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        倒向重隨機(jī)系統(tǒng)的非零和微分對(duì)策問(wèn)題的研究及應(yīng)用

        2023-12-04 06:02:37藺瑞強(qiáng)
        關(guān)鍵詞:哈密頓均衡點(diǎn)充分條件

        許 潔,張 瑞,藺瑞強(qiáng)

        隨著最優(yōu)控制理論的不斷深入研究,微分對(duì)策問(wèn)題也得到了人們的廣泛關(guān)注,穆蕊[1]研究了多人非零和隨機(jī)微分博弈理論及其相關(guān)的高維倒向隨機(jī)微分方程,證明了相關(guān)的高維倒向隨機(jī)微分方程解及納什均衡點(diǎn)的存在性.魏慶萌[2]研究倒向隨機(jī)微分方程理論在隨機(jī)控制及隨機(jī)微分對(duì)策理論中的發(fā)展與應(yīng)用,并分別從兩個(gè)方面刻畫了最優(yōu)控制.楊依蕓等[3]討論了在部分信息下帶跳線性二次平均場(chǎng)類型的二人零和微分對(duì)策問(wèn)題,得到其相應(yīng)最優(yōu)控制的反饋表示.WANG等[4]利用倒向隨機(jī)微分方程討論了一種新的非零和微分對(duì)策,建立了開(kāi)環(huán)納什均衡點(diǎn)的必要條件和充分條件.WANG 等[5]推導(dǎo)了一類新的非零和隨機(jī)微分對(duì)策的最大原理.WANG等[6]討論了倒向隨機(jī)系統(tǒng)的微分對(duì)策問(wèn)題,證明了開(kāi)環(huán)平衡點(diǎn)的一個(gè)Arrow 充分條件.CHEN 等[7]討論了一個(gè)帶時(shí)滯的非零和隨機(jī)微分對(duì)策,并建立了時(shí)滯對(duì)策問(wèn)題的必要條件和充分條件.YANG 等[8]處理了一類隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的部分可觀測(cè)信息下的非零和微分對(duì)策問(wèn)題,推導(dǎo)了該問(wèn)題的最大值原理和驗(yàn)證定理.受此類問(wèn)題的啟發(fā),許潔等[9]在前期探討倒向重隨機(jī)系統(tǒng)非零和微分對(duì)策問(wèn)題中納什均衡點(diǎn)存在必要條件的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步探討納什均衡點(diǎn)存在的充分條件及其相關(guān)應(yīng)用.

        1 預(yù)備知識(shí)

        1.1 符號(hào)說(shuō)明

        文中的基本符號(hào):AT表示轉(zhuǎn)置矩陣,Rn×d表示n×d矩陣空間,表示范數(shù),Rn表示n維歐氏空間.文中所給符號(hào)和不等式在dt× dp意義下在[0,T] × Ω 中幾乎必然成立.

        對(duì)任意的t∈[0,T],集合不遞增也不遞減,無(wú)法構(gòu)成信息流. 假設(shè)M2(0,T;Rn)={φ(t)|φ(t) 為n維可測(cè)隨機(jī)過(guò)程且設(shè)是一個(gè)概率空間,[0,T]是個(gè)任意大的時(shí)間區(qū)間,{W(t):0 ≤t≤T},{B(t):0 ≤t≤T}是兩個(gè)獨(dú)立且標(biāo)準(zhǔn),取值在Rd、Rl的布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程.定義正向伊藤積分和倒向伊藤積分,其中:?(t),φ(t)屬于M2(0,T;Rn).

        1.2 問(wèn)題描述

        系統(tǒng)的狀態(tài)可以由此倒向重隨機(jī)微分方程刻畫:

        其中:v1(?)和v2(?)分別表示控制雙方的控制過(guò)程,設(shè)為控制者1 和控制者2.設(shè)Ui(i= 1,2)為Rk的一個(gè)非空凸子集.Ui(i= 1,2)為控制雙方控制過(guò)程集合,滿足的條件如下:

        ①Ui是?t-適應(yīng)的,vi(t) ∈Ui,t∈[0,T].

        控制雙方在共同關(guān)心T時(shí)刻獲得共同期望結(jié)果ξ時(shí),也關(guān)心各自的利益.控制雙方的目標(biāo)泛函為:

        本文用到的假設(shè)條件:

        (A1)存在常數(shù)c> 0 和0 <σ< 1,對(duì)于任意的(y1,z1,u1),(y2,z2,u2) ∈Rn×Rn×d×Rk,有

        (A2)對(duì)于(y,z,v1,v2),f和g是連續(xù)可微的,并且(y,z,v1,v2)關(guān)于f和g的偏導(dǎo)數(shù)是一致有界的.

        (A3)Li對(duì)于(y,z,v1,v2)是連續(xù)可微的,存在正常數(shù)C使得偏導(dǎo)數(shù)被界住.Φi對(duì)于y則是連續(xù)可微的(i= 1,2).

        1.3 主要引理

        引理1[3]假設(shè)(A1)~(A2)成立,對(duì)于給定u(?) ∈U(0,T),方程(1)存在唯一解(y(?),z(?)),且

        2 主要結(jié)果

        控制雙方都想選擇最優(yōu)的容許控制vi(?)(i= 1,2) 來(lái)優(yōu)化自己的價(jià)值泛函,即尋找容許控制(v1(?),v2(?)) ∈U1×U2使其滿足:

        滿足式(3)的容許控制(u1(?),u2(?))被稱為納什均衡點(diǎn).

        定義系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的伴隨方程:

        定義哈密頓函數(shù)為Hi:[0,T] ×Rn×Rn×d×

        哈密頓形式的伴隨方程如下:

        進(jìn)一步補(bǔ)充文章的假設(shè)條件(A4)~(A7),其中(i= 1,2).

        (A5)伴隨方程(7)有解(pi(?),qi(?)).

        定理1 假設(shè)(A2)~(A7)成立,(u1(?),u2(?))∈U1×U2是給定的容許控制,是對(duì)應(yīng)的軌線,那么(u1(?),u2(?))是一個(gè)納什均衡點(diǎn).

        證明對(duì)于任意的v1(?) ∈U1,假設(shè),是對(duì)應(yīng)于(v1(?),u2(?))的狀態(tài)軌跡,利用哈密頓函數(shù)和價(jià)值泛函的定義可得:

        結(jié)合不等式(13)(14),可得:

        結(jié)合不等式(15)(16),有

        采取同樣的過(guò)程來(lái)處理i= 2 的情況,有

        3 應(yīng)用

        將得到的結(jié)果應(yīng)用于一類特殊的線性倒向重隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題,設(shè)

        式(19)中t的所有函數(shù)是有界的,其中Mi(t)、Ri(t)和Qi是對(duì)稱非負(fù)正定的,Ni(t)是對(duì)稱均勻正定的.

        此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和伴隨方程如下:

        定義哈密頓函數(shù)如下:

        考慮以下線性控制系統(tǒng):

        應(yīng)用定理1,可得

        同樣的,對(duì)于任意的v2(?) ∈U2,有

        故可以得到容許控制滿足式(19),從而得到期望的納什均衡點(diǎn).

        定理2 當(dāng)且僅當(dāng)u1(t) 和u2(t) 為如下形式,(u1(t),u2(t)) 是一個(gè)滿足上述問(wèn)題的納什均衡點(diǎn).

        其中(yi(t),p1(t),p2(t),q1(t),q2(t)) 是如下方程的解.

        證明 通過(guò)納什均衡點(diǎn)的定義和引理1,可以知道以下三個(gè)條件是等價(jià)的,

        (I)(u1(?),u2(?)) 是這個(gè)博弈問(wèn)題的納什均衡點(diǎn).

        (II)ui(?)是以下控制問(wèn)題的最優(yōu)控制.

        價(jià)值泛函為:

        結(jié)合i= 1,2,可以將式(30)轉(zhuǎn)化為式(27),繼而可得(u1(t),u2(t))是一個(gè)滿足上述問(wèn)題的納什均衡點(diǎn).

        4 結(jié)語(yǔ)

        本文研究了由倒向重隨機(jī)微分方程刻畫的非零和微分對(duì)策問(wèn)題,得到了納什均衡點(diǎn)存在的充分條件,將所得結(jié)果應(yīng)用于一類特殊的線性倒向重隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題并得到期望的納什均衡點(diǎn),同時(shí)得到了滿足上述問(wèn)題的納什均衡點(diǎn)的具體形式并以定理的形式給出了證明.

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