劃與插補(bǔ),實(shí)現(xiàn)了機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。通過仿真分析與傳統(tǒng)算法相比,整個(gè)刀具路徑弧長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間明顯降低,驗(yàn)證了本文算法的實(shí)時(shí)性。與C2連續(xù)算法相比,躍度波動(dòng)平均下降了44.3%,躍度曲線更加平滑。與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法相比,加工時(shí)間減少了28.6%,提高了加工效率。最后將本算法集成在開放式數(shù)控系統(tǒng)中并用于控制一臺(tái)立式加工中心的實(shí)時(shí)銑削加工,驗(yàn)證了本文算法的實(shí)用性。在后續(xù)研究中,考慮對(duì)PH曲線兩端的控制點(diǎn)進(jìn)行獨(dú)立調(diào)整,構(gòu)造出非對(duì)稱的PH曲線以減少拐角處的曲率,進(jìn)一步提高加工質(zhì)量和效率。
謝 健,張立強(qiáng),許洋洋,閆業(yè)翠
(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620)
0 引言
數(shù)控機(jī)床在加工復(fù)雜零件時(shí),通常利用計(jì)算機(jī)輔助制造(CAM)軟件對(duì)刀具路徑進(jìn)行離散化處理,生成連續(xù)的短線段,并采用基本的G01指令對(duì)路徑進(jìn)行插值[1]。根據(jù)短線段的長(zhǎng)度,G01指令的移動(dòng)范圍從幾微米到幾十毫米不等。加工過程中,由于短線段路徑拐角處的切向和法向的不連續(xù),會(huì)導(dǎo)致機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的加速度和躍度波動(dòng),引起刀具的振動(dòng),破壞零件的表面光滑度,降低加工質(zhì)量和加工效率。為解決該問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者常采用軌跡光順技術(shù)對(duì)連續(xù)短線段的拐角進(jìn)行平滑處理,即利用高階樣條曲線插補(bǔ)拐角生成平滑的刀具路徑,再進(jìn)行速度規(guī)劃[2-5],使機(jī)床的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)平滑轉(zhuǎn)接,從而實(shí)現(xiàn)高效率,低振動(dòng)的數(shù)控加工。
軌跡光順技術(shù)中常用的樣條曲線有NURBS曲線[6-7]、B樣條[8-9]和Bezier曲線[10]。但是由于上述樣條曲線的弧長(zhǎng)與曲線參數(shù)之間沒有確定的解析關(guān)系,拐角光順?biāo)惴ㄖ械幕￠L(zhǎng)必須使用迭代數(shù)值算法[11-12]來估計(jì)。弧長(zhǎng)精度要求越高,計(jì)算量越大,計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)間越長(zhǎng),不利于實(shí)時(shí)應(yīng)用。而Pythagorean-Hodograph(PH)曲線[13]提供了弧長(zhǎng)與曲線參數(shù)之間確定的解析關(guān)系,弧長(zhǎng)計(jì)算量小,運(yùn)算時(shí)間短,因此在實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ㄑ芯恐幸鹆藦V泛的關(guān)注。JAHANPOUR[14]提出了基于C2連續(xù)的五次PH曲線的高速輪廓加工算法。SHI等[15-17]提出了基于五次PH曲線的拐角光順?biāo)惴?并結(jié)合動(dòng)態(tài)前瞻速度規(guī)劃算法實(shí)現(xiàn)了機(jī)床運(yùn)動(dòng)的平滑轉(zhuǎn)接。FAROUKI等[18]提出了基于G2連續(xù)的七次PH曲線拐角光順?biāo)惴?。目前多?shù)基于PH曲線的拐角光順?biāo)惴▋H限于G2和C2的二階連續(xù),雖然在一定程度上提高了計(jì)算效率,但光順后的C2連續(xù)路徑只能保證機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的加速度連續(xù)。C2連續(xù)與C3連續(xù)相比[19],機(jī)床運(yùn)行過程中的躍度存在較大波動(dòng),這種躍度曲線的不連續(xù)和高振幅會(huì)導(dǎo)致機(jī)床運(yùn)動(dòng)的不平穩(wěn),影響加工質(zhì)量。因此,構(gòu)造C3連續(xù)的PH曲線,對(duì)于實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ň哂兄匾饬x。
綜上所述,為了同時(shí)實(shí)現(xiàn)拐角光順?biāo)惴ㄖ械膶?shí)時(shí)性與機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù),本文提出了基于C3連續(xù)PH曲線的實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?。該算法通過在線性刀具路徑之間插入設(shè)計(jì)的對(duì)稱PH曲線來實(shí)現(xiàn)。在綜合考慮最大近似誤差和線性段長(zhǎng)度約束的前提下,求解計(jì)算控制點(diǎn)的位置,以實(shí)現(xiàn)PH曲線和線性段銜接點(diǎn)處的C3連續(xù)。并采用五次多項(xiàng)式的柔性加減速曲線對(duì)光順后的刀具路徑進(jìn)行速度規(guī)劃和插補(bǔ),實(shí)現(xiàn)了機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。最后對(duì)所提算法進(jìn)行仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,通過對(duì)比C2連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴▉眚?yàn)證本文算法的有效性。
1 C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?/h2>1.1 PH曲線
設(shè)L(t)=(x(t),y(t))表示平面上一條Bezier曲線,定義為:
(1)
當(dāng)L(t)滿足以下條件時(shí),稱為PH曲線:
x′(t)=u2(t)-v2(t),
y′(t)=2u(t)v(t),
(2)
(3)
參數(shù)速度σ(t)表示為:
(4)
根據(jù)u(t)和v(t)的系數(shù)可以得到σ(t)的系數(shù):
i=0,…,n-1。
(5)
參數(shù)速度σ(t)是L(t)關(guān)于t的變化率,對(duì)σ(t)積分,可得到弧長(zhǎng)s關(guān)于參數(shù)t的多項(xiàng)式函數(shù):
(6)
此外,PH曲線對(duì)應(yīng)的曲率為:
(7)
1.2 C3連續(xù)過渡PH曲線的構(gòu)造
本節(jié)通過在兩個(gè)連續(xù)的短線段之間插入一個(gè)對(duì)稱PH曲線進(jìn)行拐角過渡,提出了C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?。設(shè)計(jì)的對(duì)稱PH曲線表示為:
(8)
為了構(gòu)造C3連續(xù)的PH曲線,引入六次Bernstein多項(xiàng)式為:
(9)
其中Bi(i=0,1,…,13)為控制點(diǎn),由C3連續(xù)的幾何特征、用戶定義的誤差極限和線性段長(zhǎng)度約束共同確定。
如圖1所示,P0、P1和P2為3個(gè)連續(xù)的位置坐標(biāo)。所設(shè)計(jì)的PH曲線分別通過第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)B0和B13,并與控制多邊形的第一條線段B0B1和最后一條線段B12B13相切。為了保證平滑樣條曲線與原始線性刀具路徑銜接點(diǎn)處的位置和切向連續(xù)性,需調(diào)整控制點(diǎn)B0、B1位于線性段P0P1上,控制點(diǎn)B12、B13位于線性段P1P2上。
為了在銜接點(diǎn)B0(t=0)和B13(t=1)處實(shí)現(xiàn)加速度和躍度的連續(xù)性,確保刀具路徑的C3連續(xù)。需要滿足的充要條件為[20]:
(10)
如圖1所示,因?yàn)樵O(shè)計(jì)的樣條曲線是對(duì)稱的,所以由控制點(diǎn)組成的控制多邊形也是對(duì)稱的,可以得到如下等式:
(11)
結(jié)合式(2)、式(9)～式(11),式(8)中的控制點(diǎn)具有以下關(guān)系:
(12)
由式(12)可知,控制點(diǎn)之間的相對(duì)位置被確定?？紤]到PH曲線的對(duì)稱性,由控制點(diǎn)組成的向量表示如下:
(13)
(14)
(15)
如圖2所示,Pt1,Pt2是線性刀具路徑與B6B7延長(zhǎng)線的交點(diǎn),用于計(jì)算l和d之間的長(zhǎng)度關(guān)系。
(16)
(17)
在ΔPt1Pt2P1中,結(jié)合式(17),可得
(18)
因此,結(jié)合式(17)和式(18),l和d之間的長(zhǎng)度關(guān)系如下:
(19)
1.3 最大近似誤差約束
由于構(gòu)造的PH曲線是對(duì)稱的,最大近似誤差emax發(fā)生在PH曲線的中點(diǎn)(L(0.5))和P1之間,如圖1所示。結(jié)合式(8)和式(15),最大近似誤差emax計(jì)算如下:
(20)
將式(15)和式(19)代入式(20)中,則最大近似誤差emax表達(dá)式為:
(21)
由式(21)中最大近似誤差emax的表達(dá)式可知,最大近似誤差emax僅由控制多邊形長(zhǎng)度l決定。在用戶定義的誤差極限ε的約束下,可以得到控制多邊形的長(zhǎng)度l計(jì)算如下:
(22)
1.4 線性段長(zhǎng)度約束
在構(gòu)造過渡PH曲線的過程中,除了最大近似誤差emax會(huì)影響控制多邊形的長(zhǎng)度,拐角兩側(cè)的線性段長(zhǎng)度也會(huì)對(duì)控制多邊形的長(zhǎng)度產(chǎn)生影響。在實(shí)際加工過程中,可能會(huì)出現(xiàn)如圖3所示的因線性段長(zhǎng)度不足,從而導(dǎo)致構(gòu)造的相鄰PH曲線出現(xiàn)輪廓重疊的現(xiàn)象。
因此,控制多邊形的長(zhǎng)度l被約束為:
(23)
結(jié)合式(22)與式(23),構(gòu)造的過渡PH曲線的控制多邊形長(zhǎng)度l被約束為:
(24)
由式(24)可知,縮短控制多邊形的長(zhǎng)度l會(huì)導(dǎo)致最大近似誤差減小,因此在式(24)的約束條件下,最大近似誤差始終在用戶定義的誤差極限范圍內(nèi)。
1.5 PH曲線的弧長(zhǎng)計(jì)算
已知弧長(zhǎng)函數(shù)s(t)的系數(shù)與參數(shù)速度σ(t)的系數(shù)σi(i=0,1,…,12)有關(guān)。根據(jù)式(5),參數(shù)速度的系數(shù)σi(i=0,1,…,12)可以用ui,vi(i=0,1,…,6)的系數(shù)表示為:
i=0,…,12。
(25)
結(jié)合u0,…,u6和v0,…,v6的關(guān)系,式(25)中的系數(shù)σi(i=0,1,…,12)表示為:
(26)
通過將參數(shù)速度的系數(shù)σk代入式(6),PH曲線的弧長(zhǎng)s(t)計(jì)算如下:
(27)
1.6 實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ǖ膽?yīng)用
1.6.1 算法流程
C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴鞒倘鐖D4所示,包括以下3個(gè)步驟:首先讀取相鄰拐角數(shù)據(jù)點(diǎn)信息(連續(xù)3個(gè)位置點(diǎn)P0、P1、P2)并輸入用戶定義的誤差極限ε,由式(24)確定PH曲線的控制多邊形長(zhǎng)度l。接著將控制多邊形的長(zhǎng)度l代入式(15)和式(26)中分別計(jì)算出PH曲線的控制點(diǎn)Bi和參數(shù)速度系數(shù)σi。最后將控制點(diǎn)Bi代入式(8)和式(7)分別求出PH曲線L(t)和曲率κ(t)的解析式,并將參數(shù)速度系數(shù)σi代入式(27)中,求出弧長(zhǎng)s(t)。
此外,所提出的實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ㄊ且远S平面刀具路徑為例進(jìn)行介紹的,但是該算法是可以直接應(yīng)用在三維空間刀具路徑的拐角光順中,因?yàn)槿S路徑中每?jī)蓚€(gè)相鄰短線段都在一個(gè)二維平面上,而拐角光順過程實(shí)際上仍然在二維平面上進(jìn)行。
1.6.2 柔性加減速規(guī)劃
針對(duì)連續(xù)短線段構(gòu)成的刀具路徑,采用本文算法,在拐角處可以獲得C3連續(xù)的PH曲線。如圖5所示,光順后的刀具路徑由紅色的PH曲線和藍(lán)色的線性段構(gòu)成。由于PH曲線的中點(diǎn)是局部最大曲率點(diǎn),因此該點(diǎn)的進(jìn)給速度應(yīng)該被約束到局部最小。為了避免加速度和躍度超過機(jī)床設(shè)定的Amax和Jmax,引起機(jī)床振動(dòng),將PH曲線中點(diǎn)的進(jìn)給速度約束為[4]:
(28)
式中:Fmax為最大進(jìn)給速度,κi為PH曲線中點(diǎn)的曲率,Ts為一個(gè)采樣周期,γmax、Amax、Jmax分別為最大弓高誤差、系統(tǒng)設(shè)定的最大加速度和最大躍度。通過式(28)確定每個(gè)區(qū)間起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的進(jìn)給速度后,利用圖6所示的五次多項(xiàng)式柔性加減速曲線[2]對(duì)光順后的C3連續(xù)刀具路徑進(jìn)行速度規(guī)劃與插補(bǔ),實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。
2 仿真與實(shí)驗(yàn)
2.1 仿真分析
為了驗(yàn)證本文所提C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴ǖ挠行?在MATLAB R2018a平臺(tái)上進(jìn)行仿真分析。實(shí)際的刀具路徑不一定是平面輪廓,往往由空間中順序連接的短線段構(gòu)成。首先采用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性三維軌跡來說明拐角光順效果。三維軌跡是一個(gè)空間封閉五角星,設(shè)置誤差極限為0.05mm,拐角光順后的效果如圖7所示。五角星軌跡經(jīng)拐角光順后,插補(bǔ)點(diǎn)的曲率隨弧長(zhǎng)的變化如圖8所示?？梢钥闯鼍植壳首畲簏c(diǎn)出現(xiàn)在樣條曲線的中點(diǎn)處,體現(xiàn)了PH曲線對(duì)稱分布的特點(diǎn)。
為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的普適性,采用一個(gè)包含多種拐角特征(銳角、直角和鈍角)的平面蝶形輪廓軌跡進(jìn)行仿真驗(yàn)證。蝶形輪廓軌跡總長(zhǎng)為463.70mm,共有30個(gè)拐角。設(shè)置誤差極限為0.05 mm,拐角光順后的效果如圖9所示。從拐角局部放大圖可知,最大近似誤差出現(xiàn)在PH曲線的中點(diǎn)處,通過Y軸的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可知光順后的平滑路徑與原始線性路徑之間的最大近似誤差被約束到用戶定義的誤差極限0.05 mm內(nèi)。
軌跡光順技術(shù)中常采用非均勻有理B樣條 (Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS) 曲線和B樣條進(jìn)行拐角光順,但曲線的弧長(zhǎng)和曲線參數(shù)之間沒有確定的解析關(guān)系,若要得到足夠精確的弧長(zhǎng),需要設(shè)置更小的估算誤差,這大大增加了弧長(zhǎng)的計(jì)算量,不適合實(shí)時(shí)應(yīng)用。而本文所采用的PH曲線,弧長(zhǎng)可解析計(jì)算,減少了計(jì)算量,提高了計(jì)算效率。
為驗(yàn)證本文算法的實(shí)時(shí)性,分別采用C2連續(xù)的NURBS曲線[6]、C3連續(xù)的B樣條[9]和本文算法對(duì)蝶形軌跡進(jìn)行拐角光順。弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間如表1所示,其中TN、TB和TPH分別表示采用相應(yīng)拐角光順方法后計(jì)算整條刀具路徑弧長(zhǎng)所需要的平均時(shí)間(計(jì)算10次),ε表示不同的誤差極限約束。由表1可知,本文所提的拐角光順?biāo)惴ɑ￠L(zhǎng)計(jì)算時(shí)間明顯較短,算法效率最高。每一個(gè)拐角的弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間約為0.05ms。對(duì)于一個(gè)插補(bǔ)周期為0.5ms至4ms的典型CNC系統(tǒng)來說,本文的拐角光順?biāo)惴ㄍ耆珴M足實(shí)時(shí)性的要求[22]。
表1 蝶形軌跡弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間
文獻(xiàn)[17]中基于PH曲線的C2連續(xù)算法只能保證加速度的連續(xù),本文提出的C3連續(xù)拐角光順?biāo)惴ㄅcC2連續(xù)算法相比,可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。為了證明所提算法在拐角處可以獲得更加平滑的躍度曲線。本文對(duì)兩種拐角光順?biāo)惴ê蟮牡毒呗窂讲捎孟嗤乃俣纫?guī)劃與插補(bǔ)方法進(jìn)行驗(yàn)證。仿真中設(shè)置的參數(shù)如表2所示。
表2 仿真參數(shù)
由于蝶形軌跡為平面輪廓,這里僅對(duì)X,Y軸的躍度曲線進(jìn)行對(duì)比分析。如圖10所示,C2連續(xù)拐角光順?biāo)惴ú逖a(bǔ)后的躍度曲線存在突變且躍度波動(dòng)較大,甚至在某些拐角處超過了最大躍度極限。而本文算法插補(bǔ)后的躍度曲線比C2算法更加平滑,如圖11所示。
對(duì)比兩種算法在6個(gè)典型拐角處的Y軸躍度最大值,如表3所示。本文算法較C2算法躍度波動(dòng)平均降低了44.3%,躍度曲線更加平滑,驗(yàn)證了本算法可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)躍度連續(xù)的有效性。
表3 Y軸躍度對(duì)比
在實(shí)際加工中,本文所提算法可以實(shí)現(xiàn)不間斷的進(jìn)給運(yùn)動(dòng),而傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法在路徑拐角處的進(jìn)給速度必須減速為零,降低了加工效率。通過對(duì)比本文算法與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法和上述C2連續(xù)算法在加工相同蝶形輪廓軌跡的速度曲線來說明算法的加工效率。如圖12所示,點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)方法的加工總時(shí)間為9.862 s,C2連續(xù)算法的加工總時(shí)間為8.019 s,而本文算法的加工總時(shí)間為7.671 s,相對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法和C2連續(xù)算法加工時(shí)間分別減少了28.6%和4.6%。有效說明本文算法在確保機(jī)床各軸連續(xù)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上提高了加工效率。
2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為了驗(yàn)證所提算法可以實(shí)現(xiàn)機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的加速度和躍度連續(xù),將上述光順?biāo)惴捎谡n題組開發(fā)的開放式數(shù)控系統(tǒng)中。該數(shù)控系統(tǒng)包含上位機(jī)和下位機(jī)兩個(gè)部分,上位機(jī)是基于Windows XP +RTX8.1實(shí)時(shí)控制軟件在PC機(jī)上開發(fā)的,可以提供實(shí)時(shí)計(jì)算和多線程計(jì)算,下位機(jī)是一臺(tái)運(yùn)動(dòng)控制卡(固高GTS-800-PG)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用如圖13所示的的江蘇厚道HD-V185F三軸立式加工中心進(jìn)行銑削加工實(shí)驗(yàn)。毛坯材料為7050-T7451鋁合金,尺寸為200×180×15 mm。刀具選用硬質(zhì)合金球頭銑刀,銑削深度為0.5 mm。實(shí)驗(yàn)設(shè)備參數(shù)和刀具參數(shù)如表4所示,實(shí)驗(yàn)刀具路徑采用上述仿真中的蝶形輪廓,最大進(jìn)給速度為80 mm/s,最大加速度為800 mm/s2,最大躍度為50 000 mm/s3,最大近似誤差極限為0.05 mm,最大弓高誤差為0.001 mm,采樣周期為0.5 ms。銑削加工效果如圖14所示。
表4 設(shè)備參數(shù)和刀具參數(shù)
實(shí)驗(yàn)過程中,通過上位機(jī)插補(bǔ)可以直接得到插補(bǔ)指令、合成速度與各軸的速度分量。為了進(jìn)一步得到相應(yīng)的加速度和躍度曲線,需要對(duì)得到的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)按照采樣周期做關(guān)于時(shí)間的運(yùn)算處理。加工過程中的插補(bǔ)命令如圖15所示,各規(guī)劃區(qū)間的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線如圖16所示。圖15中的藍(lán)色和綠色曲線分別表示X、Y軸的實(shí)時(shí)插補(bǔ)命令。從圖16可知速度曲線、加速度曲線和躍度曲線均平滑連續(xù)。
各軸的加速度曲線,躍度曲線分別如圖17和圖18所示。由圖17的加速度曲線放大圖可知,各軸的加速度曲線均連續(xù),且實(shí)際加工中的最大加速度小于實(shí)驗(yàn)設(shè)定的最大加速度800 mm/s2。由圖18的躍度曲線放大圖可知,各軸的躍度曲線均連續(xù),且最大躍度小于實(shí)驗(yàn)設(shè)定的最大躍度50 000 mm/s3。這表明本文提出的C3連續(xù)拐角光順?biāo)惴☉?yīng)用在上述實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)時(shí)加工中能夠確保機(jī)床平穩(wěn)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng),減少機(jī)床振動(dòng),提高零件的加工質(zhì)量。
3 結(jié)束語
本文針對(duì)加工過程中,因連續(xù)短線段路徑拐角處的切向和法向不連續(xù)導(dǎo)致的機(jī)床各軸加速度和躍度波動(dòng)問題,提出了C3連續(xù)實(shí)時(shí)光順?biāo)惴?。該算法通過在相鄰短線段間插入滿足最大近似誤差和線性段長(zhǎng)度約束的PH曲線,實(shí)現(xiàn)了直線段與PH曲線銜接點(diǎn)處C3連續(xù)的平滑過渡。并采用五次多項(xiàng)式的柔性加減速曲線對(duì)光順后的C3連續(xù)路徑進(jìn)行速度規(guī)劃與插補(bǔ),實(shí)現(xiàn)了機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)的躍度連續(xù)。通過仿真分析與傳統(tǒng)算法相比,整個(gè)刀具路徑弧長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間明顯降低,驗(yàn)證了本文算法的實(shí)時(shí)性。與C2連續(xù)算法相比,躍度波動(dòng)平均下降了44.3%,躍度曲線更加平滑。與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法相比,加工時(shí)間減少了28.6%,提高了加工效率。最后將本算法集成在開放式數(shù)控系統(tǒng)中并用于控制一臺(tái)立式加工中心的實(shí)時(shí)銑削加工,驗(yàn)證了本文算法的實(shí)用性。在后續(xù)研究中,考慮對(duì)PH曲線兩端的控制點(diǎn)進(jìn)行獨(dú)立調(diào)整,構(gòu)造出非對(duì)稱的PH曲線以減少拐角處的曲率,進(jìn)一步提高加工質(zhì)量和效率。
