陳 麗

（中國(guó)民用航空飛行學(xué)院理學(xué)院，四川 廣漢 618307）

集合變換卡爾曼濾波[1]將集合成員視為可用于估計(jì)未知的狀態(tài)向量和誤差協(xié)方差矩陣的樣本，以此避免對(duì)模型進(jìn)行線性化處理。但有限的集合數(shù)目使得抽樣誤差協(xié)方差矩陣在長(zhǎng)距離上產(chǎn)生偽相關(guān)問題，強(qiáng)烈影響濾波算法的性能。因此，已有研究引入了多種方法來規(guī)范誤差的分析：如協(xié)方差膨脹（CI）[2]。

目前，協(xié)方差膨脹有兩種方式：乘法膨脹和加法膨脹。乘法膨脹的原理是調(diào)整（通常增加）集合擴(kuò)散，從而調(diào)整協(xié)方差，消除算法偽相關(guān)性。而加法膨脹可以處理由于模型誤差的存在產(chǎn)生的誤差低估問題，且對(duì)于模型誤差是EnKF 方案外部的誤差情況也可解決。但是目前越來越多的學(xué)者在相關(guān)研究中更多地考慮的是乘法膨脹法，對(duì)于加法膨脹的關(guān)注卻較少。

因此，本文結(jié)合Lorenz3[3]和Lorenz96[4]模型以及ETKF 同化方案綜合研究?jī)煞N膨脹方式對(duì)同化效果的影響。

1 研究方法

1.1 集合變換卡爾曼濾波算法簡(jiǎn)介

在EnKF 框架中[5]，從集合開始分析

其中xa i表示在分析步驟的集合中的第i個(gè)狀態(tài)向量，表示在預(yù)測(cè)步驟的集合中的第i個(gè)狀態(tài)向量。

由于EnKF 中預(yù)報(bào)誤差協(xié)方差矩陣Pf=Xf(Xf)T的秩至多為m-1，因此不可逆。但作為對(duì)稱矩陣，它在其列空間S上是一對(duì)一的，這也是Xf的列空間，最小化可以在這個(gè)子空間S 中進(jìn)行。將Xf視為從k 維空間Ω至S的線性變換，并在Ω中執(zhí)行分析。在下面的討論中，定義集合空間如下：

對(duì)于分析估計(jì)，利用卡爾曼增益的形式得到均值的最優(yōu)系數(shù)向量wa：

其中δ=y-H()。

定義T=（，可以構(gòu)建后驗(yàn)集合為

1.2 乘法膨脹法

乘法膨脹簡(jiǎn)單地將集合誤差協(xié)方差Pf膨脹一個(gè)因子λ，以近似真實(shí)誤差協(xié)方差Pf：

乘法膨脹的引入彌補(bǔ)了原始Pf中不包括的模型誤差。

1.3 加法膨脹法

加法膨脹通過向每個(gè)集合成員中添加具有一定協(xié)方差結(jié)構(gòu)的隨機(jī)擾動(dòng)來參數(shù)化模型誤差。其表現(xiàn)形式如下：即給集合成員增加擾動(dòng)←+εi并且=Q。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將基于ETKF、ETKF混合乘法膨脹法（ETKF+MI）、ETKF 混合加法膨脹法（ETKF+AI）以及ETKF 混合乘法和加法膨脹（ETKF+MI+AI）在Lorenz3 與Lorenz96 模型上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。所有實(shí)驗(yàn)的基本設(shè)置與文獻(xiàn)[6]相同。實(shí)驗(yàn)性能的好壞用以下均方根誤差（RMSE）進(jìn)行衡量，其計(jì)算公式如下：

其中，x和x真分別為估計(jì)得到的模型狀態(tài)和真實(shí)的模型狀態(tài)。

2.1 Lorenz3 模型的實(shí)驗(yàn)

在本小節(jié)中，基于Lorenz3 模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其模型方程表示如下：

其中，σ=10、ρ=28 和β=8/3。

我們做了4 個(gè)實(shí)驗(yàn)，考察觀測(cè)誤差R和集合數(shù)目m發(fā)生變化時(shí)算法的性能如何改變。每個(gè)實(shí)驗(yàn)都運(yùn)行1000 次，舍棄前100 次結(jié)果，計(jì)算剩余900 次的平均結(jié)果見表1。

表1 Lorenz3 模型

從表1 中可知，在Lorenz3 模型中，觀測(cè)誤差較小，集合數(shù)目也較小時(shí)，不管引入乘法膨脹還是加法膨脹，算法性能都有較大提升，顯然，僅添加乘法膨脹的算法性能最優(yōu)，而兩種膨脹方式疊加并沒有顯著提高算法性能，僅略微優(yōu)于只混合加法膨脹的算法。當(dāng)觀測(cè)誤差增大時(shí)，ETKF+MI 的RMSE 仍然是最低的，ETKF+MI+AI 次之，ETKF+AI 最高，增加集合數(shù)目后，僅添加加法膨脹的算法性能與兩種膨脹方式結(jié)合的相同，這說明疊加引入乘法膨脹也無法提升ETKF+AI 算法的性能。

2.2 Lorenz96 模型的實(shí)驗(yàn)

Lorenz96 模型表達(dá)式為：

在Lorenz96 模型中，依然進(jìn)行了4 個(gè)實(shí)驗(yàn)，考察觀測(cè)誤差R和集合數(shù)目m發(fā)生變化時(shí)算法的性能如何改變。每個(gè)實(shí)驗(yàn)運(yùn)行1000 次，舍棄前100 次結(jié)果，計(jì)算剩余900 次的平均結(jié)果見表2。

表2 Lorenz96 模型

如表2 所示，在Lorenz96 模型中，觀測(cè)誤差較小，集合數(shù)目也較小時(shí)（低于狀態(tài)變量的數(shù)目）兩種膨脹方式的融合算法性能最優(yōu)，優(yōu)于乘法膨脹，而加法膨脹性能較低，增加集合數(shù)目高于狀態(tài)變量個(gè)數(shù)后，ETKF+MI的算法性能變成最優(yōu)的，而ETKF+MI+AI 次之。當(dāng)觀測(cè)誤差增大時(shí)，在集合數(shù)目較低時(shí)，ETKF+MI+AI 算法性能仍然是最優(yōu)的，而將集合數(shù)目增加后，其算法性能又變成次優(yōu)的。由此說明，與Lorenz3 模型不同，在非線性性更強(qiáng)的Lorenz96 模型中，兩者混合的膨脹算法ETKF+MI+AI 可以在較低集合數(shù)目下顯著提升同化算法的性能。

3 結(jié)論

協(xié)方差膨脹的引入可以顯著提高算法性能，防止濾波發(fā)散。膨脹方式的選擇則需要依托模型特點(diǎn)。在弱非線性模型中，無論觀測(cè)誤差是大還是小，集合數(shù)目是多還是少，在同化算法中僅考慮加法膨脹的算法性能是最優(yōu)的，兩者結(jié)合的算法次之，加法膨脹性能最低。在強(qiáng)非線性模型中，當(dāng)集合數(shù)目較多時(shí)，不論觀測(cè)誤差的高低，乘法膨脹性能仍是最優(yōu)的，這與弱非線性模型結(jié)果相同。但當(dāng)集合數(shù)目較少，觀測(cè)誤差較低時(shí)，兩者結(jié)合的算法性能變?yōu)樽顑?yōu)，乘法膨脹次之，加法膨脹最低，隨著觀測(cè)誤差增大，兩者結(jié)合的算法性能依然是最優(yōu)的，但乘法膨脹性能變?yōu)樽畹?。由此說明，協(xié)方差膨脹方式的選擇并不是固定的，需要根據(jù)模型非線性的強(qiáng)弱，觀測(cè)誤差的大小，以及集合數(shù)目進(jìn)行綜合考慮。