王圓圓

直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)基本素養(yǎng)，主要是借助幾何（平面幾何或空間幾何等）直觀、空間想象等來感知事物或圖形的形態(tài)與變化等，進(jìn)而結(jié)合圖形直觀來數(shù)形結(jié)合，利用邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算來分析與解決問題．而在數(shù)學(xué)解題過程中，依托直觀想象，通過數(shù)形結(jié)合，可以直接用來解決一些相應(yīng)的直觀數(shù)學(xué)問題，“以形助形”；也可以用來解決一些特殊的抽象數(shù)學(xué)問題，“以數(shù)成形”．結(jié)合函數(shù)圖象或幾何圖形的直觀，達(dá)到“以形助數(shù)”.本文通過數(shù)例予以說明.

點(diǎn)評(píng)：借助中國古代數(shù)學(xué)中的天文計(jì)算設(shè)置復(fù)雜的立體幾何情景，并借助立體幾何圖形的直觀來設(shè)置創(chuàng)新信息問題．借助復(fù)雜的立體幾何圖形直觀，通過直觀想象，合理挖掘立體幾何圖形的內(nèi)涵與本質(zhì)，為進(jìn)一步的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算提供更加廣泛的空間，也是相關(guān)圖形直觀的應(yīng)用本質(zhì)所在．

分析：破解此類大小比較問題，技巧方法比較法．而借助函數(shù)圖象的本源，數(shù)形結(jié)合來直觀想象處理，更加直接有效．通過觀察各代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與形式，合理構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象的構(gòu)建，并通過同一變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的比較，數(shù)形結(jié)合直觀判斷，也是解決問題的基本方法．

點(diǎn)評(píng)：通過合理挖掘三個(gè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，引入?yún)?shù)并合理構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的圖象來直觀判斷，直觀巧妙．這里函數(shù)的圖象涉及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及一次函數(shù)，只要大體的草圖即可得以確定．?dāng)?shù)形結(jié)合法可以更加直觀形象地處理函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，關(guān)鍵就是函數(shù)圖象的大體確定與應(yīng)用．

分析：依據(jù)題意條件，隨著動(dòng)點(diǎn)A在x軸正半軸上的運(yùn)動(dòng)，合理“串聯(lián)”起點(diǎn)P的位置與點(diǎn)Q的位置，由此帶動(dòng)相關(guān)的圖形特征．抓住動(dòng)點(diǎn)A在變化過程中的“瞬間”場景，“動(dòng)”中取“靜”，以點(diǎn)A與B重合的“靜”態(tài)場景來特殊化分析與處理問題，是解決該問題時(shí)直觀想象的一種“巧技妙法”．

點(diǎn)評(píng)：借助圓錐曲線中綜合應(yīng)用問題的創(chuàng)新場景，利用動(dòng)點(diǎn)的變化情況加以動(dòng)靜結(jié)合來分析與處理問題．解決此類圖形直觀問題的運(yùn)動(dòng)情況問題時(shí)，經(jīng)常借助極端思維與特殊位置（或特殊值等方法），通過問題本質(zhì)的理解與掌握，合理直觀想象，數(shù)形直觀，水到渠成．特殊與一般思維，動(dòng)靜結(jié)合思維等，都是直觀想象核心素養(yǎng)的深刻理解與提升，取決于學(xué)生對(duì)此類問題的內(nèi)涵與本質(zhì)的深入挖掘與應(yīng)用．

分析：利用題設(shè)條件中的關(guān)系式恒等變形，結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)想到余弦定理中關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，從三角形的性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用等視角來分析與處理，合理數(shù)形結(jié)合，結(jié)合邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算來綜合應(yīng)用．

點(diǎn)評(píng)：在處理一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題中，其實(shí)質(zhì)不具有圖象或圖形的形式，而借助公式的結(jié)論特征、定義的幾何內(nèi)涵等，合理直觀想象，數(shù)形結(jié)合，有效進(jìn)行巧妙的數(shù)學(xué)建模，利用構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的圖象或幾何圖形，從幾何層面數(shù)形結(jié)合，從代數(shù)場面數(shù)學(xué)運(yùn)算，無中生有，綜合應(yīng)用，充分體現(xiàn)“數(shù)”“形”的和諧統(tǒng)一與完美配合．