□王麗兵

一、教材與學(xué)情分析

本拓展內(nèi)容為探尋組合數(shù)列規(guī)律的相關(guān)知識。從教材的角度看，數(shù)列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與表達，實質(zhì)就是一個數(shù)學(xué)思維建模的過程，有著獨特的課程開發(fā)價值。如何有效激發(fā)學(xué)生的直覺思維，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和表達規(guī)律的能力，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點之一。

從學(xué)生角度看，他們已在人教版教材一年級上冊學(xué)習(xí)過“找規(guī)律”的相關(guān)內(nèi)容，在日常學(xué)習(xí)中也頻繁接觸與數(shù)學(xué)規(guī)律和模型思想相關(guān)的知識內(nèi)容。基于此，筆者對一道題目進行重組與設(shè)計，將其開發(fā)成一節(jié)課，力求開創(chuàng)既有難易梯度，又有一定思維發(fā)展的數(shù)學(xué)拓展課，努力嘗試走出一條“一題成課”的數(shù)學(xué)拓展課例開發(fā)新路徑。

二、適合年級

適合三、四年級。

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）能夠掌握相應(yīng)數(shù)列中存在的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能夠應(yīng)用所學(xué)規(guī)律，準確判斷某個數(shù)在數(shù)列中具體所處的位置，且能夠確定某一位置上的數(shù)值。

（2）通過對數(shù)列的觀察、猜想和驗證，經(jīng)歷數(shù)列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法。

（3）培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)感。

四、教學(xué)過程

（一）教學(xué)引入：直覺思維，初感規(guī)律

（教師直接出示課題——探尋數(shù)列中的規(guī)律，并讓學(xué)生齊讀課題）

師：讀了這個課題之后，你知道了什么？

生：我知道今天我們要尋找規(guī)律。

生：我知道今天我們要研究數(shù)列。

（教師出示題目，如圖1）

圖1

師：仔細閱讀上面的文字、圖表，你看懂了什么？有什么問題？

生：從表格看，每組數(shù)列前后兩個數(shù)之間都相差3。

生：這是三組等差數(shù)列的組合，感覺它們都和3有關(guān)系。

師：根據(jù)這些信息，大家能夠提出什么數(shù)學(xué)問題？

生：它們各自有什么規(guī)律？

生：a、b、c三條數(shù)軸上的第100個數(shù)各是幾？

生：我想知道，1000 應(yīng)該在哪一條數(shù)軸上？有沒有能快速判斷的方法？

【設(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)材料進行觀察和自主提問，一方面幫助學(xué)生加深對圖形中a、b、c三條數(shù)軸和表格中的各組數(shù)列排列的了解，另一方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，為課堂后續(xù)的學(xué)習(xí)與討論生成學(xué)習(xí)資源。

（二）展開教學(xué)：舉一反三，表征規(guī)律

1.猜想規(guī)律

師：整體觀察這三條數(shù)軸，你覺得哪一條數(shù)軸的規(guī)律最為明顯？

生：c軸。因為它上面的數(shù)一目了然，都是3的倍數(shù)。

生：我也認為是c軸。它前后相鄰的兩個數(shù)，依次相差3。

小結(jié)：看來c軸上的規(guī)律一目了然，大家的觀點一致。

（教師板書：都是3 的倍數(shù)，相鄰兩數(shù)依次相差3）

2.驗證規(guī)律

師：按這樣的規(guī)律，c軸上12后面的數(shù)是幾？

生（齊說）：15。

師：你們是怎么知道的？為什么不是18 或24呢？

生：因為12+3=15，所以12后面的數(shù)是15。生：因為5×3=15，所以12的后面必定是15。師：這里的“5”表示什么意思？

生：這個“5”表示第5個數(shù)，或者序號數(shù)。

師：那如果是18 呢？24 呢？它們分別是第幾個數(shù)？

生：18是c軸上的第6個數(shù)，24是第8個數(shù)。

師：看來，c軸上的數(shù)不僅和3 有關(guān)，還和它所處的序號位置有關(guān)系。

（教師板書：序號數(shù)×3=c軸上的數(shù)；c軸上的數(shù)÷3=序號數(shù)）

師：剛才有同學(xué)提問，想知道c軸上的第100個數(shù)是幾，大家能回答嗎？

生（齊說）：100×3=300。

【設(shè)計意圖】設(shè)計本環(huán)節(jié)的目的是先舉一再反三。師生從規(guī)律最明顯、最容易發(fā)現(xiàn)的c軸數(shù)列入手進行猜想與驗證，全面梳理和滲透數(shù)列研究的方向與方法，以便為后續(xù)更復(fù)雜數(shù)列規(guī)律的探尋，提供認知經(jīng)驗及方法策略上的支持，也為學(xué)生的自主探究夯實能力基礎(chǔ)。

3.活動探究

師：剛才我們通過整體觀察、猜想規(guī)律和舉例驗證，對c軸上的數(shù)進行了研究。憑借學(xué)到的觀察數(shù)列的本領(lǐng)和方法，我們接著來研究a軸和b軸上的數(shù)，看看它們有沒有規(guī)律？有怎樣的規(guī)律？

（教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生與同桌合作進行探究活動）

學(xué)習(xí)要求：

選一選：同桌合作，在a軸和b軸中任選一條進行研究。

找一找：用自己喜歡的方式將數(shù)列蘊含的規(guī)律表達出來。

說一說：通過研究你發(fā)現(xiàn)了什么，嘗試寫出后面幾個數(shù)。

（學(xué)生完成活動探究之后，進行教學(xué)反饋）

（1）a軸上數(shù)探究活動的教學(xué)反饋

生：a軸上前后兩個數(shù)也依次相差3，但0除外。

生：a軸上的數(shù)也和它所處的位置（序號數(shù)）有關(guān)，我發(fā)現(xiàn)序號數(shù)×3-2=a軸上的數(shù)，（a軸上的數(shù)+2）÷3=序號數(shù)。（教師順勢板書規(guī)律）

生：a軸上第100個數(shù)應(yīng)該是298，因為100×3-2=298。

師：這么有價值的發(fā)現(xiàn)，大家是怎么做到的？

生：我們根據(jù)剛才研究c軸時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，依葫蘆畫瓢找出來的。

師：看來，同學(xué)們已經(jīng)能學(xué)以致用了，了不起！

（2）b軸上數(shù)探究活動的教學(xué)反饋

生：b軸上的數(shù)，除0 外，也是前后依次相差3。

生：序號數(shù)×3-1=c軸上的數(shù)，（b軸上的數(shù)+1）÷3=序號數(shù)。（教師順勢板書規(guī)律）

生：b軸上第100 個數(shù)應(yīng)該是299，因為100×3-1=299。

師：同學(xué)們不僅能提出問題，還能自己解決問題，真棒！

師：從整體上觀察三條數(shù)軸，它們有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生：它們都和3 的倍數(shù)有關(guān)，除0 外，每條數(shù)軸上相鄰的兩個數(shù)都相差3。

生：a軸上的數(shù)都比c軸上對應(yīng)位置的數(shù)少2，b軸上的數(shù)都比c軸上對應(yīng)位置的數(shù)少1。

生：我發(fā)現(xiàn)三條數(shù)軸上的數(shù)以三個數(shù)為一組，呈螺旋形規(guī)律遞增。

師：此話怎講？你能把這個螺旋給我們畫出來嗎？

（學(xué)生借助多媒體技術(shù)進行板演，如圖2）

圖2

師：了不起的發(fā)現(xiàn)！看來將數(shù)與形結(jié)合起來，不僅要關(guān)注局部，還要學(xué)會整體觀察，這樣才能讓我們有新的發(fā)現(xiàn)。

【設(shè)計意圖】在任務(wù)驅(qū)動下，通過同桌合作，有效調(diào)動并激發(fā)學(xué)生的認知與表達需求，有效增強研究活動成果的個性化與多元化。值得強調(diào)的是，本環(huán)節(jié)通過對數(shù)軸與數(shù)列的整體觀察，以數(shù)形結(jié)合的形式，將數(shù)列間的聯(lián)系與區(qū)別生動地表征了出來。

（三）練習(xí)應(yīng)用：拓展思維，創(chuàng)造規(guī)律

1.基礎(chǔ)練習(xí)

（教師出示題目）

下列各數(shù)在哪一條數(shù)軸上？分別是第幾個數(shù)？

24 49 50 57 983

（讓學(xué)生獨立完成練習(xí)，全班進行教學(xué)反饋）

師：課前也有同學(xué)問，想知道1000在哪條數(shù)軸上，現(xiàn)在大家能判斷了嗎？

生：因為1000=333×3+1，所以它應(yīng)該是a軸上第334個數(shù)。

生：根據(jù)研究a軸時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，（1000+2）÷3=334，也可以判定它是a軸上第334個數(shù)。

2.思維拓展

師：大家還有什么疑問？為什么我們觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律會和“3”有關(guān)呢？

生：可能和這個組合數(shù)軸的形狀有關(guān)。

師：如果改變數(shù)軸的數(shù)量和圖形的形狀，數(shù)軸的規(guī)律會發(fā)生什么變化？具體可以如何改變？請你嘗試自主設(shè)計看一看。

（讓學(xué)生嘗試設(shè)計組合數(shù)軸，全班交流反饋，學(xué)生設(shè)計如圖3所示）

圖3

師：這些圖形分別又和哪個數(shù)有關(guān)系呢？你還能設(shè)計出不一樣的數(shù)列嗎？（全課小結(jié)）

【設(shè)計意圖】對開放性的拓展問題的思考，不僅打破了學(xué)生原先在課堂中所形成的固有思維，而且通過創(chuàng)造性的設(shè)計活動，拓展了學(xué)生的思維空間，滿足了不同思維層次學(xué)生的需求，有助于促進學(xué)生知識的結(jié)構(gòu)化。

五、教學(xué)反思

（一）把“一題”學(xué)透

1.聚焦學(xué)生疑問，以學(xué)定教

“以學(xué)定教，學(xué)為中心”是當(dāng)前課堂教學(xué)的主流趨勢，無論是基礎(chǔ)性課程，還是拓展性課程，都需要在日常教學(xué)中落實這一生本理念?；诖?，筆者在教學(xué)引入階段引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)材料提出問題，并將這些問題進行梳理排列，使其成為課堂教學(xué)的依據(jù)和學(xué)習(xí)路徑。這樣不僅充分尊重了學(xué)生的主體地位，體現(xiàn)以學(xué)定教，還使教學(xué)重點圍繞學(xué)生的疑難點展開。

2.強化多元表征，深化認知

面對同一數(shù)列，不同學(xué)生觀察的角度不同，就會產(chǎn)生不同的觀察結(jié)果。

（1）局部與整體的角度差異

無論是哪一條數(shù)軸上的數(shù)列，從局部觀察得到的規(guī)律，與將其放在整體之中觀察得到的規(guī)律有著較為明顯的區(qū)別。如以1000這個數(shù)為例，如果在a軸進行局部觀察，那么它的位置就可以描述成（1000+2）÷3=334，即除0 外，它是a軸上第334 個數(shù)。如果從圖形的整體觀察，那么最接近1000的3的倍數(shù)是999（333×3），這意味著999 這個數(shù)是c軸上第333 個數(shù)，按照數(shù)的排列順序，1000 應(yīng)是a軸上第334 個數(shù)。因此，雖然觀察數(shù)列的角度不同，但規(guī)律是相同的。

（2）順向思維與逆向思維的互譯

學(xué)生對某個規(guī)律的理解與掌握程度如何，一個比較顯性的標(biāo)志就是看他是否能熟練地進行順向思維與逆向思維的互譯轉(zhuǎn)化。具體來講，就是學(xué)生不僅要能根據(jù)自主發(fā)現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律，熟練地判斷某一個數(shù)所處的具體位置，還要能根據(jù)某個具體位置，推斷出位置上的數(shù)。如判斷100在哪一條數(shù)軸上，就屬于順向思維；而判斷a、b、c三條數(shù)軸上的第100個數(shù)分別是幾，就屬于逆向思維。思維的方向不同，掌握規(guī)律的難易程度也會有所不同。只有當(dāng)學(xué)生能在兩者之間熟練地進行轉(zhuǎn)化時，才說明學(xué)生在知識技能的理解與掌握方面已經(jīng)較為全面與透徹。

（3）數(shù)據(jù)與圖形之間的相互溝通

數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說：如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。圖形規(guī)律的表征和描述也是這樣一個道理，當(dāng)學(xué)生感悟到數(shù)列整體呈現(xiàn)出螺旋狀的排列規(guī)律時，也就意味著學(xué)生從整體上把握了各組數(shù)列之間的變化規(guī)律。

（二）把“一題”學(xué)厚

1.構(gòu)筑明暗兩條序列

從本內(nèi)容教學(xué)來看，筆者安排了兩條線索推動教學(xué)的有序發(fā)展。一條是由易到難的知識明線，另一條是學(xué)生自主提問的暗線。從知識明線看，師生從規(guī)律最明顯的c軸入手，逐漸遷移至規(guī)律較為復(fù)雜的a軸和b軸，體現(xiàn)了學(xué)生探索的難易層次。從學(xué)生自主提問的暗線看，教學(xué)隨著學(xué)生自主提出的問題系列逐次展開，體現(xiàn)由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜的梯度變化。因此，借助多維度的教學(xué)序列，可以有效增強教學(xué)的層次感和設(shè)計感。

2.運用多種學(xué)習(xí)方法

從學(xué)習(xí)方法來看，本內(nèi)容先通過對數(shù)列規(guī)律的猜想，激發(fā)學(xué)生的直覺思維，讓學(xué)生初步感知規(guī)律，再通過同桌合作探究，引導(dǎo)學(xué)生借助“整體觀察、規(guī)律猜想、舉例驗證”，由點及面，實現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的多元表征。

3.滲透多元數(shù)學(xué)思想

一節(jié)數(shù)學(xué)課的厚度，既可以體現(xiàn)在知識內(nèi)容的豐富性上，也可以體現(xiàn)在它所承載的數(shù)學(xué)思想方法上?；诖耍P者在開展本內(nèi)容教學(xué)時，努力賦予課堂教學(xué)豐富的數(shù)學(xué)思想方法。既有數(shù)感的培養(yǎng)，又滲透數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、歸納與推理的思想等。總之，多元的數(shù)學(xué)思想方法，使得本內(nèi)容的教學(xué)層次鮮明、內(nèi)涵豐富。

（三）把“一題”學(xué)活

教師如何將教學(xué)內(nèi)容教活，讓學(xué)生學(xué)活，關(guān)鍵是要在涉及學(xué)生思維培養(yǎng)的關(guān)鍵問題上下功夫，要努力通過一節(jié)課達到一類課的教學(xué)目的和效果。如本內(nèi)容教學(xué)中，教師通過一個關(guān)鍵問題“為什么我們觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律會和‘3’有關(guān)”，打破學(xué)生的認知共識，促使他們向更廣闊的思維空間探尋，從而實現(xiàn)上限不封頂?shù)拈_放式教學(xué)效果。

總之，嘗試將“一題”開發(fā)成一節(jié)數(shù)學(xué)拓展課，目的不在于解決這個題目，而是以這“一題”為載體，開發(fā)數(shù)學(xué)拓展課的新樣態(tài)。