廖立堅(jiān)，楊新安，蘇 偉，王雨權(quán)，李 黎

(1.中國鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300308；2.同濟(jì)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海 201804；3.中鐵第六勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，天津 300308)

長(zhǎng)大鐵路橋梁以標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)模式為主,經(jīng)過實(shí)踐的檢驗(yàn)和后期不斷優(yōu)化,32 m簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)受力穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)便捷,是標(biāo)準(zhǔn)梁跨的首選[1],但是隨著我國交通路網(wǎng)密度的不斷增加,長(zhǎng)大鐵路橋梁跨越道路、河流和管線等約束條件越來越多,單一標(biāo)準(zhǔn)梁跨的組合不能滿足同時(shí)跨越多個(gè)約束點(diǎn)的需求,為此增加了其他長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支梁和大跨連續(xù)梁來豐富梁跨的組合,為跨越道路、河流和管線等控制點(diǎn)提供更多的選擇,這種梁跨組合方案的求解的目標(biāo)就是孔跨布置?？卓绮贾檬菢蛄悍桨冈O(shè)計(jì)的前提,受限于橋梁長(zhǎng)度長(zhǎng)、約束條件多而不能自動(dòng)求解。而人工布孔不僅工作量大、復(fù)雜程度高,而且找到的布孔方案不一定最優(yōu)。

標(biāo)準(zhǔn)跨度組成的長(zhǎng)大橋梁整體設(shè)計(jì)方案易受局部控制點(diǎn)影響,動(dòng)局部而動(dòng)全身時(shí)有發(fā)生。鐵路橋梁外業(yè)勘測(cè)時(shí),沿線調(diào)查約束條件不一定能一次全面到位,后期經(jīng)常增補(bǔ)或修改規(guī)劃預(yù)留道路和地下管線,造成孔跨布置工作的反復(fù)。在大規(guī)模鐵路橋梁設(shè)計(jì)的背景下,為了高質(zhì)量、高效率完成橋梁孔跨布置,本文提出基于標(biāo)準(zhǔn)梁跨的橋梁孔跨最優(yōu)化布置方法,能夠直接根據(jù)輸入的多個(gè)約束條件迅速得到橋梁孔跨組合樣式,并且保證得到的孔跨布置方案是最優(yōu)的。

1 布孔原則

道路、河流、管線等組成的控制點(diǎn)是孔跨布置的關(guān)鍵,應(yīng)優(yōu)先確定下來,然后再考慮各控制點(diǎn)之間的布孔方案。因此,孔跨布置的整體原則為:①跨越控制點(diǎn)的梁跨,優(yōu)先選擇32 m簡(jiǎn)支梁,當(dāng)簡(jiǎn)支梁跨度不夠時(shí),可選擇連續(xù)梁,連續(xù)梁先按照跨度從小到大進(jìn)行排序,然后根據(jù)實(shí)際控制點(diǎn)長(zhǎng)度進(jìn)行選擇;②相鄰非控制點(diǎn)之間的段落優(yōu)先選用32 m簡(jiǎn)支梁,選用24、20、16 m簡(jiǎn)支梁與其組合進(jìn)行調(diào)跨。

2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)以上布孔原則,可以得到多種孔跨布置方案,為評(píng)價(jià)這些方案的優(yōu)劣,首先需要引入量化指標(biāo)“梁跨影響系數(shù)”,然后為不同跨度的簡(jiǎn)支梁設(shè)定不同的梁跨影響系數(shù),接著求出方案中所有梁跨的梁跨影響系數(shù)之和,最后規(guī)定梁跨影響系數(shù)之和最小的方案就是最優(yōu)方案。

為求解最優(yōu)布孔方案,可創(chuàng)建基于多約束條件的最優(yōu)化布孔模型:建立標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支梁的數(shù)據(jù)庫,針對(duì)全橋梁跨最優(yōu)組合快速求解問題;建立以梁跨影響系數(shù)之和為目標(biāo)函數(shù),以道路、河流、管線為約束條件的超大規(guī)模最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型[2-10]。

該最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型又稱整數(shù)線性規(guī)劃。因?yàn)槟Ｐ椭械淖兞渴歉鞣N孔跨的跨數(shù),均為整數(shù)且是一次的。處理器可以很容易求解有10 000個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,但只能處理幾十個(gè)變量的整數(shù)線性規(guī)劃問題。主要是因?yàn)槿绻捎帽┝λ阉魉惴?處理器運(yùn)行的時(shí)間增加非常迅速[11-19]。

實(shí)際情況經(jīng)常遇到幾十千米的特大橋,這些橋有上千梁跨和幾百個(gè)約束條件,這種超大規(guī)模的數(shù)學(xué)模型求解起來十分耗時(shí),出現(xiàn)無解時(shí)又不能確定引起無解的具體位置,所以實(shí)際情況很少直接求解。因此,提出一種按控制點(diǎn)分區(qū)布置再逐一合并的遞推求解方法,采用先從整體到局部再到整體的遞推方法尋找最優(yōu)布孔方案,大幅降低了模型求解的計(jì)算規(guī)模,具體流程見圖1。

3 布孔算法

根據(jù)以上布孔原則和數(shù)學(xué)模型,采用遞推合并的方法,構(gòu)建布孔算法如下:

1)列出常用的標(biāo)準(zhǔn)梁跨和其對(duì)應(yīng)的梁長(zhǎng),例如32、24、20、16 m簡(jiǎn)支梁的梁長(zhǎng)分別為32.70、24.70、20.70、16.56 m。然后定義每孔梁的影響系數(shù),根據(jù)優(yōu)先使用順序:32 m>24 m>20 m>16 m,可定義梁跨影響系數(shù)分別為0、1、2、3。

2)為道路、河流、管線等控制點(diǎn)單獨(dú)配置梁跨,優(yōu)先選擇簡(jiǎn)支梁跨越,簡(jiǎn)支梁的優(yōu)先順序按照影響系數(shù)從低到高選擇,當(dāng)簡(jiǎn)支梁跨越能力不夠時(shí),再選擇連續(xù)梁,連續(xù)梁則按照跨度由小到大選擇?？刂泣c(diǎn)的侵占長(zhǎng)度和凈寬示意見圖2。圖2中,L為控制點(diǎn)的侵占長(zhǎng)度;w為控制點(diǎn)的凈寬,w=v1+v2,v1為控制點(diǎn)左邊界與左側(cè)橋墩的最小水平距離,v2為控制點(diǎn)右邊界與右側(cè)橋墩的最小水平距離。為控制點(diǎn)選擇梁跨時(shí),先要計(jì)算它的侵占長(zhǎng)度L,也就是跨越其所需的最小梁長(zhǎng),當(dāng)實(shí)際選擇的梁跨長(zhǎng)度大于最小梁長(zhǎng),其差值就是控制點(diǎn)的凈寬w。

圖2 控制點(diǎn)的侵占長(zhǎng)度和凈寬示意

3)計(jì)算控制點(diǎn)之間所有可行的孔跨布置方案。首先確定控制點(diǎn)之間的布孔長(zhǎng)度下限和上限,其示意見圖3。由圖3可知,兩個(gè)控制點(diǎn)內(nèi)邊緣到內(nèi)邊緣的距離就是布孔長(zhǎng)度上限,布孔長(zhǎng)度下限就是布孔長(zhǎng)度上限與兩個(gè)控制點(diǎn)凈寬之和的差值。

圖3 布孔長(zhǎng)度上、下限示意

只要計(jì)算的孔跨布置方案總長(zhǎng)度介于布孔長(zhǎng)度下限和上限之間,就是控制點(diǎn)間可行的布孔方案,據(jù)此求出所有可行的孔跨布置方案,步驟如下:

Step1利用式( 1 )求得所有解。

( 1 )

式中:N1、N2、N3、N4分別為布孔方案中32、24、20、16 m簡(jiǎn)支梁的跨數(shù),均為自然數(shù)。

Step2利用式( 2 )計(jì)算所有解的梁跨影響系數(shù)之和M,并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

M=C1N1+C2N2+C3N3+C4N4

( 2 )

式中:C1、C2、C3、C4分別為32、24、20、16 m簡(jiǎn)支梁的影響系數(shù)。

式( 1 )可采用累加計(jì)數(shù)器的方法求解[20],該方法的過程是:將孔跨樣式選擇的問題抽象為一個(gè)計(jì)數(shù)器累加的過程,影響系數(shù)最小的梁跨為個(gè)位,其次為十位,依次類推,計(jì)數(shù)器上的數(shù)值與梁長(zhǎng)的乘積之和表示計(jì)數(shù)器記錄的全長(zhǎng);然后對(duì)這個(gè)計(jì)數(shù)器不斷地加1,當(dāng)計(jì)數(shù)器的全長(zhǎng)大于布孔長(zhǎng)度上限時(shí),計(jì)數(shù)器進(jìn)位,直到最高位不能進(jìn)位為止,這中間計(jì)數(shù)器的全長(zhǎng)介于布孔長(zhǎng)度上限和下限之間的方案就是可行方案,而且統(tǒng)計(jì)出來的可行方案已經(jīng)按照影響系數(shù)從低到高進(jìn)行了排序。

舉例說明,在圖3所示的兩個(gè)控制點(diǎn)之間,布孔長(zhǎng)度上限值為620 m,布孔長(zhǎng)度下限值為600 m,準(zhǔn)備采用優(yōu)先順序32 m>24 m>20 m>16 m的4種標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支梁在中間布孔。根據(jù)各梁跨的優(yōu)先順序,建立抽象計(jì)數(shù)器見表1。計(jì)數(shù)器記錄的布孔全長(zhǎng)=32.7×N1+24.7×N2+20.7×N3+16.56×N4,布孔的過程就是計(jì)數(shù)器不斷+1,當(dāng)全長(zhǎng)大于620 m時(shí)計(jì)數(shù)器進(jìn)位,直到600 m<全長(zhǎng)<620 m時(shí),找到可行方案。

表1 抽象計(jì)數(shù)器

抽象計(jì)數(shù)器個(gè)位跨數(shù)數(shù)滿見表2。對(duì)其進(jìn)行不斷+1操作,當(dāng)出現(xiàn)表2所示的跨數(shù)數(shù)字時(shí),全長(zhǎng)=32.7×18=588.6 m<600 m,再進(jìn)行+1操作后,全長(zhǎng)=32.7×19=621.3 m>620 m,這時(shí)計(jì)數(shù)器需要進(jìn)行進(jìn)位操作。

表2 抽象計(jì)數(shù)器個(gè)位跨數(shù)數(shù)滿

進(jìn)位操作先是個(gè)位跨數(shù)數(shù)字清零,十位跨數(shù)數(shù)字+1,如果全長(zhǎng)仍然>620 m,十位跨數(shù)數(shù)字也清零,百位跨數(shù)數(shù)字+1,依次類推,從后往前不斷進(jìn)位。此例中進(jìn)位1次后,全長(zhǎng)=24.7×1=24.7 m<600 m,可以繼續(xù)進(jìn)行+1操作,當(dāng)個(gè)位跨數(shù)數(shù)字為18時(shí),見表3中的計(jì)算器顯示,這時(shí)600 m<全長(zhǎng)=32.7×18+24.7×1=613.3<620,此為可行的布孔方案,且是影響系數(shù)最小的方案,記錄該可行方案,然后繼續(xù)+1操作,尋找其他可行方案,直到進(jìn)位后千位跨數(shù)數(shù)字N4×16.56>620 m,整個(gè)布孔過程結(jié)束。

表3 可行方案的計(jì)數(shù)器顯示

4)兩個(gè)控制點(diǎn)合并成一個(gè)合并體,合并體中存在多種合并方案,計(jì)算每種合并方案的凈寬和布孔距離。合并體的凈寬簡(jiǎn)稱合并凈寬,是指兩個(gè)控制點(diǎn)合并后可以前后移動(dòng)的最大距離,可取控制點(diǎn)1和2的合并凈寬w12=min{w1,w2},控制點(diǎn)1、2和3的合并凈寬w123=min{w12,w3}。定義兩個(gè)控制點(diǎn)合并后整體不可移動(dòng)的長(zhǎng)度為修正布孔長(zhǎng)度s,各參數(shù)的示意見圖4。

圖4 兩個(gè)控制點(diǎn)合并后的參數(shù)示意

控制點(diǎn)1和2合并的修正布孔長(zhǎng)度s為

( 3 )

式中:w1為控制點(diǎn)1的凈寬;w2為控制點(diǎn)2的凈寬;合并凈寬w12=min{∣s3∣,w1,w2}。

控制點(diǎn)合并過程中數(shù)據(jù)較多,可以按照一定的規(guī)則和順序記錄下來,例如第i個(gè)控制點(diǎn)被合并后,產(chǎn)生n種組合方案,記為Fi(Fi1,Fi2,Fi3,…,Fij,…,Fin),每一個(gè)方案Fij除記錄該方案的孔跨組合Gij(N1,N2,N3,N4,…)外,還包括累積梁跨影響系數(shù)Mij,合并凈寬wij,方案Fij在Fi中的順序j,遵循累積梁跨影響系數(shù)Mi(Mi1,Mi2,Mi3,…,Mij,…,Min)從小到大的順序。

5)控制點(diǎn)從左向右依次逐個(gè)合并,記錄全部合并完成后每個(gè)方案的累積梁跨影響系數(shù),選擇累積梁跨影響系數(shù)最小的方案。方案合并過程中,右邊的方案不停地被左邊合并,形成合并體,由于過程未結(jié)束,不能立即得到最終方案,因此需要采用遞歸的方法存放中間過程,由于被選梁跨是按梁跨影響系數(shù)排過序的,為加快方案搜尋速度,在遞歸過程中如果發(fā)現(xiàn)方案的累積梁跨影響系數(shù)已大于記錄的最小值,說明此方案再遞歸下去也不會(huì)降低累積梁跨影響系數(shù),可以終止該方案的搜索,轉(zhuǎn)到下一個(gè)方案。

4 算例

在里程范圍DK27+100.00—DK27+500.00進(jìn)行孔跨布置,設(shè)計(jì)一座大橋。

根據(jù)需要用到的簡(jiǎn)支梁建立標(biāo)準(zhǔn)梁跨表,按照梁跨影響系數(shù)對(duì)梁跨從低到高排序,見表4。

表4 標(biāo)準(zhǔn)梁跨參考

根據(jù)外業(yè)調(diào)查資料及線路地形情況,擬定橋臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)為5 m,小里程橋臺(tái)胸墻里程落在DK27+100.00上,大里程橋臺(tái)胸墻里程落在DK27+400.00上,胸墻里程均可以前后調(diào)整5 m,該里程段落范圍有道路和河流各1條,這2個(gè)控制點(diǎn)均采用32 m簡(jiǎn)支梁來跨越。因?yàn)橹拔刺岬接袠蚺_(tái)情況的梁跨布置,這里可以把橋臺(tái)抽象成1個(gè)控制點(diǎn)來處理,根據(jù)橋臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)5 m,選用5 m的梁跨來取代橋臺(tái),橋臺(tái)的調(diào)整范圍5 m作為該控制點(diǎn)的凈寬。由此可計(jì)算出4個(gè)控制點(diǎn)的侵占長(zhǎng)度和凈寬,計(jì)算示意見圖2,具體數(shù)值見表5。

表5 約束控制點(diǎn)及其參數(shù)

首先,合并控制點(diǎn)1和2,也就是布置控制點(diǎn)1和2之間的梁跨組合。根據(jù)之前的定義,先計(jì)算兩個(gè)控制點(diǎn)間的布孔長(zhǎng)度上限值和下限值,得到總長(zhǎng)度介于它們之間的6種孔跨樣式組合,計(jì)算這6種方案的梁跨影響系數(shù),按從小到大排序,結(jié)果見表6,期間統(tǒng)計(jì)并記錄每種孔跨布置方案的修正布孔長(zhǎng)度和合并凈寬。

表6 控制點(diǎn)1與控制點(diǎn)2之間的布孔

然后,合并控制點(diǎn)12和控制點(diǎn)3。表6中的6種方案依次與控制點(diǎn)2進(jìn)行合并布孔,因?yàn)榍懊娣桨傅牧嚎缬绊懴禂?shù)小于后面方案,所以只要前面的方案在布孔過程中找到解,后面的方案就可以不用再進(jìn)行比選。第1種方案與控制點(diǎn)3的合并布孔情況見表7,一共得到4種孔跨布置方案。

表7 控制點(diǎn)12與控制點(diǎn)3之間的布孔

接著,合并控制點(diǎn)123和最后一個(gè)控制點(diǎn)4。在合并布孔過程中發(fā)現(xiàn),表7中的第1種方案與控制點(diǎn)4合并后出現(xiàn)了解,結(jié)果見表8,于是得到最終的孔跨樣式組合,而且該孔跨樣式組合是表6、表7和表8中第1種方案的合集,其累計(jì)梁跨影響系數(shù)=sum{1,0,3}=4,根據(jù)后面方案不可能優(yōu)于前面方案的原則,可以停止方案搜尋,已經(jīng)找到了最優(yōu)解。

表8 控制點(diǎn)123與控制點(diǎn)4之間的布孔

最后,列出最優(yōu)方案的橋梁孔跨樣式組合,見表9,將該方案選用過的所有的梁長(zhǎng)作為交點(diǎn)距填入表中第2列,鎖定大里程橋臺(tái)的臺(tái)尾里程為DK27+400.00,再根據(jù)交點(diǎn)距求出其他墩臺(tái)的里程。最優(yōu)方案剩余的凈寬就是表8中的合并凈距1 m,為平均剩余凈寬到各控制點(diǎn),可對(duì)橋梁進(jìn)行整體居中,平均最終剩余凈距,最終,設(shè)置大里程橋臺(tái)的臺(tái)尾里程=DK27+400.00+0.5=DK27+400.50。

表9 控制點(diǎn)123與控制點(diǎn)4之間的布孔

5 實(shí)例應(yīng)用

我國鐵路運(yùn)營里程由2009年的8.5萬 km增長(zhǎng)到2020年的14.6萬 km,其中高鐵3.8萬 km,橋梁作為高鐵線路主要結(jié)構(gòu)形式,設(shè)計(jì)任務(wù)量異常繁重,橋梁孔跨方案的設(shè)計(jì)主要依靠設(shè)計(jì)人員在平面圖上以標(biāo)準(zhǔn)梁跨的長(zhǎng)度為直徑畫圈布孔,這種人工手段得到最優(yōu)解很難,而且由標(biāo)準(zhǔn)跨度組成的長(zhǎng)大橋梁設(shè)計(jì)方案易受控制性工點(diǎn)影響,整體重復(fù)設(shè)計(jì)時(shí)有發(fā)生。

本文方法已編入我院橋梁數(shù)字化設(shè)計(jì)平臺(tái),在大規(guī)模鐵路橋梁建設(shè)時(shí)期發(fā)揮了重要作用,先后應(yīng)用于京雄、京沈、廣湛等高速鐵路,昌景黃、宣績(jī)、邯黃等普速鐵路。設(shè)計(jì)人員依托平臺(tái)告別了手動(dòng)畫圈式布孔的落后設(shè)計(jì)手段,實(shí)現(xiàn)了橋梁布孔的自動(dòng)化和智能化?？焖俑咝У夭伎追椒ㄓ辛ΡＵ狭宋覈F路戰(zhàn)略目標(biāo)的完成。

以某特大橋的初步設(shè)計(jì)為例,預(yù)設(shè)該橋的缺口里程為DK638+050.00—DK666+940.00,該橋共有64個(gè)控制點(diǎn),這些控制點(diǎn)和與線路左線交角和控制點(diǎn)寬度見表10中的輸入數(shù)據(jù),經(jīng)過以上方法計(jì)算后,可得到孔跨方案布置結(jié)果見表11,比較控制點(diǎn)與最終梁跨的位置關(guān)系,得到控制點(diǎn)左右側(cè)凈寬差值均符合要求,見表10。

表11 某橋的孔跨方案布置結(jié)果

6 結(jié)論

標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)有利于工廠化、裝配化、機(jī)械化和智能化,是長(zhǎng)大橋梁采用的主要設(shè)計(jì)模式。外業(yè)調(diào)查結(jié)果反復(fù)多,人工布孔不能滿足橋梁方案設(shè)計(jì)工期需求,自動(dòng)布孔面臨橋梁長(zhǎng)度長(zhǎng)、約束條件多的難題而得不到較優(yōu)解,常規(guī)的最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型存在變量規(guī)模大求解時(shí)間長(zhǎng)、無解時(shí)不能確定具體原因等缺陷。為滿足大規(guī)模鐵路橋梁設(shè)計(jì)質(zhì)量與工期,本文研究出基于標(biāo)準(zhǔn)梁跨的橋梁孔跨布置方法,實(shí)現(xiàn)鐵路橋梁方案的自動(dòng)化設(shè)計(jì),主要包括以下方面:

1)針對(duì)全橋梁跨最優(yōu)組合快速求解問題,建立了以梁跨重要性系數(shù)之和為目標(biāo)函數(shù),以道路、河流、管線為約束條件的超大規(guī)模最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

2)為降低模型的計(jì)算規(guī)模,減少求解時(shí)間,提出按約束條件分區(qū)段布孔的方法。即以約束條件為分界控制點(diǎn),分別設(shè)計(jì)控制點(diǎn)的布孔算法和控制點(diǎn)之間的布孔算法,從而降低了模型的計(jì)算維度。

3)以布孔長(zhǎng)度上限、布孔長(zhǎng)度下限、修正布孔長(zhǎng)度作為控制點(diǎn)之間合并的計(jì)算參數(shù),推導(dǎo)了這些參數(shù)的計(jì)算公式,提出控制點(diǎn)逐一合并的遞推求解方法。攻克了鐵路橋梁方案自動(dòng)化設(shè)計(jì)的難題,解決了長(zhǎng)大橋梁精確、高效、經(jīng)濟(jì)的孔跨布置問題,實(shí)現(xiàn)了梁跨與道路河流管線的最優(yōu)匹配。

4)該方法求解速度快,特別適合長(zhǎng)大橋梁的自動(dòng)布孔,橋梁外業(yè)勘測(cè)人員只需認(rèn)真做好調(diào)查工作,就能自動(dòng)得到最優(yōu)的布孔方案,大大減輕了勞動(dòng)強(qiáng)度,在鐵路大會(huì)戰(zhàn)時(shí)期發(fā)揮了重要作用。但是該方法在定義梁跨影響系數(shù)時(shí),無法綜合考慮橋梁結(jié)構(gòu)安全、穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)的影響,因此可能還需要人為對(duì)結(jié)果稍作修改,例如設(shè)置調(diào)跨梁。