徐 楠,鄭星航,周瀅瑤,王才林,張 歡,王克東

(南方科技大學(xué) 物理系,廣東 深圳 518055)

耦合振動(dòng)是理論力學(xué)課程中的經(jīng)典內(nèi)容[1-2],它建立了簡(jiǎn)正模和簡(jiǎn)正頻率等基本概念,是分析復(fù)雜系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的重要工具. 長(zhǎng)期以來(lái),教材多以彈簧振子[3]為背景講解耦合振動(dòng)的理論知識(shí),實(shí)驗(yàn)中通常在氣墊導(dǎo)軌上[4]展示彈簧振子的耦合振動(dòng)特征. 為了拓展學(xué)生的視野,文獻(xiàn)[5]基于力學(xué)相似性原理[1],類比固定端/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/質(zhì)塊系統(tǒng)設(shè)計(jì)了非對(duì)稱雙扭擺實(shí)驗(yàn),以剛體轉(zhuǎn)動(dòng)為背景介紹了耦合振動(dòng)的時(shí)間演化圖像、頻譜特征和測(cè)量方法,為耦合振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了新思路. 由于非對(duì)稱雙扭擺裝置在結(jié)構(gòu)上缺乏對(duì)稱性,難以展現(xiàn)對(duì)稱簡(jiǎn)正模、反對(duì)稱簡(jiǎn)正模和拍等經(jīng)典現(xiàn)象. 為豐富雙扭擺實(shí)驗(yàn),類比固定端/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/固定端系統(tǒng),本文設(shè)計(jì)了對(duì)稱雙扭擺實(shí)驗(yàn),增加對(duì)稱簡(jiǎn)正模、反對(duì)稱簡(jiǎn)正模和拍的調(diào)節(jié)與觀測(cè). 教學(xué)實(shí)踐表明:該實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生直觀地學(xué)習(xí)耦合振動(dòng)的基本規(guī)律,掌握通過(guò)控制初始條件調(diào)節(jié)系統(tǒng)振動(dòng)模式的方法.

1 實(shí)驗(yàn)裝置

對(duì)稱雙扭擺裝置主要由支架、鋼絲、轉(zhuǎn)盤(pán)、制動(dòng)器和手機(jī)等5部分構(gòu)成,如圖1所示.

圖1 對(duì)稱雙扭擺裝置圖

支架的頂部和底部裝有緊固夾具,可以懸掛鋼絲. 2個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被緊固于鋼絲的不同位置,將鋼絲分為上、中、下3段. 2個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的形狀相同,上下2段鋼絲的尺寸也相同,形成了對(duì)稱結(jié)構(gòu). 轉(zhuǎn)盤(pán)的直徑為120.00 mm,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.311 g·m2(含緊固夾具). 上下2段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)均為K,中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)為k.由于扭轉(zhuǎn)系數(shù)依賴于鋼絲的幾何尺寸,因而可以通過(guò)鋼絲的直徑和長(zhǎng)度調(diào)節(jié)扭轉(zhuǎn)系數(shù)[5]. 轉(zhuǎn)盤(pán)的釋放和停止受制動(dòng)器控制. 在斷電狀態(tài)下,制動(dòng)器夾持轉(zhuǎn)盤(pán)使其保持靜止;通電后,制動(dòng)器釋放轉(zhuǎn)盤(pán),轉(zhuǎn)盤(pán)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng). 轉(zhuǎn)盤(pán)上貼有輕薄紙片,該紙片上印有度盤(pán)和標(biāo)記點(diǎn),度盤(pán)用于設(shè)置轉(zhuǎn)盤(pán)的初始轉(zhuǎn)角,標(biāo)記點(diǎn)用于追蹤轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角. 2部手機(jī)分別置于上下轉(zhuǎn)盤(pán)的上方,錄制相應(yīng)標(biāo)記點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)視頻,錄像幀率為30 s-1.

2 實(shí)驗(yàn)原理

(1)

(2)

其中,I為轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.在實(shí)驗(yàn)中,可通過(guò)改變鋼絲的直徑和長(zhǎng)度調(diào)節(jié)K和k[5].將式(1)～(2)代入拉格朗日方程[1]

L=T-V,

(3)

(4)

可得兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

(5)

(6)

轉(zhuǎn)動(dòng)方程等號(hào)右側(cè)表示鋼絲施加在轉(zhuǎn)盤(pán)上的回復(fù)力矩,其同時(shí)依賴于兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角,可見(jiàn)兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)存在耦合.另外,式(5)～(6)同一維雙彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程具有力學(xué)相似性[1]:前者的轉(zhuǎn)角、角加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別對(duì)應(yīng)于后者的位移、加速度和質(zhì)量.

為了求解式(5)～(6),不妨假設(shè)兩轉(zhuǎn)盤(pán)按相同的角頻率ω轉(zhuǎn)動(dòng),即

φ1=q1sin (ωt),

(7)

φ2=q2sin (ωt),

(8)

其中,q1和q2分別為上下兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角隨時(shí)間演化的幅度.將式(7)～(8)分別代入式(5)～(6),并整理可得本征方程為

(9)

式(9)的非平庸解對(duì)應(yīng)于

(10)

由此可得對(duì)稱雙扭擺裝置的簡(jiǎn)正頻率為

(11)

(12)

將簡(jiǎn)正頻率ωɑ代入式(9)并歸一化,可得

(13)

可見(jiàn),當(dāng)兩轉(zhuǎn)盤(pán)均以角頻率ωα轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),幅度和方向均相同,故不引起中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)形變,兩轉(zhuǎn)盤(pán)實(shí)則為脫耦合.該轉(zhuǎn)動(dòng)形式稱為對(duì)稱簡(jiǎn)正模,ωα稱為對(duì)稱簡(jiǎn)正頻率.

同理,將角頻率ωβ代入式(9)并歸一化,可得

(14)

即當(dāng)兩轉(zhuǎn)盤(pán)以角頻率ωβ轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),幅度相同但方向相反.該轉(zhuǎn)動(dòng)形式稱為反對(duì)稱簡(jiǎn)正模,ωβ稱為反對(duì)稱簡(jiǎn)正頻率.

由式(11)～(12)可知,對(duì)稱簡(jiǎn)正頻率低于反對(duì)稱簡(jiǎn)正頻率,前者僅依賴于K,而后者還依賴于k.一般情況下,轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)是2種簡(jiǎn)正模的線性疊加,即

(15)

其中,A和B為疊加系數(shù).

在實(shí)驗(yàn)中,可以通過(guò)控制兩轉(zhuǎn)盤(pán)的初始轉(zhuǎn)角調(diào)節(jié)耦合轉(zhuǎn)動(dòng)形式.令初始時(shí)刻φ1和φ2的值分別為φ10和φ20,代入式(15)并整理,可得

(16)

(17)

3 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)操作如下:

1)平穩(wěn)放置支架,依次懸掛鋼絲和轉(zhuǎn)盤(pán);

2)根據(jù)轉(zhuǎn)盤(pán)位置安裝制動(dòng)器,將轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)至設(shè)定轉(zhuǎn)角后夾緊;

3)根據(jù)標(biāo)記點(diǎn)位置放置手機(jī);

4)打開(kāi)手機(jī)錄像功能,開(kāi)啟制動(dòng)器同時(shí)釋放轉(zhuǎn)盤(pán),拍攝兩轉(zhuǎn)盤(pán)上標(biāo)記點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)視頻,然后依次關(guān)閉錄像和制動(dòng)器;

5)導(dǎo)出兩轉(zhuǎn)盤(pán)上標(biāo)記點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)視頻,運(yùn)用Tracker提取標(biāo)記點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)間演化數(shù)據(jù).

學(xué)習(xí)耦合轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)在于分析轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化數(shù)據(jù).因此,在數(shù)據(jù)預(yù)處理部分,需要使用反正切函數(shù)將標(biāo)記點(diǎn)的時(shí)間演化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化數(shù)據(jù).

圖2 轉(zhuǎn)盤(pán)上標(biāo)記點(diǎn)示意圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

共使用6種不同尺寸的鋼絲,并運(yùn)用文獻(xiàn)[6]中的方法測(cè)量扭轉(zhuǎn)系數(shù),結(jié)果見(jiàn)表1.其中,扭轉(zhuǎn)系數(shù)K=0.291 9 mN·m的鋼絲充當(dāng)對(duì)稱雙扭擺裝置的上下段鋼絲,其余的鋼絲則先后充當(dāng)中段鋼絲.按照實(shí)驗(yàn)操作步驟得到不同中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)k條件下的上轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角φ1的時(shí)間演化數(shù)據(jù),結(jié)果如圖3所示.從圖3可以看出,由于兩轉(zhuǎn)盤(pán)之間存在耦合,φ1隨時(shí)間t的演化均較為復(fù)雜,已經(jīng)明顯偏離單扭擺的簡(jiǎn)諧轉(zhuǎn)動(dòng)特征[5].另外,在k較小時(shí),φ1的時(shí)間演化具有明顯的拍特征,見(jiàn)圖3(a);但隨k增加,拍特征逐漸消失,見(jiàn)圖3(b)～(e).

表1 不同尺寸鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)

(a)k=0.037 1 mN·m

運(yùn)用式(15)對(duì)圖3中數(shù)據(jù)進(jìn)行雙正弦函數(shù)擬合,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合曲線符合良好,說(shuō)明轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)包含2種簡(jiǎn)正模成分,符合實(shí)驗(yàn)原理預(yù)期.為了檢驗(yàn)角頻率擬合結(jié)果的準(zhǔn)確性,將K,k和I的值代入式(11)～(12),計(jì)算得到對(duì)稱簡(jiǎn)正頻率ωα和反對(duì)稱簡(jiǎn)正頻率ωβ,結(jié)果如表2所示.從表2可以看出,實(shí)驗(yàn)擬合結(jié)果和理論值的相對(duì)偏差均低于0.5%.隨k增加,ωα基本不變,而ωβ上升,這是由于當(dāng)兩轉(zhuǎn)盤(pán)以角頻率ωα做簡(jiǎn)諧轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),中段鋼絲的彈性勢(shì)能維持恒定,故k不影響ωα,如式(11)所示.

表2 圖3中簡(jiǎn)正頻率實(shí)驗(yàn)的擬合值和理論值

圖4直觀地展現(xiàn)了簡(jiǎn)正頻率ω隨k的變化關(guān)系.由圖4可以看出,簡(jiǎn)正頻率分布于2個(gè)不同的分支.隨k增加,2種簡(jiǎn)正頻率的差距逐漸變大,這也給出了圖3(a)～(e)中拍現(xiàn)象逐漸消失的原因.

圖4 簡(jiǎn)正頻率隨中段鋼絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)k的變化

下面依據(jù)實(shí)驗(yàn)原理對(duì)兩轉(zhuǎn)盤(pán)的初始轉(zhuǎn)角做特殊設(shè)置,觀測(cè)對(duì)稱簡(jiǎn)正模、反對(duì)稱簡(jiǎn)正模和拍. 將上下段鋼絲和中段鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)分別設(shè)置為0.291 9 mN·m和0.037 1 mN·m,由表2可知簡(jiǎn)正頻率的理論值分別為ωα=0.968 1 rad/s和ωβ=1.084 rad/s. 將兩轉(zhuǎn)盤(pán)旋轉(zhuǎn)至相同轉(zhuǎn)角后同時(shí)釋放,得到兩轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化數(shù)據(jù),如圖5所示.

(a)上轉(zhuǎn)盤(pán)

從圖5可以看出,兩轉(zhuǎn)盤(pán)起初均靜止于轉(zhuǎn)角約50°處. 在被同時(shí)釋放后,轉(zhuǎn)角開(kāi)始隨時(shí)間振蕩,并且?guī)缀跬皆黾踊驕p小. 在60 s的觀測(cè)窗口內(nèi),兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角振蕩幅度基本維持恒定,說(shuō)明該體系的阻尼作用極小. 對(duì)振蕩部分的數(shù)據(jù)進(jìn)行正弦擬合,結(jié)果如表3所示.

表3 圖5中兩轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角-時(shí)間演化曲線的正弦擬合結(jié)果[擬合函數(shù)φ=Asin (ωαt+ɑ)]

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和正弦曲線符合良好,兩轉(zhuǎn)盤(pán)都近似做簡(jiǎn)諧轉(zhuǎn)動(dòng);兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)幅度、頻率和相位基本一致,表明兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)較好地呈現(xiàn)了對(duì)稱簡(jiǎn)正模的主要特征. 另外,兩轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率的擬合結(jié)果與理論值接近,相對(duì)偏差均低于0.3%.

為了觀測(cè)反對(duì)稱簡(jiǎn)正模,將兩轉(zhuǎn)盤(pán)旋轉(zhuǎn)至相反轉(zhuǎn)角后同時(shí)釋放,按實(shí)驗(yàn)操作方法得到轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化數(shù)據(jù),如圖6所示.

(a)上轉(zhuǎn)盤(pán)

從圖6可以看出,兩轉(zhuǎn)盤(pán)被釋放后,轉(zhuǎn)角開(kāi)始隨時(shí)間振蕩,而且當(dāng)上轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角增加時(shí),下轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角同步減小;當(dāng)上轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角減小時(shí),下轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角同步增加. 在60 s的觀測(cè)窗口內(nèi),兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)角幅度均未發(fā)生明顯衰減,說(shuō)明該體系的阻尼作用極小. 對(duì)振蕩部分的數(shù)據(jù)進(jìn)行正弦擬合,結(jié)果如表4所示.

表4 圖6中兩轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角-時(shí)間演化曲線的正弦擬合結(jié)果[擬合函數(shù)φ=Bsin (ωβt+b)]

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和正弦曲線符合良好,兩轉(zhuǎn)盤(pán)都近似做簡(jiǎn)諧轉(zhuǎn)動(dòng);兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)幅度和角頻率基本一致,相位差約為π;兩轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率的擬合結(jié)果與理論值接近,相對(duì)偏差均低于0.1%. 上述結(jié)果表明,兩轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)較好地呈現(xiàn)了反對(duì)稱簡(jiǎn)正模的主要特征.

表5 圖7中轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角-時(shí)間演化曲線的雙正弦擬合結(jié)果[擬合函數(shù)φ=Asin (ωαt+a)+Bsin (ωβt+b]

5 結(jié)束語(yǔ)

本文類比固定端/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/質(zhì)塊/彈簧/固定端系統(tǒng)設(shè)計(jì)了對(duì)稱雙扭擺實(shí)驗(yàn),使用手機(jī)錄制轉(zhuǎn)盤(pán)的一般耦合轉(zhuǎn)動(dòng)以及對(duì)稱簡(jiǎn)正模、反對(duì)稱簡(jiǎn)正模和拍等特殊耦合轉(zhuǎn)動(dòng)的視頻,運(yùn)用目標(biāo)追蹤軟件從中提取轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化數(shù)據(jù),通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到耦合轉(zhuǎn)動(dòng)的幅度、頻率和相位等信息,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)期符合良好. 教學(xué)實(shí)踐表明,該實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生直觀地學(xué)習(xí)耦合振動(dòng)的基本原理,激發(fā)實(shí)驗(yàn)興趣.