汪 斌，王偉旭，孫體佳，湯港歸

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031)

自1842年英國物理學(xué)家Samuel Earnshaw提出磁懸浮概念以來,磁懸浮技術(shù)得以不斷發(fā)展。1922年,德國工程師Hermann Kemper提出電磁懸浮原理,于1934年申請了磁懸浮列車的專利,自此磁懸浮技術(shù)得以運(yùn)用到交通運(yùn)輸之中。磁懸浮列車(Maglev Train)是一種無接觸的地面有軌交通工具,利用磁吸力或磁斥力懸浮車輛,以直線電動(dòng)機(jī)牽引列車,具有速度域?qū)挕⑴榔履芰?qiáng)、噪聲小、維修成本低、乘坐舒適和安全等特點(diǎn)[1]。此外,磁懸浮列車與軌道之間不存在直接接觸。相比于傳統(tǒng)機(jī)械式輪軌接觸系統(tǒng),磁懸浮交通避免了輪軌摩擦帶來的損耗[2]。因此,磁懸浮列車作為未來的交通運(yùn)輸方式受到世界各國的廣泛關(guān)注與青睞。磁懸浮列車懸浮模式可分為:電磁懸浮(Electromagnetic Suspension,EMS)、電動(dòng)懸浮(Electrodynamic Suspension,EDS)、超導(dǎo)釘扎磁懸浮(SPL)[3]。其中電磁懸浮技術(shù)出現(xiàn)時(shí)間最早,對其進(jìn)行研究的國家也較多,包括德國、中國、韓國等。電動(dòng)懸浮技術(shù)分為低溫超導(dǎo)電動(dòng)懸浮和永磁電動(dòng)懸浮,對低溫超導(dǎo)電動(dòng)懸浮技術(shù)的研究主要在日本,而對永磁電動(dòng)懸浮技術(shù)的研究主要在美國、中國等國家。超導(dǎo)釘扎磁懸浮也稱為高溫超導(dǎo)懸浮(High Temperature Superconductor,HTS),其出現(xiàn)和發(fā)展相對較新,當(dāng)前的研究主要集中在中國、俄羅斯、巴西等國家。

磁懸浮列車行駛的軌道大多鋪設(shè)在橋梁結(jié)構(gòu)(包括軌道梁)之上,使得磁懸浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)的動(dòng)力特性成為磁懸浮列車研究的重點(diǎn)方向。在動(dòng)力特性研究中,無法避免求解磁懸浮列車-橋梁的動(dòng)力耦合方程。磁懸浮列車與橋梁間正是通過磁浮作用力進(jìn)行相互動(dòng)力耦合,故準(zhǔn)確求解磁浮列車的磁浮力尤為重要。本文整理得出電磁懸浮、電動(dòng)懸浮、高溫超導(dǎo)懸浮三種磁懸浮模式中磁浮力的計(jì)算式,并系統(tǒng)性地闡述了其優(yōu)缺點(diǎn)及適用情況,以期能為不同制式磁懸浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)或磁懸浮列車-軌道耦合系統(tǒng)的動(dòng)力特性研究提供基礎(chǔ)性參考。

1 電磁懸浮

電磁懸浮(EMS)列車依靠車載電磁鐵與導(dǎo)磁性軌道之間產(chǎn)生的磁吸力平衡車輛負(fù)載,實(shí)現(xiàn)車體懸浮。EMS列車按行駛速度可分為高速與低速EMS列車,其結(jié)構(gòu)見圖1。中低速EMS列車采用整體式懸浮與導(dǎo)向系統(tǒng),即列車的懸浮與導(dǎo)向采用同一套電磁鐵系統(tǒng),利用電磁鐵的自復(fù)位特性來提供導(dǎo)向力[4]。高速EMS列車采用分離式懸浮與導(dǎo)向系統(tǒng),即列車的懸浮與導(dǎo)向采用兩套相互獨(dú)立的電磁鐵系統(tǒng)。車輛的整個(gè)懸浮系統(tǒng)由多個(gè)懸浮架串接形成,懸浮架又由電磁鐵與推進(jìn)電機(jī)組成。而導(dǎo)向系統(tǒng)則由列車兩側(cè)的多個(gè)導(dǎo)向電磁鐵組成,高速EMS列車具有獨(dú)立的懸浮、導(dǎo)向功能[5]。EMS列車的懸浮氣隙約為8～12 mm,懸浮高度較小。EMS列車電磁力具有開環(huán)不穩(wěn)定性,列車穩(wěn)定性需要合適的控制系統(tǒng)來維持。從磁吸力的電磁原理出發(fā),高速EMS與中低速EMS的磁浮力計(jì)算較為一致,本部分多借鑒公開成果較多的中低速EMS列車磁浮力的計(jì)算方法。

圖1 高速與低速EMS列車結(jié)構(gòu)[4]

1.1 EMS列車的懸浮力計(jì)算

在早期的研究之中,一般將EMS列車懸浮力與懸浮氣隙變化的關(guān)系等效為線性彈簧-阻尼模型。即在懸浮平衡位置附近采用線性化的懸浮力與懸浮氣隙的關(guān)系,懸浮力Fz計(jì)算式為

Fz=F0+keΔ+ceΔ

( 1 )

式中:F0為電磁鐵的額定懸浮力,一般與負(fù)載相等;ke為等效磁隙剛度;ce為等效磁隙阻尼;Δ為懸浮氣隙相對平衡位置的變化值。

時(shí)瑾等[6]通過對電磁懸浮力特性的研究,為懸浮力線性化的處理方式提供了理論依據(jù)。該式成立的條件是Δ非常小,這時(shí)懸浮力的高階分量可以忽略。當(dāng)氣隙波動(dòng)較大時(shí),受高階項(xiàng)影響計(jì)算結(jié)果偏差較大。該線性化懸浮力計(jì)算公式在懸浮氣隙小幅度變化時(shí)具有一定精度,而在懸浮氣隙大幅波動(dòng)的情況下精度降低[1]。

輪軌列車軌道受到的是車輪集中力,磁懸浮列車與輪軌列車在受力的表現(xiàn)形式上存在較大差異。胡基士[7]指出磁浮列車軌道受到的是由懸浮架電磁鐵產(chǎn)生的分布式懸浮力,基于此推導(dǎo)得出電磁鐵的吸力方程為

( 2 )

式中:i為電磁線圈中的電流;ψ為電磁鐵線圈磁鏈;δ為懸浮氣隙。

式( 2 )為非線性微分方程,較難直接求解,在實(shí)際工程中,可忽略一些次要因素求解其近似值。如假定電磁鐵磁路在不飽和(線性)區(qū)段工作,則該吸力方程可簡化為[7]

( 3 )

式中:N為電磁鐵線圈匝數(shù);G為電磁鐵等效總磁導(dǎo),是氣隙的函數(shù),可由磁路計(jì)算求得。

若將電流隨時(shí)間變化的函數(shù)代入式( 3 )即可求得EMS列車任意瞬時(shí)的懸浮力。

麥克斯韋(Maxwell)電磁吸力是近年來計(jì)算懸浮力的經(jīng)典公式之一,麥克斯韋電磁吸力Fz的表達(dá)式為

( 4 )

式中:B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;A為磁極面積;μ0為空氣磁導(dǎo)率;Φ為磁通量,Φ=B·A。

式( 4 )簡單實(shí)用,使用時(shí)須滿足三個(gè)假設(shè)條件:①假設(shè)定子、轉(zhuǎn)子以及懸浮氣隙中的磁場均勻分布;②假設(shè)鐵芯呈線性不飽和特性;③忽略漏磁和磁滯的情況。由式( 4 )及這三個(gè)假設(shè)條件可以看出,Maxwell電磁吸力公式存在以下缺點(diǎn):①不適合電磁鐵系統(tǒng)處于極小氣隙或大氣隙情況下電磁力的計(jì)算。當(dāng)電磁鐵系統(tǒng)處于極小氣隙條件下時(shí),易出現(xiàn)磁通飽和現(xiàn)象;當(dāng)電磁鐵系統(tǒng)處于大氣隙條件下時(shí),易出現(xiàn)氣隙磁場分布不均勻或漏磁增大等現(xiàn)象。此時(shí),Maxwell電磁吸力公式的三個(gè)假設(shè)條件難以成立。②只能計(jì)算電磁鐵系統(tǒng)中豎向力總的數(shù)值大小而無法體現(xiàn)其受力形式,且無法計(jì)算電磁鐵產(chǎn)生的橫向力與縱向力[1]。

針對Maxwell經(jīng)典計(jì)算公式的第一個(gè)缺點(diǎn),即實(shí)際情況不符合三個(gè)假設(shè)條件而造成計(jì)算誤差,張亦靜[8]提出了修正懸浮力后實(shí)際的FR的計(jì)算式為

( 5 )

式中:FT為Maxwell電磁吸力公式計(jì)算的理論大小,即式( 4 )中的Fz;k1、k2、k3分別為磁場不均勻因素、鐵芯非線性因素、漏磁因素引起的誤差修正系數(shù)。

磁場的不均勻性在磁路法計(jì)算中主要體現(xiàn)在磁路長度的不同[9]。磁路分布見圖2。圖2中,l1為任意磁路的長度;l為磁路計(jì)算法所選取的中心磁路的長度。根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知,當(dāng)W<1/10即0.6l≤l1≤1.4l時(shí),選取中心磁路l計(jì)算電磁力的誤差可以忽略不計(jì),取修正系數(shù)k1=1。k2適用于懸浮氣隙大于2 mm、小于12 mm的情況,此時(shí)其數(shù)值大小主要受電磁鐵中電流大小的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的實(shí)驗(yàn),當(dāng)定子材料為QD122 G-30取向冷軋硅鋼片時(shí),使用最小二乘法對k2進(jìn)行擬合可得式( 6 )。根據(jù)文獻(xiàn)[8]中計(jì)算的誤差分布,可以得到不同氣隙下電磁力在鐵芯線性區(qū)間的誤差值,進(jìn)而得到不同氣隙下對應(yīng)的漏磁系數(shù)k3,使用最小二乘法對k3進(jìn)行擬合可得式( 7 )。

圖2 磁路分布圖[9]

( 6 )

( 7 )

1.2 三維磁浮力計(jì)算

針對Maxwell經(jīng)典計(jì)算公式的第2個(gè)缺點(diǎn),即只能計(jì)算電磁鐵豎向懸浮力而無法計(jì)算其余兩個(gè)方向的磁浮力,諸多學(xué)者對整體式懸浮與導(dǎo)向系統(tǒng)中的三維磁浮力計(jì)算進(jìn)行了研究。Brzezina等[10]為了避免處理電磁鐵四角問題時(shí)須求解橢圓方程以及進(jìn)行橢圓積分的麻煩,將細(xì)長型矩形磁極對四角問題簡化為兩個(gè)兩角問題,見圖3。運(yùn)用保角變換獲得了二維平面內(nèi)的懸浮力Fz與導(dǎo)向力Fy的計(jì)算式為

圖3 矩形磁極對模型[10]

( 8 )

( 9 )

式( 8 )可進(jìn)一步簡化為[10]

(10)

式( 8 )～式(10)是懸浮磁鐵處于小側(cè)滾條件下推導(dǎo)而得的。因?yàn)橹械退貳MS列車均設(shè)有防電磁鐵側(cè)滾裝置,能有效抑制列車運(yùn)行過程中電磁鐵的側(cè)滾運(yùn)動(dòng)[11],所以可采用以上公式計(jì)算中低速EMS列車的懸浮力與導(dǎo)向力。

除了上述計(jì)算二維磁浮力公式,任曉博[4]還根據(jù)磁軌橫作用關(guān)系得出了新的二維磁浮力計(jì)算式為

(11)

(12)

式中:Δy為電磁鐵與導(dǎo)軌橫向偏移量,磁軌橫向作用關(guān)系見圖4。

圖4 磁軌橫向作用關(guān)系[4]

由式(12)可知,磁極寬度γ越窄,橫向力Fy就越大。橫向錯(cuò)位Δy越大,橫向力Fy亦越大。中低速EMS列車電磁鐵的橫向與豎向運(yùn)動(dòng)是相互耦合的[4]。當(dāng)電磁鐵與導(dǎo)軌發(fā)生橫向偏移時(shí),電磁力方向由豎向轉(zhuǎn)變?yōu)樾毕?斜向電磁力的水平分力將使懸浮模塊回復(fù)到橫向平衡位置。當(dāng)磁浮列車的懸浮氣隙發(fā)生變化時(shí),控制系統(tǒng)會(huì)改變控制電磁線圈中的電流,電磁力大小會(huì)隨之改變,其水平分力也會(huì)發(fā)生變化。

三維磁浮力中還包含沿列車行駛方向的磁浮力,該方向的磁浮力又可分為驅(qū)動(dòng)力與制動(dòng)阻力。王桂榮等[12]根據(jù)EMS磁浮列車運(yùn)行時(shí)所在位置處的定、轉(zhuǎn)子幾何分布和載荷分布,用隨時(shí)間變化的定、轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢和勵(lì)磁函數(shù)來計(jì)算驅(qū)動(dòng)磁懸浮列車的凸極直線同步電機(jī)的懸浮力Fz(x,t)與驅(qū)動(dòng)力Fx(x,t)分別為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中,dh為電磁鐵高度;σ為電導(dǎo)率;v為列車行駛速度;a為磁極寬度。

可以看出,式(15)、式(16)與式( 8 )～式(12)不同,反映了磁浮力大小與列車行駛速度復(fù)雜的非線性關(guān)系。

1.3 特殊情況下懸浮力計(jì)算

前述電磁力計(jì)算公式僅針對列車電磁鐵與軌道平行的情況,而張耿等[14]基于磁通管法推導(dǎo)了電磁鐵位于豎曲線時(shí)電磁懸浮力的解析表達(dá)式并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮喕?凹曲線電磁懸浮力Fzajn簡化為

(18)

式中:r為豎曲線曲率半徑。

凸曲線電磁懸浮力Fztjn簡化為

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,在不同情況下所得的擬合曲線基本吻合,且該豎曲線電磁懸浮力簡化公式具有較高的精確性。此外,式(18)、式(19)形式與Maxwell電磁吸力公式推導(dǎo)而得的懸浮力計(jì)算公式形式類似,且所需參數(shù)基本相同。

現(xiàn)有混合型電磁鐵大多采用電磁和永磁混合勵(lì)磁方式,這種混合形式有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。第一,提供相同大小的懸浮力時(shí),混合型電磁鐵所需的電流相較于純電磁鐵所需的電流要小得多[15],極大地降低了磁懸浮列車的能耗。第二,與相同結(jié)構(gòu)的純電磁鐵系統(tǒng)相比,將系統(tǒng)中的部分電磁鐵替換為永磁鐵會(huì)適當(dāng)增加懸浮磁鐵的承載能力,從而增大列車等效的懸浮氣隙[16]。王蕓[16]沿用德國TR08磁浮列車架構(gòu),將懸浮磁鐵部分更換為電磁永磁混合磁鐵。進(jìn)行如下假設(shè):①忽略氣隙、繞組和永磁鐵的漏磁通;②磁路中鐵芯和導(dǎo)軌的磁導(dǎo)率無窮大,磁勢均勻地降落在氣隙和永磁鐵上;③氣隙中的磁場均勻分布;④軌道作用面的剛度系數(shù)無窮大,不考慮軌道本身的彈性振動(dòng)或動(dòng)態(tài)形變。推導(dǎo)得出混合型電磁鐵中單個(gè)閉合磁路產(chǎn)生的懸浮力為

(20)

式中:μm為永磁鐵相對磁導(dǎo)率;Sm為永磁鐵截面積;Hc為永磁鐵矯頑力;δm為永磁鐵厚度。式(20)所需參數(shù)均為電磁鐵與永磁鐵自身的固有參數(shù)。若取永磁鐵厚度δm=0,式(20)退化為純電磁鐵懸浮力Maxwell式( 4 )。

1.4 公式分析

懸浮力計(jì)算分為3部分:①將懸浮力與懸浮氣隙變化值關(guān)系(磁軌關(guān)系)線性化,推導(dǎo)得出的式( 2 ),該種方法僅適用于懸浮氣隙變化值較小的情況;②將根據(jù)磁懸浮系統(tǒng)力學(xué)分析的基本關(guān)系,假定電磁鐵磁路工作在不飽和(線性)區(qū)段,簡化而得的式( 3 );③Maxwell電磁吸力式( 4 )以及基于式( 4 )提出的修正方程式( 5 );值得注意的是,Maxwell電磁吸力公式須滿足2.1節(jié)提及的三個(gè)假設(shè)條件,這三個(gè)假設(shè)條件往往與實(shí)際的工程情況不符,因此,其修正公式提供了以對三個(gè)假設(shè)條件分別使用三個(gè)修正系數(shù)為思路的修正計(jì)算方法。

三維磁浮力計(jì)算包括懸浮力、導(dǎo)向力、驅(qū)動(dòng)力與制動(dòng)阻力。懸浮力與導(dǎo)向力的計(jì)算方法主要分為兩部分:①將長型矩形磁極對二維四角問題簡化為兩個(gè)兩角問題,運(yùn)用保角變換推導(dǎo)得出懸浮力與導(dǎo)向力的計(jì)算式( 8 )、式( 9 ),該公式適用于懸浮磁鐵處于小側(cè)滾條件;②根據(jù)磁軌橫向作用關(guān)系推導(dǎo)得出懸浮力與導(dǎo)向力的計(jì)算式(11)、式(12),該公式說明了中低速EMS列車的橫向運(yùn)動(dòng)與豎向運(yùn)動(dòng)相互耦合的關(guān)系。磁浮列車的凸極直線同步電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力式(14)是使用定子、轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢與勵(lì)磁曲線推導(dǎo)得出的。制動(dòng)阻力的計(jì)算式(16)是通過對氣隙磁場分布與電磁鐵速度特性的研究分析得出的,該公式反映了制動(dòng)阻力與列車行駛速度復(fù)雜的非線性關(guān)系。

特殊情況下的懸浮力計(jì)算分為兩部分:①中低速EMS列車經(jīng)過凹曲線與凸曲線的懸浮力計(jì)算式(18)、式(19)是基于磁通管法推導(dǎo)得出的,該公式計(jì)算參數(shù)與Maxwell電磁吸力公式相似,對中低速EMS列車具有一定的適用性;②混合磁鐵中單個(gè)磁路的懸浮力計(jì)算式(20)是根據(jù)德國TR08列車架構(gòu),將懸浮磁鐵部分替換為電磁永磁混合磁鐵推導(dǎo)得出的,使用該公式時(shí),除了需滿足Maxwell電磁吸力公式的三個(gè)假設(shè)條件外,還需假設(shè)軌道作用面剛度無窮大。

2 電動(dòng)懸浮

與EMS型列車的懸浮原理不同,電動(dòng)懸浮(EDS)列車依靠運(yùn)動(dòng)磁場在導(dǎo)體軌道中產(chǎn)生的渦流實(shí)現(xiàn)斥力懸浮。其斥力較大,可使懸浮氣隙達(dá)100 mm,降低了列車對軌道變形與控制系統(tǒng)精度的要求。因此,EDS列車具有高速穩(wěn)定性好,且不需要主動(dòng)控制等優(yōu)點(diǎn)。但是EDS列車在靜止時(shí)無法懸浮,若要使其懸浮,須使列車達(dá)到一定的行駛速度,這個(gè)速度也被稱為起浮速度。因此,在EDS列車起浮之前,需借助輪軌在軌道上行駛?，F(xiàn)有的EDS列車按產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)磁場的物體主要分為永磁EDS列車與低溫超導(dǎo)EDS列車。永磁EDS列車的軌道鋪設(shè)鋁板。低溫超導(dǎo)EDS列車的軌道最初被設(shè)計(jì)為鋪設(shè)導(dǎo)體板,該種結(jié)構(gòu)形式會(huì)產(chǎn)生較大的電磁阻力,從而引起較大的能量損耗。為了降低能量損耗,Danby等[17]提出用零磁通線圈(即8字線圈)代替導(dǎo)體板的方案。

2.1 永磁EDS列車磁浮力計(jì)算

永磁EDS列車主要是利用Halbach結(jié)構(gòu)排列的永磁體產(chǎn)生的磁場切割導(dǎo)體板,產(chǎn)生感應(yīng)電流從而達(dá)到懸浮狀態(tài),具有結(jié)構(gòu)簡單且節(jié)能的特點(diǎn)。Halbach結(jié)構(gòu)陣列中相鄰永磁體的磁化方向相差一個(gè)固定的角度。陳殷等[18]使用Ansys軟件對Halbach永磁EDS系統(tǒng)受力進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,研究了懸浮力隨系統(tǒng)參數(shù)改變的變化規(guī)律,得到懸浮力Fz(d)簡單有效的表達(dá)式為

(21)

式中:τ為Halbach陣列極距;k為高度極距比;m為氣隙極矩比;F0(d)為極距、矯頑力、高度極距比、氣隙極距比分別取τ0、Hc0、k0、m0時(shí)的受力,也稱為反應(yīng)板厚度為d時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)力;F(k)、F(k0)為高度極矩比分別取k、k0時(shí)的受力。

由式(21)可以看出,懸浮力與極距τ、矯頑力Hc成正比。從文獻(xiàn)[18]可知,懸浮力Fz(d)隨高度極矩比k、氣隙極矩比m分別遵循某一固定曲線,且該曲線不隨其他因素變化,具有較好的普遍意義。

李云鋼等[19]從電磁感應(yīng)定律和電磁力定律出發(fā)推導(dǎo)得出永磁EDS列車中一個(gè)Halbach排列周期內(nèi)的平均懸浮力Fz與阻力Fx的計(jì)算式分別為

(22)

(23)

式中:B0為永磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度;f為空間頻率,f=2π/τ;L0為電感;vT=R/kL0,R為導(dǎo)體的電阻。

式(23)物理意義明確,便于理解磁阻力不會(huì)隨速度增加而一直增加。在一個(gè)Halbach排列周期內(nèi),導(dǎo)體穿越磁場時(shí)的速度v與此時(shí)的懸浮氣隙δ的變化幅度不大。為計(jì)算方便,可假設(shè)Halbach排列周期內(nèi)速度v與懸浮氣隙δ為常數(shù)。從式(22)、式(23)可以看出,懸浮力隨速度增大而增大,但當(dāng)速度達(dá)到一定數(shù)值時(shí),懸浮力不再繼續(xù)增大;阻力隨速度增大先快速增大,當(dāng)速度達(dá)到一定數(shù)值時(shí),阻力又隨速度增大而逐漸減小。

陳殷[20]分別采用麥克斯韋張量法與磁荷法推導(dǎo)得出Halbach陣列永磁EDS列車三維磁浮力的解析計(jì)算公式經(jīng)文獻(xiàn)[20]的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,該三維磁浮力的解析計(jì)算式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均誤差僅為1%。

2.2 低溫超導(dǎo)EDS列車磁浮力計(jì)算

軌道鋪設(shè)常導(dǎo)8字零磁通線圈是低溫超導(dǎo)EDS列車的主要形式。低溫超導(dǎo)EDS列車依靠車載低溫超導(dǎo)線圈與軌道8字零磁通線圈發(fā)生錯(cuò)位時(shí)會(huì)產(chǎn)生回復(fù)力的特性,在能量損耗較低的前提下實(shí)現(xiàn)了自懸浮和自導(dǎo)向。王琳[21]從描述超導(dǎo)體宏觀電磁特性的Maxwell方程出發(fā),確定超導(dǎo)體表面屏蔽電流的分布,進(jìn)而求得低溫超導(dǎo)EDS系統(tǒng)中的兩同軸環(huán)形線圈的軸向作用力(靜態(tài)懸浮力)Fz的計(jì)算式為

(24)

張娟[22]通過推導(dǎo)發(fā)現(xiàn),一對交叉連接的8字線圈和超導(dǎo)線圈之間的懸浮力和導(dǎo)向力與線圈間的相對位置和車輛運(yùn)行速度有關(guān)。并且導(dǎo)軌線圈隨著超導(dǎo)線圈縱向運(yùn)行,受到的力為簡諧分布力,周期為τsc/v,τsc為超導(dǎo)線圈極距。得到列車縱向運(yùn)行時(shí)引起的左、右兩側(cè)超導(dǎo)線圈受到的總的懸浮力Fz1、Fz2和總的導(dǎo)向力Fy1、Fy2的計(jì)算公式。

這對于確定參數(shù)的低溫超導(dǎo)EDS系統(tǒng),懸浮力與導(dǎo)向力大小主要受列車運(yùn)行速度的影響,其次受懸浮氣隙與導(dǎo)向氣隙的影響。

Cai等[23]基于動(dòng)態(tài)電路理論,建立了8字零磁通軌道線圈無交叉連接EDS列車系統(tǒng)中懸浮導(dǎo)向結(jié)構(gòu)的等效電路模型,采用能量法推導(dǎo)得出超導(dǎo)磁體與軌道線圈間的懸浮力Fz、導(dǎo)向力Fy、磁阻力Fx的計(jì)算公式。使用這3個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算前須確定列車的速度與懸浮間隙。另外,這3個(gè)公式的局限性在于不能完全反映低溫超導(dǎo)EDS列車電磁力、速度與加速度的動(dòng)態(tài)特性。

2.3 公式分析

永磁EDS列車懸浮力的計(jì)算式(21)雖不具有通用性,但為Halbach永磁EDS系統(tǒng)的懸浮力計(jì)算提供了解決思路。永磁EDS列車的一個(gè)Halbach排列周期內(nèi)的平均懸浮力Fz與阻力Fx式(22)、式(23)具有良好的適用性,并且驗(yàn)證了EDS系統(tǒng)中,懸浮力不會(huì)隨速度增大而無限增大、阻力隨速度增大先增大后減小的特性。基于麥克斯韋張量法和磁荷法兩種不同的方法,均可得出永磁EDS列車的三維磁浮力計(jì)算公式。

低溫超導(dǎo)EDS列車的懸浮力計(jì)算公式不具有通用性,但其揭示了低溫超導(dǎo)EDS系統(tǒng)的中懸浮力與線圈電流、間隙變化之間的關(guān)系。低溫超導(dǎo)EDS列車總的懸浮力與導(dǎo)向力計(jì)算公式展現(xiàn)出低溫超導(dǎo)EDS系統(tǒng)中懸浮力與導(dǎo)向力第一影響因素是列車運(yùn)行速度,其次是懸浮氣隙與導(dǎo)向氣隙。低溫超導(dǎo)EDS列車的三維磁浮力計(jì)算公式是基于動(dòng)態(tài)電路理論,采用能量法推導(dǎo)得出的。

3 高溫超導(dǎo)懸浮

超導(dǎo)體具有兩個(gè)基本特性:①零電阻,即當(dāng)溫度低于一定值后,超導(dǎo)體的電阻低至現(xiàn)有設(shè)備無法測量得到;②邁納斯效應(yīng),即超導(dǎo)體無論是在場冷(使超導(dǎo)體先降溫,后施加磁場)條件下還是在零場冷(先給超導(dǎo)體施加磁場,后降溫)條件下從一般態(tài)相變至超導(dǎo)態(tài),超導(dǎo)體的磁通量恒等于零。其中邁納斯效應(yīng)是區(qū)別理想導(dǎo)體與超導(dǎo)體的重要依據(jù)。與超導(dǎo)體不同,理想導(dǎo)體除了具有零電阻特性外,在其降溫過程中導(dǎo)體內(nèi)的磁通量凍結(jié)不變。邁納斯效應(yīng)與理想導(dǎo)體的情況見圖5。圖5中,N表示導(dǎo)體處于一般態(tài);S表示導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)。高溫超導(dǎo)懸浮中的“高溫”是相對低溫超導(dǎo)電動(dòng)懸浮中的“低溫”而言的,低溫超導(dǎo)須使溫度接近絕對零度,即達(dá)到-269 ℃,高溫超導(dǎo)僅須使溫度達(dá)到-196 ℃。

圖5 邁納斯效應(yīng)與理想導(dǎo)體情況比較[24]

高溫超導(dǎo)懸浮(HTS)列車采用永磁體做軌道,高溫超導(dǎo)體置于列車之上。HTS列車一般采用非理想第二類高溫超導(dǎo)體作為車載磁體,該導(dǎo)體內(nèi)存在晶體缺陷,磁通線會(huì)受這些缺陷束縛從而出現(xiàn)磁通釘扎現(xiàn)象。利用非理想第二類高溫超導(dǎo)體在混合態(tài)中的磁通釘扎效應(yīng)可實(shí)現(xiàn)HTS列車自懸浮、自導(dǎo)向和沿永磁軌道前行[3]。HTS列車的懸浮與導(dǎo)向均通過磁通釘扎效應(yīng)實(shí)現(xiàn),具有無需主動(dòng)控制、自穩(wěn)定、自懸浮、自導(dǎo)向等特點(diǎn)。相較于低溫超導(dǎo)EDS列車而言,HTS列車還能實(shí)現(xiàn)靜止懸浮,無需輔助輪軌。沿行駛方向不存在固有磁阻力,降低了能耗。

3.1 HTS列車的懸浮力計(jì)算

高溫超導(dǎo)體的電阻為0,其內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電流會(huì)一直存在。由楞次定律,感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場與引起感應(yīng)電流的磁場方向相反,劉文旭等[2]指出永磁體與高溫超導(dǎo)體之間作用力可表示為

(25)

式中:H為超導(dǎo)體內(nèi)的場強(qiáng);M為超導(dǎo)體內(nèi)的磁化強(qiáng)度;V為超導(dǎo)體內(nèi)的有效磁化體積。

Hao等[25]采用有限元法分析了HTS系統(tǒng)的懸浮力,并根據(jù)渦流分布和力分析結(jié)果使用了一種鏡像法,以簡化HTS系統(tǒng)中單個(gè)線圈的飽和懸浮力Fzs計(jì)算,其計(jì)算公式為

Fzs=2πRaBrFcoil

(26)

式中:Ra=(Rin+Rout)/2為HTS線圈的平均半徑;Fcoil=N·Iapp,Iapp為HTS線圈的工作電流;Br為圓柱坐標(biāo)下鏡像線圈在HTS線圈區(qū)域感應(yīng)的磁場分量,其計(jì)算式為

(27)

其中,hs=2δ為HTS線圈到鏡像線圈的距離;Es和Ks為線圈形狀和尺寸對應(yīng)的參數(shù),根據(jù)高溫超導(dǎo)線圈參數(shù)分別設(shè)置為1.044和3.093。

由于單個(gè)HTS線圈不僅會(huì)受自身感應(yīng)磁場的影響,還會(huì)受到其他HTS線圈感應(yīng)磁場的影響,這使得鏡像法的解析解十分復(fù)雜。此時(shí)可采用基礎(chǔ)的電磁懸浮力計(jì)算式為

(28)

式中:Jc為超導(dǎo)臨界電流密度;Bp為永磁體中的磁通量密度。

3.2 HTS列車的二維磁浮力計(jì)算

張興義[26]通過對凍結(jié)鏡像模型的改進(jìn),推導(dǎo)得出HTS系統(tǒng)導(dǎo)向力Fy、懸浮力Fz的計(jì)算式分別為

(29)

(30)

式中:m1為永磁體簡化而得的磁偶極子數(shù)量;m2為超導(dǎo)體表面屏蔽電流形成的磁場簡化而得的抗磁鏡像磁偶極子數(shù)量;m3為高溫超導(dǎo)體在初始冷卻位置上冷卻形成凍結(jié)磁通簡化而得的凍結(jié)鏡像磁偶極子數(shù)量;hf為高溫超導(dǎo)體初始冷卻時(shí)距離磁場的高度。

磁浮力與懸浮氣隙、導(dǎo)向氣隙具有一一對應(yīng)關(guān)系。值得注意的是,文獻(xiàn)[26]中指出該公式無法計(jì)算零場冷情況下懸浮系統(tǒng)的導(dǎo)向力,原因是當(dāng)場冷高度趨近無窮大(零場冷情況)時(shí),式(29)計(jì)算所得的導(dǎo)向力為0。

-2Lxμ0[H1sin(krvt)+H2cos(krvt)+C]

(31)

(32)

式中:Lx為高溫超導(dǎo)塊材沿行駛方向的長度;By、Bz分別為磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量;kr為橫向力剛度與懸浮力的比值系數(shù),krvt為運(yùn)動(dòng)行程;χx、χy、χz均為高溫超導(dǎo)塊材磁化曲線的幾何參數(shù);H1、H2分別為關(guān)于sin(krvt)、cos(krvt)的函數(shù);C為不含sin(krvt)、cos(krvt)的常數(shù)項(xiàng),其表達(dá)式分別為

(33)

(34)

根據(jù)文獻(xiàn)[27]中實(shí)驗(yàn),導(dǎo)向力剛度主要受場冷高度和工作高度的影響。當(dāng)場冷高度一定時(shí),導(dǎo)向力剛度隨工作高度的降低而增加,當(dāng)工作高度一定時(shí),導(dǎo)向力剛度隨場冷高度的降低而增加?？梢?若需保持SML子系統(tǒng)較高的導(dǎo)向力剛度,可使HTS系統(tǒng)在較低的場冷高度和工作高度下運(yùn)行。

3.3 公式分析

一維磁浮力計(jì)算公式分為三部分:①從微觀角度出發(fā),描述永磁體與高溫超導(dǎo)體之間的相互作用力,宏觀上則表現(xiàn)為超導(dǎo)體與永磁體之間的懸浮力,其計(jì)算公式為式(25);②采用有限元法分析HTS系統(tǒng)的懸浮力,然后根據(jù)其渦流分布與力分析結(jié)果使用鏡像法,簡化得出飽和懸浮力的計(jì)算式(26);③式(27)僅適用于單個(gè)HTS線圈的飽和懸浮力計(jì)算,HTS系統(tǒng)中多個(gè)線圈自身的感應(yīng)磁場會(huì)相互影響,此時(shí)可采用基礎(chǔ)電磁懸浮力的計(jì)算式(28)。

二維磁浮力計(jì)算公式分為兩部分:①通過對凍結(jié)鏡像模型改進(jìn)推導(dǎo)得出HTS列車的導(dǎo)向力與懸浮力式(29)、式(30),其中導(dǎo)向力公式無法計(jì)算零場冷情況;②通過對高溫超導(dǎo)—永磁混合懸浮列車的磁力特性分析得出SML子系統(tǒng)的導(dǎo)向力、懸浮力與導(dǎo)向剛度的計(jì)算式(31)～式(34),由該公式可知懸浮力隨場冷高度的增大而增大,導(dǎo)向力剛度隨場冷高度、工作高度的增大而減小。

4 結(jié)論

本文總結(jié)了電磁懸浮(EMS)、電動(dòng)懸浮(EDS)與高溫超導(dǎo)懸浮(HTS)三種不同懸浮模式特性及磁浮力計(jì)算方式。主要結(jié)論如下:

1)電磁懸浮列車采用常導(dǎo)體作為線圈繞組產(chǎn)生電磁吸力實(shí)現(xiàn)懸浮與導(dǎo)向,具有結(jié)構(gòu)簡單(無需冷卻系統(tǒng))、可靜懸浮等特點(diǎn)。線性化的懸浮力公式簡單易用,但僅適用于較小的懸浮氣隙變化。懸浮力計(jì)算以Maxwell公式最為經(jīng)典,但在特殊條件下具有局限性,可采用磁場不均勻修正、鐵芯非線性修正、漏磁修正將Maxwell公式拓展到極小氣隙或極大氣隙條件。通過將長型矩形磁極對二維四角問題簡化為兩個(gè)兩角問題,運(yùn)用保角變換可得到小側(cè)滾條件下二維平面內(nèi)的懸浮力、導(dǎo)向力,也可通過磁軌橫向作用關(guān)系推導(dǎo)得出二維平面內(nèi)的懸浮力、導(dǎo)向力。使用定子、轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢與勵(lì)磁函數(shù)或氣隙磁場分布特性得到懸浮力、阻力的計(jì)算公式。對于曲線軌道、電磁與永磁混合型電磁鐵,具有不同的懸浮力計(jì)算公式。

2)永磁EDS列車?yán)密囕d永磁體與軌道導(dǎo)體板渦流磁場間的斥力實(shí)現(xiàn)懸浮,具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、車體質(zhì)量輕、懸浮氣隙大等特點(diǎn)。通過磁場數(shù)值模擬可獲得表達(dá)式,為Halbach永磁EDS系統(tǒng)的懸浮力計(jì)算提供了思路。在一個(gè)Halbach排列周期內(nèi)從電磁感應(yīng)定律和電磁力定律出發(fā)推導(dǎo)得到了適用性較好的平均懸浮力與阻力計(jì)算公式?；邴溈怂鬼f張量法和磁荷法,可得到永磁EDS列車的三維磁浮力計(jì)算公式。

3)低溫超導(dǎo)EDS列車?yán)密囕d低溫超導(dǎo)體切割軌道線圈產(chǎn)生的斥力實(shí)現(xiàn)懸浮,具有自懸浮、自導(dǎo)向、懸浮氣隙大、無需主動(dòng)控制,適合高速行駛等特點(diǎn)。從超導(dǎo)體宏觀電磁特性Maxwell方程出發(fā),或基于動(dòng)態(tài)電路理論采用能量法,可推導(dǎo)得到磁浮力表達(dá)式。有學(xué)者提出懸浮力與車輛運(yùn)行速度有關(guān),建立了反映速度影響的懸浮力、導(dǎo)向力表達(dá)式。

4)高溫超導(dǎo)懸浮列車?yán)密囕d高溫超導(dǎo)體與永磁軌道間的磁通釘扎效應(yīng)實(shí)現(xiàn)列車懸浮與導(dǎo)向,具有自懸浮、自導(dǎo)向、高穩(wěn)定性、懸浮氣隙大以及無磁阻力、可靜懸浮等特點(diǎn)。從超導(dǎo)體磁場理論或有限元數(shù)值模擬方式均可建立超導(dǎo)體與永磁體之間的懸浮力公式,有限元中可采用鏡像法模擬渦流分布簡化分析過程。通過改進(jìn)的凍結(jié)鏡像模型或者磁力特性分析可建立高溫超導(dǎo)懸浮列車懸浮力與導(dǎo)向力的公式。