徐旭松,王 皓,孫志英,盧 恒

(1.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 常州 213001;2.無(wú)錫計(jì)量院,江蘇 無(wú)錫 214101)

0 引言

公差建模與分析一般只考慮幾何要素的方向和位置偏差,常常忽略形狀偏差(形狀變動(dòng))對(duì)裝配累積的影響,其本質(zhì)上是基于理想表面的公差建模。而模擬了尺寸、形狀公差、方向和位置偏差綜合作用的非理性表面模型更趨于真實(shí)零件的實(shí)際狀態(tài),它將綜合公差信息以多面體凸包的形式來(lái)表達(dá),進(jìn)行公差累積分析。公差多面體(凸包)建模是將零件層/裝配層的幾何偏差轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)不等式構(gòu)成的多個(gè)封閉空間,再通過(guò)閔可夫斯基運(yùn)算得出累積偏差的公差建模方法。

近年來(lái),對(duì)于包含形狀偏差的公差建模與分析有許多深入研究:CORRADO A等[1]使用邊界元法處理制造偏差引起的裝配變形與干涉問(wèn)題。劉檢華等[2]基于共軛梯度-快速傅里葉變換算法,建立考慮表面形貌與受力變形的多面體模型,實(shí)現(xiàn)了兩者耦合裝配體偏差計(jì)算。FALGARONE等[3]針對(duì)形狀偏差及制造缺陷問(wèn)題,使用邊界元法實(shí)現(xiàn)了零件特征變化傳播的模擬與非剛性裝配仿真。ZHANG等[4]采用離散點(diǎn)擬合表面,并使用膚面模型累積裝配從而模擬制造與系統(tǒng)偏差。HOMRI[5]提出使用半空間生成多面體的方法,根據(jù)公差帶內(nèi)的幾何約束表示多面體并應(yīng)用于膚面模型。劉婷[6]基于非理性表面的膚面模型,采用雅可比—旋量模型與多面體模型對(duì)裝配誤差進(jìn)行分析計(jì)算。T-Map?模型[7-10]考慮形狀缺陷引起的裝配偏差,通過(guò)拓?fù)溆成涞姆椒ǐ@得功能需求各方向偏差的極值,可成功運(yùn)用于圓面、圓柱面、多邊形等特征面中。多面體模型在處理受力變形、受熱變形、表面變形、裝配干涉等問(wèn)題上得到了應(yīng)用:PIERRE等[11]將多面體模型應(yīng)用于熱機(jī)械應(yīng)變中,并對(duì)比了在高溫下偏差和間隙對(duì)裝配誤差大小的影響。TEISSANDIER等[12]使用多面體的邊界約束交集來(lái)表示公差變動(dòng)域,使用凸包頂點(diǎn)描述公差極值的位移過(guò)程。GOUYOU等[13]建立裝配特征面的多面體,通過(guò)計(jì)算是否產(chǎn)生交集來(lái)判斷裝配體的裝配干涉情況。ZHANG等[14]考慮了過(guò)約束機(jī)構(gòu)的非理想的接觸狀態(tài),將形狀缺陷和表面變形因素同時(shí)納入多面體模型之中來(lái)計(jì)算分析偏差。

以上典型公差模型有:有限元模型、T-Map?模型、膚面模型、多面體模型等。有限元模型可解決裝配時(shí)的形狀偏差引起的邊界干涉計(jì)算問(wèn)題,但當(dāng)假設(shè)零件為完全剛體時(shí)有著較大局限性。膚面模型通過(guò)虛擬裝配可較快速地得出裝配體的系統(tǒng)偏差,然而對(duì)于復(fù)雜裝配體與動(dòng)態(tài)機(jī)械的公差分析仍存在較大困難。T-Map?模型通過(guò)拓?fù)溆成涞姆椒ǐ@得功能需求各方向偏差的極值,但對(duì)于某些復(fù)雜特征面(如螺旋面、復(fù)雜表面)仍存在一定局限性。綜上,形狀偏差引起的裝配偏差增大與裝配失效問(wèn)題已成為公差建模與分析研究的重點(diǎn)與熱點(diǎn),而考慮形狀偏差(形狀變動(dòng))的非理想表面模型在解決這一問(wèn)題方面具有較大優(yōu)勢(shì),因此值得深入探究。本研究通過(guò)建立零件特征層與裝配層的多面體不等式,使用優(yōu)化函數(shù)調(diào)整裝配面的接觸參數(shù),從而構(gòu)建一種多面體公差累積模型,并以某銑刀座的精度設(shè)計(jì)問(wèn)題為例進(jìn)行了實(shí)例研究。

1 多面體的定義

1.1 半空間與多面體

設(shè)函數(shù)u1(x)=aTx在歐幾里德空間Rn中的某集σ內(nèi)連續(xù),對(duì)σ內(nèi)任意值b1,存在函數(shù)列aTx在σ內(nèi)單調(diào)遞減收斂,b1為其下界,如圖1a所示。因此,u1(x)在σ內(nèi)構(gòu)成一個(gè)半空間,可表示為[15]:

{x∈σ,b1∈σ,a1x1+a2x2+…

+aixi+…+anxn≤b1}。

(1)

式中:x1～xn為數(shù)集σ中的函數(shù)變量,a1～an為變量的系數(shù)。

因此,在數(shù)集σ中,多個(gè)連續(xù)收斂函數(shù)在其上、下限的約束下構(gòu)成的半空間相交可圍成一封閉區(qū)間,如圖1b所示。而在歐幾里德空間Rn中,多個(gè)數(shù)集中的封閉區(qū)間可相交構(gòu)成封閉多面體[16],如圖1c所示(圖中:b1～b9為各收斂函數(shù)的上界或下界)。

1.2 以公差為約束的多面體

由于零件存在制造誤差,零件的實(shí)際狀態(tài)偏離公稱狀態(tài),故在進(jìn)行公差建模時(shí),應(yīng)以模擬了零件實(shí)際狀態(tài)的非理想表面來(lái)建立公差約束。如圖2所示,根據(jù)已給定的公稱表面S0及其公差帶T,模擬實(shí)際表面S1上的任意一點(diǎn)Ni應(yīng)在公差帶T內(nèi)變動(dòng),上偏差為t+、下偏差為t-,公差帶T對(duì)S1的約束不等式可表示為[17]:

S1∈T:?Ni∈S1:t-≤tNi·ni≤t+,

i∈{1,2,...,n}。

(2)

式中:tNi為S1在點(diǎn)Ni處相對(duì)于S0的平動(dòng)量,ni為S0在點(diǎn)Ni處的法向量。

(3)

則點(diǎn)M對(duì)Ni的約束多面體不等式可完整表示為[19]:

(4)

式中rNi為S1在點(diǎn)Ni處相對(duì)于S0的轉(zhuǎn)動(dòng)量。

2 公差多面體的構(gòu)建

按照多面體公差建模理論,在多個(gè)公差的約束作用下,產(chǎn)生多組約束的半空間可相交構(gòu)成約束多面體。零件特征層有各零件表面的尺寸與幾何公差約束,裝配層有各個(gè)零件之間的裝配定位及間隙約束,以及控制裝配累積偏差的裝配公差約束,故應(yīng)在零件層/裝配層建立公差多面體,從而構(gòu)建公差約束多面體不等式組。

2.1 零件特征層的公差多面體

如圖3所示,零件公稱表面上的任一點(diǎn)Ng在其尺寸公差帶內(nèi)變動(dòng),并在幾何公差作用下,該點(diǎn)從初始位置偏移至Ns,根據(jù)尺寸公差帶相對(duì)于零線的3種位置建立,可構(gòu)建3種尺寸公差帶位置下的約束參數(shù):

(5)

根于篇幅,以平面特征與圓柱特征為例:

d′∈(ei-ζ,es-ζ)。

(6)

式中es,ei分別為圓柱特征尺寸的上、下偏差。

將式(6)與式(3)代入式(4)中,圓柱特征的公差多面體不等式組可表示為:

(7)

B∈(ei-λ,es-λ)。

(8)

將式(8)與式(3)代入式(4)中,平面特征的公差多面體不等式組可表示為:

(9)

2.2 裝配層的公差多面體

2.2.1 基于理想表面的裝配公差多面體[6]

如圖6所示,以兩個(gè)理想表面的尺寸與公差為約束建立公差多面體時(shí),由于理想表面上的每個(gè)點(diǎn)均在其公差的上、下偏差范圍內(nèi),對(duì)于軸上的任意一點(diǎn)Ni,其變動(dòng)的約束可表示為:

i∈{1,2,...,n}。

(10)

2.2.2 基于非理想表面的裝配公差多面體

基于零件理想表面模型進(jìn)行裝配偏差分析忽略了形狀變動(dòng)的因素,即便累積計(jì)算時(shí)設(shè)定裝配件之間的間隙值始終大于等于零,也未必能保證零件裝配成功。為了保證裝配面不發(fā)生干涉,需調(diào)整裝配的接觸參數(shù)值,在保證接觸參數(shù)大于等于0的前提下建立非理想表面裝配接觸的公差多面體模型[6,21]。

假設(shè)零件為剛體,引入裝配優(yōu)化函數(shù)[22-23]對(duì)裝配參數(shù)進(jìn)行調(diào)整:

(1)如圖7所示,對(duì)于孔/軸配合,約束上邊界值dY的計(jì)算方法為:

(11)

接觸參數(shù)調(diào)整后的孔/軸配合公差多面體不等式組為:

(12)

(2)如圖8所示,對(duì)于平面貼合,其約束上邊界值dP的計(jì)算方法為:

(13)

接觸參數(shù)調(diào)整后的平面貼合公差多面體不等式組為:

(14)

3 實(shí)例研究

3.1 初始設(shè)計(jì)簡(jiǎn)圖及擬采取的分析步驟

圖9為一銑刀座裝配簡(jiǎn)圖,要求控制刀盤安裝處軸頸的軸線相對(duì)于底座的平行度偏差,將軸線相對(duì)于底座的傾斜角度控制在0.4°以下(精度設(shè)計(jì)需求,即公差分析目標(biāo)環(huán))。參與公差累積的主要零件有:1(座體)、2(軸承)、3(軸)。圖10～圖12為影響刀具中心點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)面變動(dòng)量的有關(guān)零件的零件尺寸與公差標(biāo)注簡(jiǎn)圖,與分析目標(biāo)環(huán)相關(guān)的4處幾何公差分別用GT1、GT2、GT3、GT4表示。

公差多面體的建模分析流程如圖13所示。

3.2 建立約束參數(shù)

以裝配簡(jiǎn)圖所設(shè)立坐標(biāo)系為基準(zhǔn)方向,在銑刀底座基準(zhǔn)面A上建立全局坐標(biāo)系,根據(jù)裝配簡(jiǎn)圖及公差設(shè)計(jì)方案,可畫(huà)出如圖14所示的裝配約束關(guān)系圖,圖中每個(gè)參與公差累積的特征面記為i,j,表示第i個(gè)零件的第j個(gè)特征面。裝配約束為孔/軸配合與平面貼合。在此裝配體中,存在12個(gè)影響目標(biāo)環(huán)偏差的零件特征面,分別為(1.0,1.1),(1.0,1.2),(2.0,2.1),(2.0,2.2),(3.0,3.1),(3.0,3.2),(4.0,4.1),(4.0,4.2),(4.0,4.3),(4.3,4.4),(4.0,4.5),(4.0,4.6),對(duì)應(yīng)10個(gè)特征層的公差多面體;同時(shí)也存在6組裝配接觸面,分別為:(1.1,2.1),(2.2,4.1),(3.2,4.2),(1.2,3.1),(2.3,4.5),(3.3,4.6),對(duì)應(yīng)6個(gè)裝配層的公差多面體。

從圖14中可以看出,軸承與軸之間為并行連接,需增加構(gòu)建3.3/4.6與2.3/4.5兩個(gè)偏差傳遞環(huán)節(jié),裝配體中共存在4條與目標(biāo)環(huán)相關(guān)的偏差傳遞路徑,分別為:

Ⅰ:1.0→1.2→3.1→3.0→3.2→4.2→4.0→4.3→4.4;

Ⅱ:1.0→1.2→3.1→3.0→3.3→4.6→4.0→4.3→4.4;

Ⅲ:1.0→1.1→2.1→2.0→2.3→4.5→4.0→4.3→4.4;

IV:1.0→1.1→2.1→2.0→2.2→4.1→4.0→4.3→4.4。

以Pa.b/c.d表示每個(gè)零件特征層或裝配層的公差多面體,a.b、c.d分別表示構(gòu)成零件特征層與裝配公差多面體的兩個(gè)特征面。在進(jìn)行目標(biāo)環(huán)偏差量分析計(jì)算時(shí),先對(duì)所有單個(gè)串聯(lián)路徑進(jìn)行閔可夫斯基求和,然后對(duì)所有偏差傳遞路徑的公差多面體求解交集。閔可夫斯基和是歐氏空間中兩點(diǎn)集的和,例如:點(diǎn)集A與點(diǎn)集B的閔可夫斯基和可表示為:

A⊕B={a+b,a∈A,b∈B}。

(15)

目標(biāo)環(huán)公差多面體可表示為4條偏差傳遞路徑的多面體交集:

PFR=PI∩PII∩PIII∩PIV,其中PFR為目標(biāo)環(huán)的偏差多面體。

表1 偏差傳遞路徑中各環(huán)節(jié)的約束上、下限

3.3 考慮形狀偏差的接觸參數(shù)調(diào)整

表2 優(yōu)化后的裝配公差多面體 rad

3.4 沿傳遞路徑的偏差累積計(jì)算

圖15為采用MATLAB編制的偏差累積計(jì)算程序,以路徑I為例,只計(jì)算每個(gè)環(huán)節(jié)上的z方向轉(zhuǎn)動(dòng)量與y方向平動(dòng)量,將該路徑上所有凸包求和,并對(duì)計(jì)算得出的所有點(diǎn)進(jìn)行最外側(cè)點(diǎn)的提取與擬合,可繪制路徑I的二維偏差多面體,如圖16所示。

將4條偏差傳遞路徑置于同一個(gè)坐標(biāo)系下求解交集,圖17a所示為目標(biāo)環(huán)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)量與沿x、y方向的平動(dòng)量;圖17b給出了各條偏差傳遞路徑交集繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)量與沿y方向平動(dòng)量的二維凸包交集。目標(biāo)環(huán)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)偏差范圍為(-0.0039,+0.0039),變動(dòng)量為0.0078 rad(0.447°),不滿足初始精度設(shè)計(jì)要求的控制在0.4°以下,故需對(duì)各零件的公差值進(jìn)行調(diào)整。

3.5 與采用雅可比—旋量模型計(jì)算的偏差累積對(duì)比

在3.2節(jié)建立的全局坐標(biāo)系基礎(chǔ)上采用雅可比—旋量模型進(jìn)行偏差累積計(jì)算。在偏差回路中,裝配層幾何功能需求(GFR)處的6個(gè)方向偏差的方位變動(dòng)可在全局坐標(biāo)系中表達(dá)為:

(16)

式中:dξ和dθ表示特征元素中的3個(gè)平動(dòng)量和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)量;TFEi表示第i個(gè)特征元素在局部坐標(biāo)系下的小位移旋量;JFEi表示第i個(gè)特征元素和幾何功能需求(GFR)之間位置關(guān)系的6×6雅可比矩陣。

基于雅可比—旋量模型的裝配連接關(guān)系如圖18所示,各局部坐標(biāo)系建立在各零件特征的導(dǎo)出要素上,建立各特征的雅可比矩陣。裝配方式均為孔/軸配合與平面貼合,軸承與軸間存在局部并聯(lián)配合特征,計(jì)算時(shí)多乘以2次雅可比矩陣。

將各零件的雅可比矩陣和與之關(guān)聯(lián)的小位移旋量代入式(16)中計(jì)算可得:

(17)

式中u,v,w,α,β,γ分別表示沿x、y、z軸的平動(dòng)量與繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量。其中目標(biāo)環(huán)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)偏差范圍(-0.0013,+0.0013),變動(dòng)量為0.002 6rad(0.149°)。

采用多面體模型與采用雅可比—旋量模型進(jìn)行偏差累積計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表3所示。因雅可比—旋量模型未考慮形狀偏差對(duì)偏差累積的影響,故其計(jì)算出的目標(biāo)環(huán)偏差值小于采用多面體模型計(jì)算出的結(jié)果(3.4節(jié)),符合預(yù)期。

表3 多面體模型與雅可比-旋量模型偏差累積計(jì)算結(jié)果

3.6 幾何公差數(shù)值調(diào)整與重新選定

為了減少目標(biāo)環(huán)偏差量,在節(jié)約加工成本,且滿足裝配的前提下,對(duì)尺寸公差暫不進(jìn)行變動(dòng),只對(duì)零件的幾何公差數(shù)值進(jìn)行調(diào)整。初始標(biāo)注的各項(xiàng)幾何公差數(shù)值均是按照GB/T1184—1996選定為7級(jí)精度,試調(diào)整時(shí),將每項(xiàng)公差輪流提高1個(gè)精度等級(jí)(每次調(diào)整1項(xiàng),其余公差項(xiàng)保持原始值),各幾何公差試調(diào)整的值如表4所示。

表4 各零件幾何公差試調(diào)整值 mm

將調(diào)整后的各幾何公差所構(gòu)成的約束參數(shù)分別代入式(7)與式(9)的多面體不等式組中計(jì)算,可得試調(diào)整后的目標(biāo)環(huán)偏差量,如表5所示。

表5 公差數(shù)值試調(diào)整前后的目標(biāo)環(huán)偏差量 rad

由表5可知:GT1處公差精度等級(jí)提高對(duì)目標(biāo)環(huán)偏差影響最大,為敏感環(huán);GT3為次敏感環(huán);而GT2、GT4處公差精度等級(jí)提高對(duì)目標(biāo)環(huán)偏差量的影響不明顯,為非敏感環(huán)。只調(diào)整敏感環(huán)GT1,其余幾何公差保持不變,其計(jì)算結(jié)果即為表5中的第1次調(diào)整的計(jì)算結(jié)果0.005 8rad(0.332 5°),滿足精度設(shè)計(jì)要求的小于0.4°。為在滿足目標(biāo)環(huán)精度要求的情況下,盡量降低公差要求,最終優(yōu)化方案為:將GT1處同軸度公差提高1個(gè)精度等級(jí),GT3處同軸度公差數(shù)值保持不變。GT2處平行度公差與GT4處跳動(dòng)公差降低1個(gè)精度等級(jí)。優(yōu)化后的目標(biāo)環(huán)偏差凸包如圖19所示,優(yōu)化后的公差值與目標(biāo)環(huán)的偏差如表6所示。

表6 優(yōu)化后的公差值及目標(biāo)環(huán)偏差量 mm

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于半空間和多面體的概念,以幾何公差在尺寸公差帶內(nèi)的位置建立了零件層和裝配層的公差多面體不等式組,并采用裝配優(yōu)化函數(shù)對(duì)裝配接觸面的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,將形狀偏差納入公差模型中,從而構(gòu)建了基于非理想表面的公差多面體不等式組。

在銑刀座的實(shí)例研究中,構(gòu)建了各偏差傳遞路徑的公差多面體不等式,使用閔可夫斯基和凸包運(yùn)算與交集運(yùn)算求解各偏差傳遞路徑累積偏差,對(duì)幾何公差數(shù)值進(jìn)行手工調(diào)整和重新分配,使得目標(biāo)環(huán)的公差分析結(jié)果滿足初始精度設(shè)計(jì)需求。

考慮了形狀偏差所建立的公差多面體模型綜合考慮尺寸、方位及形狀偏差的影響,本質(zhì)上是一種基于非理想表面的公差模型。如何模擬出零件存在微形變和形狀缺陷的狀態(tài),如何處理公差分析中的非線性問(wèn)題,如何建立剛?cè)峄旌涎b配公差模型等諸多方面值得進(jìn)一步深入研究。