許 潔，張 瑞，藺瑞強(qiáng)

隨著最優(yōu)控制理論的不斷深入研究，微分對(duì)策問(wèn)題也得到了人們的廣泛關(guān)注，穆蕊［1］研究了多人非零和隨機(jī)微分博弈理論及其相關(guān)的高維倒向隨機(jī)微分方程，證明了相關(guān)的高維倒向隨機(jī)微分方程解及納什均衡點(diǎn)的存在性.魏慶萌［2］研究倒向隨機(jī)微分方程理論在隨機(jī)控制及隨機(jī)微分對(duì)策理論中的發(fā)展與應(yīng)用，并分別從兩個(gè)方面刻畫了最優(yōu)控制.楊依蕓等［3］討論了在部分信息下帶跳線性二次平均場(chǎng)類型的二人零和微分對(duì)策問(wèn)題，得到其相應(yīng)最優(yōu)控制的反饋表示.WANG等［4］利用倒向隨機(jī)微分方程討論了一種新的非零和微分對(duì)策，建立了開(kāi)環(huán)納什均衡點(diǎn)的必要條件和充分條件.WANG 等［5］推導(dǎo)了一類新的非零和隨機(jī)微分對(duì)策的最大原理.WANG等［6］討論了倒向隨機(jī)系統(tǒng)的微分對(duì)策問(wèn)題，證明了開(kāi)環(huán)平衡點(diǎn)的一個(gè)Arrow 充分條件.CHEN 等［7］討論了一個(gè)帶時(shí)滯的非零和隨機(jī)微分對(duì)策，并建立了時(shí)滯對(duì)策問(wèn)題的必要條件和充分條件.YANG 等［8］處理了一類隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的部分可觀測(cè)信息下的非零和微分對(duì)策問(wèn)題，推導(dǎo)了該問(wèn)題的最大值原理和驗(yàn)證定理.受此類問(wèn)題的啟發(fā)，許潔等［9］在前期探討倒向重隨機(jī)系統(tǒng)非零和微分對(duì)策問(wèn)題中納什均衡點(diǎn)存在必要條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討納什均衡點(diǎn)存在的充分條件及其相關(guān)應(yīng)用.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

文中的基本符號(hào)：AT表示轉(zhuǎn)置矩陣，Rn×d表示n×d矩陣空間，表示范數(shù)，Rn表示n維歐氏空間.文中所給符號(hào)和不等式在dt× dp意義下在[0,T] × Ω 中幾乎必然成立.

對(duì)任意的t∈[0,T]，集合不遞增也不遞減，無(wú)法構(gòu)成信息流. 假設(shè)M2(0,T;Rn)={φ(t)|φ(t) 為n維可測(cè)隨機(jī)過(guò)程且設(shè)是一個(gè)概率空間，[0,T]是個(gè)任意大的時(shí)間區(qū)間，{W(t):0 ≤t≤T}，{B(t):0 ≤t≤T}是兩個(gè)獨(dú)立且標(biāo)準(zhǔn)，取值在Rd、Rl的布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程.定義正向伊藤積分和倒向伊藤積分，其中：?(t),φ(t)屬于M2(0,T;Rn).

1.2 問(wèn)題描述

系統(tǒng)的狀態(tài)可以由此倒向重隨機(jī)微分方程刻畫：

其中：v1(?)和v2(?)分別表示控制雙方的控制過(guò)程，設(shè)為控制者1 和控制者2.設(shè)Ui(i= 1,2)為Rk的一個(gè)非空凸子集.Ui(i= 1,2)為控制雙方控制過(guò)程集合，滿足的條件如下：

①Ui是?t-適應(yīng)的，vi(t) ∈Ui，t∈[0,T].

控制雙方在共同關(guān)心T時(shí)刻獲得共同期望結(jié)果ξ時(shí)，也關(guān)心各自的利益.控制雙方的目標(biāo)泛函為：

本文用到的假設(shè)條件：

（A1）存在常數(shù)c> 0 和0 <σ< 1，對(duì)于任意的(y1,z1,u1),(y2,z2,u2) ∈Rn×Rn×d×Rk，有

（A2）對(duì)于(y,z,v1,v2)，f和g是連續(xù)可微的，并且(y,z,v1,v2)關(guān)于f和g的偏導(dǎo)數(shù)是一致有界的.

（A3）Li對(duì)于(y,z,v1,v2)是連續(xù)可微的，存在正常數(shù)C使得偏導(dǎo)數(shù)被界住.Φi對(duì)于y則是連續(xù)可微的(i= 1,2).

1.3 主要引理

引理1［3］假設(shè)（A1）～（A2）成立，對(duì)于給定u(?) ∈U(0,T)，方程（1）存在唯一解(y(?)，z(?))，且

2 主要結(jié)果

控制雙方都想選擇最優(yōu)的容許控制vi(?)(i= 1,2) 來(lái)優(yōu)化自己的價(jià)值泛函，即尋找容許控制(v1(?),v2(?)) ∈U1×U2使其滿足：

滿足式（3）的容許控制(u1(?),u2(?))被稱為納什均衡點(diǎn).

定義系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的伴隨方程：

定義哈密頓函數(shù)為Hi:[0,T] ×Rn×Rn×d×

哈密頓形式的伴隨方程如下：

進(jìn)一步補(bǔ)充文章的假設(shè)條件（A4）～（A7），其中(i= 1,2).

（A5）伴隨方程（7）有解(pi(?),qi(?)).

定理1 假設(shè)（A2）~（A7）成立，(u1(?),u2(?))∈U1×U2是給定的容許控制，是對(duì)應(yīng)的軌線，那么(u1(?),u2(?))是一個(gè)納什均衡點(diǎn).

證明對(duì)于任意的v1(?) ∈U1，假設(shè)，是對(duì)應(yīng)于(v1(?)，u2(?))的狀態(tài)軌跡，利用哈密頓函數(shù)和價(jià)值泛函的定義可得：

即

結(jié)合不等式（13）（14），可得：

結(jié)合不等式（15）（16），有

采取同樣的過(guò)程來(lái)處理i= 2 的情況，有

3 應(yīng)用

將得到的結(jié)果應(yīng)用于一類特殊的線性倒向重隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題，設(shè)

式（19）中t的所有函數(shù)是有界的，其中Mi(t)、Ri(t)和Qi是對(duì)稱非負(fù)正定的，Ni(t)是對(duì)稱均勻正定的.

此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和伴隨方程如下：

定義哈密頓函數(shù)如下：

考慮以下線性控制系統(tǒng)：

應(yīng)用定理1，可得

同樣的，對(duì)于任意的v2(?) ∈U2，有

故可以得到容許控制滿足式（19），從而得到期望的納什均衡點(diǎn).

定理2 當(dāng)且僅當(dāng)u1(t) 和u2(t) 為如下形式，(u1(t),u2(t)) 是一個(gè)滿足上述問(wèn)題的納什均衡點(diǎn).

其中(yi(t),p1(t),p2(t),q1(t),q2(t)) 是如下方程的解.

證明 通過(guò)納什均衡點(diǎn)的定義和引理1，可以知道以下三個(gè)條件是等價(jià)的，

（I）(u1(?),u2(?)) 是這個(gè)博弈問(wèn)題的納什均衡點(diǎn).

（II）ui(?)是以下控制問(wèn)題的最優(yōu)控制.

價(jià)值泛函為：

結(jié)合i= 1，2，可以將式（30）轉(zhuǎn)化為式（27），繼而可得(u1(t),u2(t))是一個(gè)滿足上述問(wèn)題的納什均衡點(diǎn).

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了由倒向重隨機(jī)微分方程刻畫的非零和微分對(duì)策問(wèn)題，得到了納什均衡點(diǎn)存在的充分條件，將所得結(jié)果應(yīng)用于一類特殊的線性倒向重隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題并得到期望的納什均衡點(diǎn)，同時(shí)得到了滿足上述問(wèn)題的納什均衡點(diǎn)的具體形式并以定理的形式給出了證明.