王海英,符祖峰,高景利,虎大力

(南陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 南陽(yáng) 473061)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

凸性和廣義凸性在數(shù)學(xué)和許多其他自然科學(xué)中都發(fā)揮著重要作用。當(dāng)凸函數(shù)和廣義凸函數(shù)應(yīng)用于這些領(lǐng)域時(shí),它們的積分型不等式通常使其應(yīng)用成為可能。在這些不等式中,Hermite-Hadamard型積分不等式可能是最常見(jiàn)的一個(gè)。設(shè)f是[a,b]?R上的連續(xù)凸函數(shù),則對(duì)?u,v∈[a,b]且u≠v,有經(jīng)典的Hermite-Hadamard型積分不等式

(1)

近年來(lái),凸函數(shù)已得到各種推廣。凸函數(shù)的一個(gè)重要推廣是由Hanson[3]引入的不變凸函數(shù)。Weir和Mond[4]引入了一類預(yù)不變凸函數(shù),并研究了預(yù)不變凸函數(shù)在最優(yōu)化、變分不等式和積分不等式中的不同性質(zhì)和作用。自預(yù)不變凸函數(shù)的定義提出以后,Hermite-Hadamard型積分不等式與預(yù)不變凸函數(shù)相結(jié)合的研究結(jié)果也開(kāi)始出現(xiàn)。2007年,Aslam[5]建立了預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式

(2)

其中,f是Kη=[v,v+η(u,v)]上的預(yù)不變凸函數(shù)。

不同廣義凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式先后被提出,如文獻(xiàn)[8-13]及其里面的參考文獻(xiàn)。這些結(jié)果極大地拓展了Hermite-Hadamard型積分不等式的應(yīng)用范圍,使得對(duì)Hermite-Hadamard型積分不等式的研究更加深入。

Fulga和Preda在文獻(xiàn)[14]中引入了下面的E-預(yù)不變凸函數(shù)的概念,并取得了E-預(yù)不變凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的一些結(jié)果。

定義1[14]設(shè)K?R,E:K→R,若?u,v∈K,有

E(v)+λη(E(u),E(v))∈K,?λ∈[0,1],

則稱K是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集。

定義2[14]設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的非空E-不變凸集,f:K→R,若?u,v∈K,有

f(E(v)+λη(E(u),E(v)))≤λf(E(u))+(1-λ)f(E(v)),?λ∈[0,1],

則稱f:K→R是關(guān)于η:K×K→R的E-預(yù)不變凸函數(shù)。

定義3設(shè)S?Rn是關(guān)于η:S×S→Rn的非空E-不變凸集,對(duì)?u,v∈S,定義連接點(diǎn)v和點(diǎn)w=E(v)+tη(E(u),E(v))的η-路徑Pvw:

Pvw={E(z)|E(z)=E(v)+tη(E(u),E(v)),t∈[0,1]}。

條件C′[15]對(duì)?u,v∈K,?λ1,λ2∈[0,1],有

η(E(v)+λ1η(E(u),E(v)),E(v)+λ2η(E(u),E(v)))=(λ1-λ2)η(E(u),E(v)),

(3)

則稱η滿足條件C′。

2 主要結(jié)果

基于函數(shù)的E-預(yù)不變凸性,首先建立E-預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式。

定理1設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集,u,v∈K且η(E(u),E(v))≠0。若f:K→R是E-預(yù)不變凸函數(shù),則有

(4)

證明：因?yàn)閒:K→R是E-預(yù)不變凸函數(shù),對(duì)?t∈[0,1],u,v∈K有

f(E(v)+tη(E(u),E(v)))≤(1-t)f(E(v))+tf(E(u))。

特別地,令t=1/2,得到

對(duì)上述兩式先分別從0到1進(jìn)行積分,再進(jìn)行變量代換,可得

和

整理即可得證不等式(4)。

接下來(lái)將利用下面的引理1,對(duì)所建立的E-預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式(4)的左右兩邊的不等式分別進(jìn)行估計(jì)。

引理1設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集,f:K→R可微,u,v∈K且η(E(u),E(v))≠0。若f′∈L(E(v),E(v)+η(E(u),E(v))),則有

(5)

和

(6)

證明：應(yīng)用分部積分法和變量代換,可得

整理即可得證等式(5)。同理,等式(6)亦可證得。

(7)

定理3設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集,f:K→R可微,u,v∈K且η(E(u),E(v))≠0,f′∈L(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))。若|f′|q(q≥1)為(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))上的E-預(yù)不變凸函數(shù),則有

(8)

證明：由(5)式,|f′|q的E-預(yù)不變凸性和冪平均不等式,得到

當(dāng)q=1時(shí),定理3退化為推論1。

推論1設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集,f:K→R可微,u,v∈K且η(E(u),E(v))≠0,f′∈L(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))。若|f′|為(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))上的E-預(yù)不變凸函數(shù),則有

(9)

利用等式(6),類似于定理2和定理3,我們可得到不等式(4)的右邊估計(jì)值,得到定理4。

(10)

定理5設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集,f:K→R可微,u,v∈K且η(E(u),E(v))≠0,f′∈L(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))。若|f′|q(q≥1)為(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))上的E-預(yù)不變凸函數(shù),則有

(11)

當(dāng)q=1時(shí),定理5退化為推論2。

推論2設(shè)K?R是關(guān)于η:K×K→R的E-不變凸集,f:K→R可微,u,v∈K且η(E(u),E(v))≠0,f′∈L(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))。若|f′|為(E(v),E(v)+η(E(u),E(v)))上的E-預(yù)不變凸函數(shù),則有

(12)

接著,我們將所建立的E-預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式推廣到多元E-預(yù)不變凸函數(shù)情形。

定理6設(shè)S?Rn是關(guān)于η:S×S→Rn的E-不變凸集。假設(shè)η滿足條件C′。對(duì)?u,v∈S,f:S→R+是η-路徑Pvw上的E-預(yù)不變凸函數(shù),則?a,b∈[0,1]且a

(13)

證明：設(shè)?u,v∈S,a,b∈[0,1]且a

φ(t):=f(E(v)+tη(E(u),E(v))).

因?yàn)閒是η-路徑Pvw上的E-預(yù)不變凸函數(shù),由文獻(xiàn)[10,定理2]知,φ:[0,1]→R+是[0,1]上的凸函數(shù)。令

顯然,?t∈[0,1],有

φ′(t)=φ(t):=f(E(v)+tη(E(u),E(v)))≥0。

從而|φ′(t)|=φ′(t)。由(9)式,得

根據(jù)φ的定義,整理即可得證不等式(13)。

定理7設(shè)S?Rn是關(guān)于η:S×S→Rn的E-不變凸集。假設(shè)η滿足條件C′,對(duì)?u,v∈S,f:S→R+是η-路徑Pvw上的E-預(yù)不變凸函數(shù),則?a,b∈[0,1]且a

(14)

證明：設(shè)?u,v∈S,a,b∈[0,1]且a

根據(jù)φ的定義,整理即可得證不等式(14)。

3 應(yīng)用

在本節(jié)中,我們回顧以下特殊均值。

性質(zhì)1令0

(15)

證明：定理1中,令f(x)=x,E(x)=x(x>0),即可直接得證。

性質(zhì)2令x,y∈(0,1],x

Ln(E(y)+η(E(x),E(y)))。

(16)

證明：定理1中,令f(x)=-Lnx,E(x)=x(x>0),即可直接得證。

性質(zhì)3令x,y∈R,x

(17)

和

(18)

證明：定理3和定理5中,令E(x)=x,η(E(x),E(y))=x-y,f(x)=xn,x,y∈R,n∈Z,n≥2,即可直接得證。

推論3令(17)和(18)中q=1,n≥2,則有

(19)

和

(20)

證明：推論1和推論2中,令E(x)=x,η(E(x),E(y))=x-y,f(x)=xn,x,y∈R,n∈Z,n≥2,即可直接得證。

(21)

和

(22)

證明：定理2和定理4中,令E(x)=x,η(E(x),E(y))=x-y,f(x)=xn,x,y∈R,n∈Z,n≥2,即可直接得證。